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文科数学 长春市2017年高三第二次模拟考试
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文科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2、填空题
13
14
15
16
3、简答题
17
18
19
20
21
22
23
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单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1. 已知集合，则 （       ）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

题意可知，，. 故选B.

考查方向

本题考查交集及其运算.

解题思路

求出集合B，再求交集.

易错点

有些同学会把交集，并集混淆.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3. 下列函数中，既是奇函数又在单调递增的函数是（       ）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

A、B选项为偶函数，排除，C选项是奇函数，但在上不是单调递增函数.故选D.

考查方向

本题考查函数的单调性与奇偶性知识.

解题思路

首先用奇偶性排除A、B，再由单调性排除C，可得答案.

易错点

判断函数奇偶性首先要看定义域是否关于原点对称.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6.某游戏设计了如图所示的空心圆环形标靶，图中所标注的一、二、三区域所对的圆心角依次为，，，则向该标靶内投点，该点落在区域二内的概率为（       ）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

设三个区域圆心角比值为，故区域二所占面积比.故选B.

考查方向

本题主要考查几何概型.

解题思路

由三个区域圆心角比值得出区域二所占面积比可得答案.

易错点

不能区分古典概型和几何概型.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8.运行如图所示的程序框图，则输出结果为（       ）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由已知，.故选A.

考查方向

本题考查直到型循环结构程序框图运算.

解题思路

找出每次循环的S值，并结合循环控制的条件可得答案.

易错点

找不出规律而致错.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

9. 关于函数，下列叙述有误的是（       ）

A其图象关于直线对称

B其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到

C其图象关于点对称

D其值域是

正确答案

C

解析

由已知，该函数关于点对称.故选C.

考查方向

本题考查本题考查三角函数的有关性质.

解题思路

C中将横坐标代入可得纵坐标.

易错点

B中，横坐标反而缩短.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

10. 右图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（       ）

A深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高

B深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降

C平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州

D平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门

正确答案

D

解析

由图可知D错误.故选D.

考查方向

本题主要考查考试对统计图表的识别.

解题思路

由图及数据进行分析可得答案.

易错点

注意平均变化量和平均变化率的区别.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2. 已知复数，则下列命题中正确的个数为（       ）

①  ；②  ；③ 的虚部为 ；④ 在复平面上对应点在第一象限.

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由已知，①②④正确，③错误.故选C.

考查方向

本题考查复数的模、共轭复数、虚部与复数与平面内点的对应关系.

解题思路

由复数的有关概念可得答案.

易错点

错把i作为虚部.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4. 圆关于直线对称的圆的方程是（       ）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

圆的圆心关于直线对称的坐标为，从而所求圆的方程为.故选D.

考查方向

本题考查直线与圆的相关知识.

解题思路

先求出圆心关于直线对称的坐标，从而可得答案.

易错点

点关于直线对称的坐标求错.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5. 堑堵，我国古代文科数学名词，其三视图如图所示.《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”（注：一丈  十尺）. 答案是（       ）

A25500立方尺

B34300立方尺

C46500立方尺

D48100立方尺

正确答案

C

解析

由已知，堑堵的体积为. 故选C.

考查方向

本题主要考查由三视图求空间几何体的体积.

解题思路

首先得出几何体的特征，再求其体积.

易错点

不能想象出空间几何体而致错.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7.在 △中，为三角形所在平面内一点，且，则（       ）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由已知，点在边的中位线上，且为靠近边的三等分点处，从而有.故选D

考查方向

本题主要考查利用平面向量确定点的位置进而解决平几问题.

解题思路

首先找出点D的位置，从而可得.

易错点

不能找出D点位置.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

11. 双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，点,点为双曲线第一象限内的点，则当点位置变化时，周长的最小值为（       ）

A8

B10

C

D

正确答案

B

解析

由已知双曲线方程为，设双曲线的上焦点为，则，△的周长为，当点在第一象限时，的最小值为，故△的周长的最小值为10.故选B.

考查方向

本题考查双曲线定义的相关知识.

解题思路

由双曲线定义可得，从而可得△的周长，得出答案.

易错点

不能确定的最小值.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

12. 已知定义域为的函数的图象经过点，且对任意实数，都有，

则不等式的解集为（       ）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

令，由任意，可得，所以在定义域内单调递增，由，得，因为等价于，令，有，则有，即，从而，解得且. 故选A.

考查方向

本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.

解题思路

首先构造函数，令，由条件可得在定义域内单调递增，从而可解不等式.

易错点

构造函数是本题的关键点.

填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

14.已知实数满足，则的最大值为 ______.

正确答案

7

解析

通过画可行域可以确定，使目标函数取最大值的最优解为，故的最大值为.

考查方向

本题主要考查线性规划.

解题思路

先作出可行域，再确定最优解，可得答案.

易错点

确定最优解.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

16. 已知四棱锥的底面为矩形，△为等边三角形，平面⊥平面,，，则四棱锥外接球半径为___________.

正确答案

解析

由已知，设三角形外接圆圆心为，为边中点，进而求出，设四棱锥的外接球球心为，外接球半径的平方为，所以四棱锥外接球半径为.

考查方向

本题考查四棱锥的外接球问题.

