文科数学 2017年高三第二次模拟考试

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填空题
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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

2．已知a∈R，i为虚数单位，若（1﹣i）（a+i）为纯虚数，则a的值为（　　）

C﹣2

D﹣1

正确答案

解析

解：∵为纯虚数，

∴，解得：．

故选：D．

考查方向

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的概念以及纯虚数的概念，本题是一道简单题．

解题思路

直接由复数代数形式的乘法运算化简，再由已知条件列出方程组，求解即可得答案．

易错点

本题易错在对纯虚数的概念不理解.

题型：单选题

分值: 5分

3．“x＜2”是“2x＜1”的（　　）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

解析

解：“” “” “”

但是“” “”，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选：B．

考查方向

本题考查指数不等式的解法，考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，本题是一道中档题．

解题思路

先解指数不等式，结合充要条件的定义，即可得答案．

易错点

本题易错在不会解指数不等式.

题型：单选题

分值: 5分

4．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）

Bab＜b2

C﹣ab＜﹣a2

正确答案

解析

解：由于，不妨令，，可得，

∴，故A不正确．

可得，，

∴，故B不正确．

可得，，

∴，故C不正确．

故选D．

考查方向

本题考查不等关系与不等式，考查特殊到一般的数学思想，本题是一道简单题．

解题思路

由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．

易错点

本题易错在没有对，进行特殊赋值.

题型：单选题

分值: 5分

7．已知a＞0，x，y满足约束条件，z=x+2y的最小值为﹣2，则a=（　　）

正确答案

解析

解：由约束条件，作出可行域如图，

联立，解得，的最小值为，

由图形可知A是目标函数的最优解，A在上，

可得：

解得．

故选：B．

考查方向

本题考查利用线性约束条件下的目标函数的最值求参数问题，考查简单线性规划问题，考查数形结合的数学思想．

解题思路

由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入ax﹣y﹣2a=0得答案．

易错点

本题易错在画可行域出错.

题型：单选题

分值: 5分

8．把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（　　）

正确答案

解析

解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；

再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．

故选A．

考查方向

本题考查三角函数的平移变换以及伸缩变换的应用，考查三角函数最值与对称性的应用，本题是一道中档题．

解题思路

先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令即可得到答案．

易错点

本题易错在不能利用最值来求三角函数的最值.

题型：单选题

分值: 5分

9．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（　　）尺布．

正确答案

解析

解：由题可知，是等差数列，

首项是，公差为，前项和为．

根据等差数列前项和公式，

有，解得．

故选：B．

考查方向

本题考查等差数列的基本量的计算，考查等差数列前项和公式的应用，考查方程思想的应用，本题是一道简单题．

解题思路

由题可知，是等差数列，首项是，公差为，前项和为．根据等差数列前项和公式，能求出结果．

易错点

本题易错在公式记错以及计算出错.

题型：单选题

分值: 5分

1．设全集为R，集合A={x|x2+3x≤0}，则∁RA=（　　）

A{x|x＜﹣3或x＞0}

B{x|x≤3或x≥0}

C{x|﹣3＜x＜0}

D{x|﹣3≤x≤0}

正确答案

解析

解：集合，

则，

故选：A．

考查方向

本题考查一元二次不等式的解法，考查补集及其运算，本题是高考的热点问题．

解题思路

解出关于集合的不等式，求出的补集即可．

易错点

本题易错在不会解一元二次不等式.

题型：单选题

分值: 5分

5．一算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的x可能为（　　）

A﹣1

C1或5

D﹣1或1

正确答案

解析

解：这是一个用条件分支结构设计的算法，

该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数的函数值，

因为输出的结果为，

当时，，解得，或，，即，，，…

当时，，解得（不合，舍去），

则输入的可能为．

故选B．

考查方向

本题考查循环结构的程序框图的应用，考查分段函数的求值，考查三角方程以及指数方程的解法，本题是一道中档题.

解题思路

根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是求分段函数的函数值．利用输出的值，求出输入的的值即可．

易错点

本题易错在不会解三角函数方程.

