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2.复数满足
,则复数
的实部与虚部之和为 ( )
正确答案
解析
因为,所以
,
所以,,复数
的实部与虚部之和为0.
. A选项不正确,C选项不正确,选项B不正确,所以选D选项.
考查方向
解题思路
求出复数Z.
易错点
本题易在展开时出错.
5.设,且
,则( )
正确答案
解析
由已知条件可知,在同一坐标下作出两个指数函数图像,作直线
与两个图像相交,判断交点纵坐标大小可得
。
A选项不正确,B选项不正确,D选项不正确,所以选C选项.
考查方向
解题思路
1.作出两个指数函数图像;2.利用直线与两个图像相交,判断交点纵坐标大小。
易错点
本题易在底数是否大于1时出错.
6.下面程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”,执行该程序框图(图中“”表示
除以
的余数),若输入的
分别为495,135,则输出的
( )
正确答案
解析
,
除以
的余数是
;
,
除以
的余数是
;
,
除以
的余数是
循环结束,输出
,选D.
考查方向
解题思路
1.一次执行循环;2. 循环结束.
易错点
本题易错判循环结束的情况.
8.已知是定义在
上的奇函数,当
时,
(
为常数),则
的值为 ( )
正确答案
解析
因为是定义在
上的奇函数,所以
,所以
。
所以
考查方向
解题思路
1求,2.利用对数恒等式求
3.利用奇偶性求出
。
易错点
1易忽略奇函数中;
2对数恒等式的应用。
11. 一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图,图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形,则这个四面体的外接球的表面积是( )
正确答案
解析
借助正方体还原原图,四面体为正四面体,它的外接球即为正方体
的外接球,且正方体棱长为1,所以外接球直径为
,所以外接球表面积
考查方向
解题思路
1.借助正方体由三视图复原几何体;2.计算出外接球直径,代入表面积公式.
易错点
本题不易想象出原图,可借助正方体降低难度。
1.已知集合,
,则
的子集的个数是( )
正确答案
解析
因为,所以集合C中元素个数即为
和
图像交点个数,
作图可知交点有一个,所以C集合中只有一个元素,它的子集有=2个。
A选项不正确,B选项不正确,D选项不正确,所以选C选项.
考查方向
解题思路
①作图判断图像交点个数. ②求子集个数。
易错点
①不能正确作图;
②的图像只在第一象限。
3.设直线是两条不同的直线,
是两个不同的平面,下列事件中是必然事件的是 ( )
正确答案
解析
如图长方体中,,但
。所以不正确。
如图长方体中,但
,所以不正确。
,但
所以不正确。
考查方向
解题思路
①本题主要考察了空间中直线和平面的位置关系
②借助于长方体中的线、面关系可以快速进行判断。
易错点
正确掌握各种判定定理和性质定理是正确解决空间线面位置关系的关键。
4.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率;先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0、1、2表示没有击中目标,3、4、5、6、7、8、9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数 :
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )
正确答案
解析
这是古典概型求概率问题。首先基本事件总数为20,然后确定该射击运动员射击4次至少击中3次的次数有12次,所以概率为
A选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选B选项.
考查方向
解题思路
1.计算基本事件的总数;2.计算事件该射击运动员射击4次至少击中3次包含的基本事件的个数
;3.依据公式
求值。
易错点
本题易在列举该射击运动员射击4次至少击中3次的次数时出错.
7.若实数满足
,则
的最大值是 ( )
正确答案
解析
如图:由满足约束条件
知可行域为三条直线所围成的三角形区域,作直线
并进行平移,当它经过点
时,
取得最大值,最大值为
考查方向
解题思路
1作出可行域,2.作直线3.平移直线
,当它经过点
求的最大值.
易错点
本题易在平移直线过程中出错.
9.已知函数:①,②
,则下列结论正确的是 ( )
正确答案
解析
①,②
两个函数周期不同,所以D不正确。所以
图像不关于
对称 ,所以B不正确;
,所以
不 关于点
成中心对称,所以A不正确.
所以选C.
解题思路
1. 先对两个函数化简为最间形式。2.判断函数的对称性,周期性,得出结论【考查方向】本题主要考查了三角函数的图像与性质,在近几年的各省高考试题中出现的频率较高,常与三角公式的恒等变形,函数的图像与性质交汇处命题.
易错点
三角函数的化简
10. 已知是双曲线
的上、下焦点,点
关于渐近线的对称点恰好落在以
为圆心,
为半径的圆上,则双曲线的离心率为( )
正确答案
解析
设点关于渐近线的对称点为P,
,又
,所以
是等边三角形,所以
,所以
,又直线
与渐近线垂直,所以
,
所以,所以
。
解题思路
1.做出图形;
12.中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美,给出定义:能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”,给出下列命题:
①对于任意一个圆,其“优美函数“有无数个”;
②函数可以是某个圆的“优美函数”;
③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”;
④函数是“优美函数”的充要条件为函数
的图象是中心对称图形.
其中正确的命题是:( )
正确答案
解析
①.只要以圆心为对称中心的函数图像都可以,这样的函数有无数个,所以正确;
②. 函数 是偶函数,不符合要求。
③. 正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”,例如,以坐标原点为圆心,
的整数倍为半径的圆都可以。所以正确。
④.如图红色图像为圆某优美函数图像,但函数不是中心对称图形,所以不正确。所以选A
考查方向
解题思路
根据题目“优美函数”的定义,对函数的图形,性质逐一验证,分析。
易错点
对“优美函数”概念不理解.