解题思路

设三角形外接圆圆心为，为边中点，进而求出，然后求出外接球半径可得答案.

易错点

不能确定球心的位置.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

13. ___________.

正确答案

解析

.

考查方向

本题考查同角基本关系式和二倍角公式.

解题思路

凑余弦的二倍角公式可得答案.

易错点

凑成余弦的二倍角公式是关键.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

15. 将正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数是___________.

正确答案

91

解析

由三角形数组可推断出，第行共有项，且最后一项为，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.

考查方向

本题考查考生有关数列归纳的相关能力.

解题思路

找出规律可得答案.

易错点

没有找出正确的规律.

简答题（综合题） 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知数列满足，.

17.若数列满足，求证：是等比数列；

18. 若数列的前项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

由题可知，

从而有，，

所以是以1为首项，3为公比的等比数列.

考查方向

本题考查等比数列及数列前n项和.

解题思路

由题目条件可得和的关系可得结论；

易错点

由题得出.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由(1)知，从而，

有

考查方向

本题考查等比数列及数列前n项和.

解题思路

由数列的通项公式可得数列的通项公式，再求其和.

易错点

由题得出.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如右图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.

19. 完成2×2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？

20.为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方式从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5株玉米中选取2株进行杂交实验，选取的植株均为矮茎的概率是多少？

( ,其中 )

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关.

解析

根据统计数据做出列联表如下：

经计算，因此可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关.                                                         （6分）

考查方向

本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.

解题思路

列出列联表，计算出k值，可得答案

易错点

计算k值出现错误.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

分层抽样后，高茎玉米有2株，设为，矮茎玉米有3株，设为，从中取出2株的取法有，共10种，其中均为矮茎的选取方式有共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是.

考查方向

本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.

解题思路

分层抽样后，得出概率.

易错点

计算k值出现错误.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知三棱锥中，△是等腰直角三角形，且⊥，，⊥平面，.

21.求证：平面⊥平面；

22.若为中点，求点到平面的距离.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

证明：因为平面平面，所以，又因为，所以平面平面，所以平面平面.

考查方向

本题以三棱锥为载体，考查平面与平面垂直，求点到平面距离问题等. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

解题思路

先证出，又，得出平面所以平面平面

易错点

由等体积法求距离.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由已知可得，取中点为，连结，由于，所以为等腰三角形，从而，，由（1）知平面所以到平面的距离为1，，令到平面的距离为，有，解得.

考查方向

本题以三棱锥为载体，考查平面与平面垂直，求点到平面距离问题等. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

解题思路

由得出答案.

易错点

由等体积法求距离.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知抛物线：与直线相切.

23.求该抛物线的方程;

24.在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于两点，使得为定值.如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

联立方程有，，有，由于直线与抛物线相切，得，所以.

考查方向

本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.

解题思路

联立方程,由直线与抛物线相切可得答案

易错点

得出的表达式，进而得出其为定值.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

假设存在满足条件的点，直线，有，，设，有，，，，当时，为定值，所以

考查方向

本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.

解题思路

假设存在满足条件的点，由得出

，，从而可得当时，为定值.

易错点

得出的表达式，进而得出其为定值.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知函数.

25.若存在极值点为，求的值；

26.若存在两个不同零点，求证：（为自然对数的底数，）.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，因为存在极值点为1，所以，即，经检验符合题意，所以.

考查方向

本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.

解题思路

求导后，由可得答案；

易错点

构造函数，得出.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

①当时，恒成立，所以在上为增函数，不符合题意；

②当时，由得，

当时，，所以为增函数，

当时，，所为增函减数，

所以当时，取得极小值

又因为存在两个不同零点，所以，即

整理得，令，，在定义域内单调递增，，由知，故成立.

考查方向

本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.

解题思路

求导，分类讨论，确定极值，再由存在两个不同零点，构造函数，由导数可得结论.

易错点

构造函数，得出.

1
题型：简答题
|
分值: 10分

选修4—4：坐标系与参数方程选讲.

已知在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，）.

27.求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；

28.设曲线与曲线的交点为，，当时，求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

，该曲线为椭圆;

解析

由得，该曲线为椭圆. （5分）

考查方向

本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.

解题思路

由极坐标与普通坐标的关系可得答案

易错点

由参数方程求的值.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

将代入得，由直线参数方程的几何意义，设，

，所以，从而，由于，所以.

考查方向

本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.

解题思路

将参数方程代入椭圆方程，由参数方程的意义可得答案.

易错点

由参数方程求的值.

1
题型：简答题
|
分值: 10分

选修4—5：不等式选讲.

29.如果关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围；

30. 若均为正数，求证：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

令，可知，故要使不等式的解集不是空集，

有.

考查方向

本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.

解题思路

分成三段，求出最小值，可得答案

易错点

将存在性问题和恒成立问题混淆.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

由均为正数，则要证，只需证，整理得，由于当时，，可得，当时，，可得，可知均为正数时，当且仅当时等号成立，从而成立.

考查方向

本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.

解题思路

(1)分成三段，求出最小值，可得答案；（2）由分析法证明.

易错点

将存在性问题和恒成立问题混淆.

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