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1.为虚数单位,
正确答案
解析
因为,所以应选
.
考查方向
解题思路
找到周期性直接计算出来。
易错点
粗心算错。
知识点
3.命题“,
”的否定是
正确答案
解析
由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为,
,故应选
.
考查方向
解题思路
直接选择。
易错点
粗心选错。
知识点
4.已知变量和
满足关系
,变量
与
正相关. 下列结论中正确的是
正确答案
解析
因为变量和
满足关系
,其中
,所以
与
成负相关;又因为变量
与
正相关,不妨设
,则将
代入即可得到:
,所以
,所以
与
负相关,综上可知,应选
.
考查方向
解题思路
找到相应变量之间的关系。
易错点
判断失误。
知识点
6.函数的定义域为
正确答案
解析
由函数的表达式可知,函数
的定义域应满足条件:
,解之得
,即函数
的定义域为
,故应选
.
考查方向
解题思路
使得函数有意义的x的范围列出一个不等式组解出即可。
易错点
考虑的问题不全导致做错。
知识点
8.在区间上随机取两个数
,记
为事件“
”的概率,
为事件“
”
的概率,则
正确答案
解析
由题意知,事件“”的概率为
,事件“
”的概率
,其中
,
,所以
,故应选
.
考查方向
解题思路
转化为面积有关的几何概型分别计算出概率即可判断。
易错点
不会将其转化为面积有关的几何概型来做。
知识点
2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )
正确答案
解析
设这批米内夹谷的个数为x,则由题意并结合简单随机抽样可知,,即
考查方向
解题思路
构造方程来解答。
易错点
不知道考查什么知识点。
知识点
5.表示空间中的两条直线,若p:
是异面直线;q:
不相交,则
正确答案
解析
根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系,进行则l1,l2可能是平行或异面直线,即必要性不成立,
故p是q的充分条件,但不是q的必要条.
考查方向
解题思路
表示空间中的两条直线,若p:
是异面直线可以推出q:
不相交但是反过来不成立,不相交有可能是平行,所以选A。
易错点
粗心选错。
知识点
7.设,定义符号函数
则
正确答案
解析
按照已知定义,分别写出等式的左右两边,发现选项D满足右边=,而左边
,显然成立。
考查方向
解题思路
根据定义直接来判断。
易错点
不理解定义。
知识点
9.将离心率为的双曲线
的实半轴长
和虚半轴长
同时增加
个单位
长度,得到离心率为的双曲线
,则
正确答案
解析
不妨设双曲线的焦点在x轴上,即其方程为:
,则双曲线
方程为
,所以
,当
时,
,所以
,同理当
可得
。
考查方向
解题思路
分别表示出离心率再去比较大小。
易错点
计算量大计算不出来。
知识点
10.已知集合,
,定义集合
,则
中元素的个数为
正确答案
解析
由题意知,,
,所以由新定义集合
可知,
或
.当
时,
,
,所以此时
中元素的个数有:
个;当
时,
,
,这种情形下和第一种情况下除
的值取
或
外均相同,即此时有
,由分类计数原理知,
中元素的个数为
个,故应选
.
考查方向
解题思路
先求出2个集合,再根据定义找出元素的个数即可。
易错点
没有理解定义做错。
知识点
12.若变量满足约束条件
则
的最大值是_________.
正确答案
解析
首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示,然后根据图像可得: 目标函数过点
取得最大值,即
,故应填
.
考查方向
解题思路
画出可行域再画图找到最值点代入计算即可。
易错点
最值点搞错。
知识点
11.已知向量,
,则
_________.
正确答案
解析
由题意可知,,即
,即
.
考查方向
解题思路
直接利用垂直数量积为0来计算。
易错点
粗心计算失误。
知识点
14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额
(单位:万元)都在区间内,其频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)直方图中的_________;
(Ⅱ)在这些购物者中,消费金额在区间内的购物者的人数为_________.
正确答案
(Ⅰ)3;(Ⅱ)6000.
解析
由题意可知频率之和为1,解之得a=3,于是消费金额在区间内频率为
,所以消费金额在区间
内的购物者的人数为6000.
考查方向
解题思路
根据题意直接计算。
易错点
计算失误。
知识点
16.如图,已知圆与
轴相切于点
,与
轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且
.
(Ⅰ)圆的标准方程为_________;
(Ⅱ)圆在点
处的切线在
轴上的截距为_________.