题型：单选题

分值: 5分

6．已知向量，向量，则△ABC的形状为（　　）

A等腰直角三角形

B等边三角形

C直角非等腰三角形

D等腰非直角三角形

正确答案

解析

解：∵，，

∴，

∴．

又．

∴的形状为等腰直角三角形．

故选A．

考查方向

本题考查平面向量的坐标运算，考查平面向量的数量积运算，考查函数与方程的应用，本题是高考的热点问题．

解题思路

由已知向量的坐标求得的坐标，可得，结合得答案．

易错点

本题易错在计算的坐标出错.

题型：单选题

分值: 5分

10．如图所示，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1﹣ABC1的体积为（　　）

正确答案

解析

解：∵三棱柱的所有棱长均为，

∴底面为正三角形，面积

又∵底面，

∴三棱柱的体积，

∵三棱锥、三棱锥与三棱柱等底等高

∴

由此可得三棱锥的体积

故选：A．

考查方向

本题考查直线与平面垂直的性质，考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，本题是一道中档题．

解题思路

【分析】根据题意，得出三棱柱是棱长均为的正三棱柱，然后算出它的体积．再根据锥体的体积公式得三棱锥、三棱锥的体积都等于三棱柱体积的，由此用三棱柱体积减去两个三棱锥的体积，即可算出三棱锥的体积．

易错点

本题易错在没有利用割补法来求体积.

题型：单选题

分值: 5分

11．已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（　　）

正确答案

解析

解：令，则，

由，得，即函数在上单调递增，

由得，即函数在上单调递减，

所以当时，函数有最小值，，

于是对任意的，有，故排除B、D，

因函数在上单调递减，则函数在上递增，故排除C，

故选A．

考查方向

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象的综合应用，考查数形结合的数学思想，本题是一道中档题.

解题思路

利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．

易错点

本题易错在没有利用导数来判断函数的单调性.

题型：单选题

分值: 5分

12．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，当x1＜x2＜x3＜x4时满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则x1•x2•x3•x4的取值范围是（　　）

A（7，）

B（21，）

C[27，30）

D（27，）

正确答案

解析

解：画出函数f（x）的图象，

令，

作出直线，

由时，；时，．

由图象可得，当时，直线和曲线有四个交点．

由图象可得，

则，即为，可得，

由的图象关于直线对称，可得，

则在递增，

即有．

故选：D．

考查方向

本题考查函数的图象与性质的应用，考查二次函数的最值的求法，考查数形结合的数学思想，解题的关键是根据函数图象求出间的联系．

解题思路

画出分段函数的图象，令，作出直线，通过图象观察，可得的范围，运用对数的运算性质和余弦函数的对称性，可得，，再由二次函数在（递增，即可得到所求范围．

易错点

本题易错在不能准确画出函数的图象而不能得出间的联系.

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

13．设函数f（x）=（x+1）（2x+3a）为偶函数，则a=　　．

正确答案

解析

解：函数

∵函数为偶函数，

∴

∴，

故答案为：

考查方向

本题考查偶函数的性质，考查对比系数法求参数的值，考查函数与方程的数学思想，本题是一道简单题．

解题思路

根据偶函数的定义，可得一次项系数为，列出方程解方程即可得结论．

易错点

本题易错在对偶函数的定义以及性质不熟练而不能列出方程.

题型：填空题

分值: 5分

15．小王同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，20min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是　　km．

正确答案

解析

解：如图，由已知可得，．

在中，，，，

由正弦定理可得，

故答案为

考查方向

本题考查三角形内角和的应用，考查正弦定理的应用，考查解三角形的实际应用，本题是一道中档题．

解题思路

在中，可得，，则∠，由正弦定理可得．

易错点

本题易错在计算出错.

题型：填空题

分值: 5分

14．在三角形ABC中，点E，F满足，，若，则x+y=　　．

正确答案

解析

解：在三角形中，点，满足，，

若，

所以，，则；

故答案为：

考查方向

本题考查平面向量的线性运算，考查平面向量的基本定理及其意义，考查对比系数法求参数的值，本题是一道中档题．

解题思路

首先利用平面向量的三角形法则得到，然后用，表示，结合平面向量基本定理得到，．

易错点

本题易错在不能转化为用来表示.