14.在中,
,则
.
正确答案
-1
解析
因为,
所以
,
,
所以:,即
,所以:
考查方向
解题思路
1.由同角三角函数关系式求出,
;2.由两角和的正切公式得出
,3.根据三角形内角和为
和诱导公式求出
.
易错点
诱导公式求时的符号问题.
15. 在中,角
的对边分别为
,且
,若
的面积为
,则
的最小值为 .
正确答案
解析
由得:
,整理得:
,
所以:,所以
,所以:
,所以,
,由
可得:
即
,解出
,即
的最小值为12.
考查方向
解题思路
1.由余弦定理求得,进一步求出
,2.由三角函数同角公式得出
,3.根据面积公式得出
.4.利用均值不等式得出
,从而求出结论。
易错点
本题易在余弦定理的运用和重要不等式应用处出错.
13.已知向量,若
,则
.
正确答案
解析
由 得
。因为
,
所以,解出
,得
。
考查方向
解题思路
写出向量坐标,利用向量垂直的坐标运算列出方程,求出x,利用模长公式求出结果。
易错点
本题易在求坐标时出错.
16.椭圆的左、右顶点分别为
,点
在
上且直线
斜率的取值范围是
,那么直线
斜率的取值范围是 .
正确答案
解析
易知:,设
,则有:
,所以:
。又
,
所以:,又
得:
考查方向
解题思路
1.根据方程写出顶点坐标,求出2.计算出
为常数3.利用
,解得
.
易错点
本题不容易想到为常数,从而导致解题无法进行.
已知国家某级大型景区对拥挤等级与每日游客数量
(单位:百人)的关系有如下规定:当
时,拥挤等级为“优”;当
时,拥挤等级为“良”;当
时,拥挤等级为“拥挤”;当
时,拥挤等级为“严重拥挤”.该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据:
19. 下面是根据统计数据得到的频率分布表,求出的值,并估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
20. 某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩,求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的频率.
正确答案
,估计该景区6月份游客人数的平均值为120;
解析
(1)游客人数在范围内的天数共有15天,
故,……………………..4分
游客人数的平均数为;………………….6分
考查方向
解题思路
1、利用频率列表计算;
易错点
古典概型的概率公式球概率时确定基本事件空间。
正确答案
解析
从5天中任选两天的选择方法有:,
,共10种,…………………….2分
其中游客等级均为“优”的有,共3种,…………………….4分
故所求概率为.……………………..6分
考查方向
解题思路
1、列举出所有基本事件,个数为;
如图,抛物线的焦点为
,抛物线上一定点
.
23. 求抛物线的方程及准线
的方程;
24. 过焦点的直线(不经过
点)与抛物线交于
两点,与准线
交于点
,记
的斜率分别为
,问是否存在常数
,使得
成立?若存在
,求出
的值;若不存在,说明理由.
正确答案
抛物线方程为,准线
的方程为
解析
把代入
,得
,所以抛物线方程为
,…………………….2分
准线的方程为
.……………………..2分
考查方向
解题思路
1、把点坐标代入抛物线方程,求出,得出标准方程;
易错点
化简时据算量较大,容易出错。
正确答案
存在,使得
成立。
解析
由条件可设直线的方程为
.由抛物线准线
,可知
,又
,所以
,
把直线的方程
,代入抛物线方程
,并整理,可得
,设
,则
,…………………….3分
又,故
.因为
三点共线,所以
,
即,……………………..5分
所以,
即存在常数,使得
成立. ……………………..8分
考查方向
解题思路
1、设出直线方程,与抛物线方程联立;
已知,集合
,把
中的元素从小到大依次排成一列,得到数列
.
17. 求数列的通项公式;
18. ,设数列
的前
项和为
,求证:
.
正确答案
解析
(1)∵,∴
,…………………….3分
又∵,∴
;……………………..5分
考查方向
解题思路
1.利用正弦曲线求出x;2.根据题目要求写出数列通项.
易错点
本题易在计算x 时出错.记
正确答案
解析
(1)∵,…………………….2分
,……………………..4分
∴,……………………..6分
∴得证. ……………………..7分
考查方向
解题思路
1.利用(1)结论求出;2.裂项相消求和;3得出结论。
易错点
本题易在裂项时出错.
如图,边长为2的正方形中,点
是
的中点,点
是
的中点.将
分别沿
折起,使
两点重合于点
,连结
.
21. 求异面直线与
所成角的大小;
22. 求三棱锥的体积.
正确答案
90°;
解析
(1)在正方形中,因为有
,则
,……………………..2分
又,
平面
,所以
平面
.………….4分
而平面
,所以
,所以异面直线
与
所成角的大小为90°……………………..6分
考查方向
解题思路
1、首先利用线线垂直证明线面垂直
正确答案
;
解析
因为正方形的边长为2,点
是
的中点,点
是
的中点,所以在
中,
,∴
,
而,
∴,∴
,……………………2分
∴,……………………..4分
由(1)得平面
,且
,
∴.…………………….6分
考查方向
解题思路
1、首先利用线线垂直证明线面垂直,确定椎体的高