正确答案
解析
设点的坐标为
,则由圆
与
轴相切于点
知,点
的横坐标为
,即
,半
径.又因为
,所以
,即
,所以圆
的标准方程为
,
令得:
.设圆
在点
处的切线方程为
,则圆心
到其距离为:
,解之得
.即圆
在点
处的切线方程为
,是令
可得
,即圆
在点
处的切线在
轴上的截距为
,故应
和
.
考查方向
解题思路
构造方程解答。 按步骤直接计算。
易错点
粗心算错。
知识点
17.a为实数,函数在区间
上的最大值记为
. 当
_________时,
的值最小.
正确答案
解析
分类讨论得到,所以
,所以当
时,
的值最小.
①
②::
,
③::
④::
,
综上,当时,
取到最小值
考查方向
解题思路
分类讨论来解答。
易错点
计算量大,讨论不清楚。
知识点
13.函数的零点个数为_________.
正确答案
解析
函数的零点个数等价于方程
的根的个数,即函数
与
的图像交点个数.于是,分别画出其函数图像如下图所示,由图可知,函数
与
的图像有2个交点.
考查方向
解题思路
画出图像转化为求图像交点的个数的问题。
易错点
不会用数形结合法做。
知识点
15.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北
的方向上,行驶600m后到达
处,测得此山顶在西偏北
的方向上,仰角为
,则此山的高度
_________m.
正确答案
解析
在三角形ABC中,根据正弦定理知,
考查方向
解题思路
根据正弦定理构造方程解出。
易错点
公式不熟。
知识点
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象
时,列表并填入了部分数据,如下表:
18.请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数的解
析式;
19.将图象上所有点向左平行移动
个单位长度,得到
图象,求
的图象离原点
最近的对称中心.
正确答案
(Ⅰ)根据表中已知数据,解得.数据补全如下表:
且函数表达式为;
解析
(Ⅰ)根据表中已知数据可得:,
,
,解得
. 数据补全如下表:
且函数表达式为.
考查方向
解题思路
(Ⅰ)根据已知表格中的数据可得方程组,解之可得函数
的表达式,进而可补全其表格即可;
易错点
出现粗心的错误。
正确答案
离原点最近的对称中心为
.
解析
由(Ⅰ)知,因此
.因为
的对称中心为
,
. 令
,解得
,
.即
图象的对称中心为
,
,其中离原点
最近的对称中心为
.
考查方向
解题思路
由(Ⅰ)并结合函数图像平移的性质可得,函数的表达式,进而求出其图像的对称中心坐标,取出其距离原点
最近的对称中心即可.
易错点
平移出错。
设等差数列的公差为d,前n项和为
,等比数列
的公比为q.已知
,
,
.
20.求数列,
的通项公式;
21.当时,记
,求数列
的前n项和
.
正确答案
(Ⅰ)或
;
解析
(Ⅰ)由题意有, 即
,解得
或
故或
.
考查方向
解题思路
(Ⅰ)由已知可列出方程组,解之得即可得出所求的结果;
易错点
公式记错。
正确答案
(Ⅱ).
解析
由,知
,
,故
,于是
, ①
. ②
①-②可得
,
故.
考查方向
解题思路
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,
,于是
,易发现:
的通项是一个等差数列和一个等比数列相乘而得的,直接对其进行求和运用错位相减法即可得出结论.
易错点
不知道用错位相减法求和。
《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
在如图所示的阳马中,侧棱
底面
,且
,点
是
的
中点,连接.
22.证明:平面
. 试判断四面体
是
否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需
写出结论);若不是,请说明理由;
23.记阳马的体积为
,四面体
的
体积为,求
的值.
正确答案
(Ⅰ)因为底面
,所以
. 由底面
为长方形,有
,而
,所以
平面
.
平面
,所以
. 又因为
,点
是
的中点,所以
. 而
,所以
平面
.四面体
是一个鳖臑;
解析
(Ⅰ)因为底面
,所以
. 由底面
为长方形,有
,而
,所以
平面
.
平面
,所以
. 又因为
,点
是
的中点,所以
. 而
,所以
平面
. 由
平面
,
平面
,可知四面体
的四个面都是直角三角形,即四面体
是一个鳖臑,其四个面的直角分别是
考查方向
解题思路
(Ⅰ)由侧棱底面
易知,
;而底面
为长方形,有
,由线面垂直的判定定理知
平面
,进而由线面垂直的性质定理可得
;在
中,易得
,再由线面垂直的判定定理即可得出结论.由
平面
,
平面
,进一步可得四面体
的四个面都是直角三角形,即可得出结论;
易错点
定理使用条件不全.