题型：填空题

分值: 5分

16．已知f（x）=x+alnx（a＞0）对于区间[1，3]内的任意两个相异实数x1，x2，恒有成立，则实数a的取值范围是　　．

正确答案

解析

解：已知，，

对区间内的任意两个相异的实数，恒有，

∴，

两边都除以，

∵，（1）

∵（lnx）′=∈[，1]，

∴，

当时（1）变为，

解得：，

时（1）变为，

解得：，

又∵，

∴，

故答案为．

考查方向

本题考查函数的求导，利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题的转化，考查不等式的解法，本题是一道难题．

解题思路

把问题等价于（1），由时（1）变为，由时（1）变为，得到关于的不等式，解出即可．

易错点

本题易错在不能把问题转化为不等式的问题.

简答题（综合题）本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，M，N分别为SA，CD的中点．

19. （I）证明：直线MN∥平面SBC；

20. （Ⅱ）证明：平面SBD⊥平面SAC．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

解析

（Ⅰ）证明：如图，取中点，连接、，

因为为的中点，所以，且，

因为为菱形边的中点，

所以，且，

所以，，

所以四边形是平行四边形，

所以，

又因为平面，平面，

所以直线平面.

考查方向

本题考查线线平行的判定，考查中位线定理的应用，考查直线与平面平行的判定，本题是一道简单题．

解题思路

（Ⅰ）取中点，连接、，由三角形中位线定理、菱形性质得四边形是平行四边形，由此能证明直线平面．

易错点

本题易错在没有找到准确的中点来证明平行四边形.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

略；

解析

（Ⅱ）证明：如图，连接、，交于点，

因为底面，所以．

因为四边形是菱形，所以．

又，所以平面．

又平面，所以平面平面．

考查方向

本题考查线面垂直的性质定理，考查线面平行的判定定理，考查面面垂直的判定定理，考查空间想象能力，本题是高考的热点.

解题思路

连接、，交于点，由线面垂直得，由菱形性质得，由此能证明平面平面平面．

易错点

本题易错在混淆了线面平行与线面垂直的判定定理.

题型：简答题

分值: 12分

某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品分别可获得y1，y2万元的利润，利润曲线，P2：y2=bx+c，如图所示．

21. （1）求函数y1，y2的解析式；

22. （2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

，

解析

解：（1）由题知，在曲线上，

则，

解得，即．

又在曲线上，且，则，则

所以．

考查方向

本题考查待定系数法求函数解析式，考查函数与方程的综合应用，本题是一道简单题．

解题思路

将，代入曲线：解方程可得；由：过原点，可得，将代入，可得，即可得到的方程；

易错点

本题易错在计算出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

当投资甲商品万元，乙商品万元时，所获得的利润最大值为万元

解析

设甲投资万元，则乙投资为万元，

投资获得的利润为万元，则，

令，

则

当，即（万元）时，利润最大为万元，此时（万元），

答：当投资甲商品万元，乙商品万元时，所获得的利润最大值为万元．

考查方向

本题考查二次函数的最值及其几何意义，函数解析式的求解及常用方法，考查函数与方程的数学思想，本题是一道中档题．

解题思路

设甲投资万元，则乙投资为万元，投资获得的利润为万元，则，令，转化为二次函数的最值求法，即可得到所求最大值．

易错点

本题易错在没有整体的数学思想，不会利用换元法求函数的最值.

题型：简答题

分值: 12分

已知2sinα•tanα=3，且0＜α＜π．

17. 求α的值；

18. （2）求函数f（x）=4sinxsin（x﹣α）在上的值域．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：（1）∵，且．

∴，

∴，即，

解得，或（舍），

∴．

考查方向

本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查倍角公式的应用，考查一元二次方程的解法，考查三角函数中的恒等变换应用，本题是一道中档题．

解题思路

利用同角三角函数的基本关系，求得的值，可得的值．

易错点

本题易错在没有转化为关于的一元二次方程.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（2）∵，

∴函数

，

∵，

∴，

则，

∴．

考查方向

本题考查三角函数关系式的化简，考查倍角公式以及辅助角公式的应用，考查三角函数值域的求法，本题是一道中档题.

解题思路

利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数在上的值域．

易错点

本题易错在对三角函数的关系式不熟练，不能转化为的形式.

题型：简答题

分值: 12分

已知数列{an}的前n项和sn，点（n，sn）（n∈N*）在函数y=x2+x的图象上

23. （1）求{an}的通项公式；

24. （2）设数列{}的前n项和为Tn，不等式Tn＞loga（1﹣a）对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：（1）∵在函数的图象上，

∴①

当时，②

①﹣②得

当时，，符合上式，

∴；

考查方向

本题考查函数图象的应用，考查数列前项和与通项公式的联系，考查数列递推公式求数列的通项的方法，本题是一道中档题.

