• 2021年高考真题 理科数学 (全国甲卷)
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

1.设集合M={x|0<x<4},N={x|≤x≤5},则M∩N=

A{x|0<x≤

B{x|≤x<4}

C{x|4≤x<5}

D{x|0<x≤5}

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1

2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:

根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是

A该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

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1

3.已知,则z=

A-1-i

B-1+i

C-+i

D--i

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1

4.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记数法的数据约为(≈1.259)

A1.5

B1.2

C0.8

D0.6

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1

5.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为

A

B

C

D

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1

6.在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后,所得多面体的三视图中,正试图如右图所示,则相应的侧视图是

A

B

C

D

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1

7.等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,设甲:q>0,乙:{Sn}是递増数列,则

A甲是乙的充分条件但不是必要条件

B甲是乙的必要条件但不是充分条件

C甲是乙的充要条件

D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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1

8.2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图,现有以A,B, C三点,且A,B,C在同一水平而上的投影A’,B’,C'满足.由c点测得B点的仰角为15°,曲,的差为100 :由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面的高度差约为

A346

B373

C446

D473

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1

9.若,,则

A

B

C

D

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1

10.将4个1和2个0随机排成一行,则2个0 不相邻的概率为

A

B

C

D

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1

11.已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为

A

B

C

D

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1

12.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当时,.若,则

A

B

C

D

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填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1

13.曲线在点(-1,-3)处的切线方程为________。

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1

14.已知向量a=(3,1),b=(1,0),,若a⊥c,则k=_________。

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1

15.已知F1,F2为椭圆C:的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点堆成的两点,且,则四边形PF1QF2的面积为__________。

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1

16.已知函数的部分图像如图所示,则满足条件的最小正整数x为_________。

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简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1

17.  (12 分)

甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

⑵能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附:

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1

18.  (12 分)

已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.

①   数列{an}是等差数列:②数列{}是等差数列;③a2=3a1

注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.

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1

19.  (12分)

已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中,侧面AA1B1B为正方形, AB= BC = 2, E, F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF丄A1B1.

(1)  证明:BF⊥DE;

⑵ 当为B1D何值时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小?

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1

20.  (12分)

抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线L:x = 1交C于P,Q两点, 且OP丄OQ.已知点M(2,0),且M与L相切,

(1)    求C , M的方程;

(2)    设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1 A2, A1 A3均与 M相切,判断A2A3与M的位置关系,并说明理由.

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1

21.  (12 分)

己知a>0且a≠1,函数f(x)=(x>0),

(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;

(2)若曲线y= f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.

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1

22.  [选修4一4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=2cosθ.

(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点,点P满足 = ,写出 P的轨迹C1的参数方程,并判断C与C1是否有公共点.

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1

23.[选修4一5:不等式选讲](10分)

已知函数f(x)=|x-2|, g(x) =|2x + 3|-|2x-1|.

(1)画出f(x)和y=g(x)的图像;

(2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围.

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