正确答案
(Ⅱ)
解析
(Ⅱ)由已知,是阳马
的高,所以
;由(Ⅰ)知,
是鳖臑
的高,
,所以
.在
△
中,因为
,点
是
的中点,所以
,于是
考查方向
解题思路
结合(Ⅰ)证明结论,并根据棱锥的体积公式分别求出,即可得出所求结果.
易错点
不会转化求体积。
一种画椭圆的工具如图1所示.是滑槽
的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且
,
.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕
转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C.以
为原点,
所在的直线为
轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
26.求椭圆C的方程;
27.设动直线与两定直线
和
分别交于
两点.若直线
总与椭圆
有且只有一个公共点,试探究:
的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.
正确答案
(Ⅰ)
解析
(Ⅰ)因为,当
在x轴上时,等号成立;同理
,当
重合,即
轴时,等号成立. 所以椭圆C的中心为原点
,长半轴长为
,短半轴长为
,其方程为
考查方向
解题思路
(Ⅰ)由题意并结合三角形三边关系(两边之和大于第三边,两边之差小于第三边)知,,即
,这表明椭圆
的长半轴长为
,短半轴长为
,即可求出椭圆
的方程;
易错点
粗心算错。
正确答案
(Ⅱ)当直线与椭圆
在四个顶点处相切时,
的面积取得最小值8.
解析
(Ⅱ)(1)当直线的斜率不存在时,直线
为
或
,都有
.
(2)当直线的斜率存在时,设直线
, 由
消去
,可得
.因为直线
总与椭圆
有且只有一个公共点,所以
,即
. ①
又由 可得
;同理可得
.由原点
到直线
的距离为
和
,可得
. ②
将①代入②得,. 当
时,
;当
时,
.因
,则
,
,所以
,当且仅当
时取等号.所以当
时,
的最小值为8.
综合(1)(2)可知,当直线与椭圆
在四个顶点处相切时,
的面积取得最小值8.
考查方向
解题思路
(Ⅱ)首先讨论直线的斜率存在与不存在两种情况,当直线
的斜率不存在时,易知直线
的方程为
或
,即可求出
的面积的值;当直线
的斜率存在时,设出直线
的方程
,然后联立直线
与椭圆的方程并整理得到一元二次方程
,然后根据题意直线
总与椭圆
有且只有一个公共点知,
即可得到
.再分别联立直线
与直线
和
可解得点
和点
的坐标,并根据原点
到直线
的距离公式可求得
,于是
的面积可表示为
消去参数
可得
,于是分两种情况进行讨论:①当
时;②当
时,分别求出
的面积的最小值,并比较即可求出
的面积取得最小值.
易错点
忘记讨论斜率不存在的情况。
设函数,
的定义域均为
,且
是奇函数,
是偶函数,
,其中e为自然对数的底数.
24.求,
的解析式,并证明:当
时,
,
;
25.设,
,证明:当
时,
.
正确答案
(Ⅰ),
.证明:当
时,
,
,故
又由基本不等式,有,即
解析
(Ⅰ)由,
的奇偶性及
,①得:
②
联立①②解得,
.
当时,
,
,故
③
又由基本不等式,有,即
④
考查方向
解题思路
(Ⅰ)将等式中
用
来替换,并结合已知
是奇函数,
是偶函数可得
于是联立方程组即可求出
的表达式;当
时,由指数与指数函数的性质知
,
,进而可得到
然后再由基本不等式即可得出
易错点
导函数计算出错。
正确答案
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
⑤
⑥
当时,
等价于
⑦
等价于
⑧于是设函数
,由⑤⑥,有
当
时,(1)若
,由③④,得
,故
在
上为增函数,从而
,即
,故⑦成立.(2)若
,由③④,得
,故
在
上为减函数,从而
,即
,故⑧成立.综合⑦⑧,得
.
解析
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 , ⑤
, ⑥
当时,
等价于
, ⑦
等价于
⑧
设函数 ,由⑤⑥,有
当时,(1)若
,由③④,得
,故
在
上为增函数,从而
,即
,故⑦成立.(2)若
,由③④,得
,故
在
上为减函数,从而
,即
,故⑧成立.综合⑦⑧,得
.
考查方向
解题思路
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
.于是要证明
,即证
,也就是证明
,即证
于是构造函数
,利用导数在函数的单调性与极值中的应用即可得出结论成立.
易错点
计算量大。