解题思路

先根据点在图象上得出前项和的公式，然后求出前和的公式，在作差求出通项公式，最后验证第一项即可.

易错点

本题易错在没有验证第一项是否满足求出来的通项公式.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由（1）知，则．

∴

．

∵，

∴数列单调递增，

∴．

要使不等式对任意正整数恒成立，只要．

∵，

∴．

∴，即．

考查方向

本题考查裂项相消法求数列的前项和，考查数列的单调性的判定，考查对数函数的性质的应用，考查对数不等式的解法，解题的关键恒成立问题转化为最值问题．

解题思路

先利用裂项法可求，从而可求得前项和的表达是，然后根据作差法可判断数列单调递增，从而列出不等式根据对数函数的性质自己看可求得的取值范围．

易错点

本题易错在不能利用裂项相消法求出数列的前前项和

题型：简答题

分值: 12分

已知函数f（x）=x3﹣x2，g（x）=﹣mx，m是实数．

25. （Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极大值，求m的值；

26. （Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）为增函数，求m的取值范围；

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：∵，

由在处取到极大值，得，

∴，（符合题意）；

考查方向

本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查函数与方程的数学思想，解题的关键是求导正确，本题是一道简单题．

解题思路

先求出函数的导数，然后由列出方程，再解出方程即可；

易错点

本题易错在不理解极值点既是导函数的零点，没有列出相应的方程.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵，

∵在区间为增函数，

∴在区间恒成立，

∴恒成立，即恒成立，

由，得，

∴的范围是．

∵，

∴，解得：，，

当时，，在上是增函数，不合题意，

当时，令，解得：，，令，解得：，

∴在，递增，在递减，

∴极大值为，极小值，

要使有个零点，

需，解得：，

∴的范围是．

考查方向

本题考查函数的求导，考查构造法求函数的最值，考查利用导数判断函数的单调性，考查不等式的解法，考查转化与化归的数学思想，本题是一道难题.

解题思路

由函数是单调增函数可得导函数在区间恒成立，即恒成立，从而根据的取值范围求得的取值范围.

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数h（x）=f（x）﹣g（x）有三个零点，求m的取值范围．

先求出，分别得时，时的情况，进而求出的范围．

易错点

本题易错在取等条件的确定.

本题易错在不会解一元三次不等式.

题型：简答题

分值: 10分

已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．

27. （1）判断直线l与曲线C的位置关系；

28. （2）过直线l上的点作曲线C的切线，求切线长的最小值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

相离

解析

解：（1）直线方程：，，

∴，

∴圆的直角坐标方程为，

即，

∴圆心到直线的距离为，故直线与圆相离．

考查方向

简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

解题思路

分别求出直线和曲线的普通方程，根据点到直线的距离，求出直线与曲线的位置关系；

易错点

本题易错在计算出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（2）直线的参数方程化为普通方程为，

则圆心到直线的距离为，

∴直线上的点向圆引的切线长的最小值为．

考查方向

本题考查直线参数方程转化为普通方程，考查点到直线距离公式，考查勾股定理的应用，本题是一道中档题.

解题思路

根据点到直线的距离求出直线上的点向圆引的切线长的最小值即可．

易错点

本题易错在转化直线的参数方程时转化出错.

题型：简答题

分值: 10分

已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．

29. （1）求不等式f（x）＞0的解集；

30. （2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：（1）函数，

令，求得，或，

故不等式的解集为．

考查方向

本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，本题是高考的热点．

解题思路

把用分段函数来表示，令，求得的值，可得不等式的解集．

易错点

本题易错在去绝对值符号把函数写出分段函数形式的时候写出函数解析式.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（2）若存在，使得，即有解，

由（1）可得的最小值为，故，

求得．

考查方向

本题考查利用函数的最值求参数的取值范围，考查存在性问题的转化，考查一元二次不等式的解法，本题是一道中档题.

解题思路

由（1）可得的最小值为，再根据，求得的范围．

易错点

本题易错在不能由存在性问题转化为求函数的最值问题，并且不会求函数的最值.

文科数学 热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

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