2015年高考真题 文科数学 (天津卷)
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知全集,集合,集合,则集合(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

,,则,故选B.

考查方向

本题主要考查集合的交集与补集运算

解题思路

解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.

易错点

补集的求解

知识点

交、并、补集的混合运算
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为(    )

A2

B3

C4

D5

正确答案

C

解析

由程序框图可知: 故选C.

考查方向

本题主要考查程序框图及学生分析问题解决问题的能力

解题思路

卷程序框图常以客观题形式出现,属于基础题,解决此类问题的关键是确定循环次数,当循环次数不多时,可以逐次列出计算结果,天津卷2014年第3题和本题是同一类问题,希望考生留意这种命题方式.

知识点

程序框图
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为(    )

A7

B8

C9

D14

正确答案

C

解析

作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).由z=3x+y得y=-3x+z,平移直线y=-3x+z,由图象可知当直线y=-3x+z经过点A时,直线y=-3x+z的截距最大,此时z最大.,当  时取得最大值9,故选C

考查方向

本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.

解题思路

线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合,准确作出图形是解决问题的关键

易错点

根据题意正确作出约束条件对应的平面区域图象.

知识点

一元二次不等式的解法
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由双曲线的渐近线与圆相切得,由,解得,故选D.

考查方向

本题考查点到直线的距离公式,双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求出a,b的值,是解题的关键..

解题思路

本题是圆与双曲线的交汇题,虽有一定的综合性,但方法容易想到,仍属于基础题.不过要注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因

易错点

点到直线的距离公式的运用

知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.设,则“”是“”的(   )

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

,可知“”是“”的充分而不必要条件,故选A.

考查方向

本题主要考查不等式解法及充分条件与必要条件.

解题思路

本题考查的知识点有两个,一是绝对值不等式的解法,与本题有关的结论是:若,则,另一个是充分条件与必要条件,与本题有关的结论是: 对于非空集合,若的真子集,则的充分不必要条件.

易错点

对于非空集合,若的真子集,则的充分不必要条件

知识点

充要条件的应用
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

 为偶函数得,所以

, ,所以,故选B.

考查方向

本题主要考查函数奇偶性及对数运算

解题思路

函数是高考中的重点与热点,客观题中也会出现较难的题,解决此类问题要充分利用相关结论.函数的图像关于直线 对称,本题中求m的值,用到了这一结论,本题中用到的另一个结论是对数恒等式:.

易错点

函数单调性的正确运用

知识点

偶函数
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为(    )

A

B3

C

D

正确答案

A

解析

根据相交弦定理可得   所以

所以选A.

考查方向

本题主要考查圆中的相交弦定理

解题思路

平面几何中与圆有关的性质与定理是高考考查的热点,解题时要充分利用性质与定理求解,本部分内容中常见的命题点有:平行线分线段成比例定理;三角形的相似与性质;圆内接四边形的性质与判定;相交弦定理与切割线定理.

易错点

相交弦定理的灵活运用

知识点

与圆有关的比例线段
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.已知函数,函数,则函数的零点的个数为(   )

A2

B3

C4

D5

正确答案

A

解析

,所以,,此时函数 的小于零的零点为 ;当 时, ,函数无零点;当 时, ,,函数大于2的零点为,综上可得函数的零点的个数为2.故选A.

考查方向

本题主要考查函数零点个数的判断,根据条件求出函数的解析式,利用数形结合是解决本题的关键..

解题思路

本题解法采用了直接解方程求零点的方法,这种方法对运算能力要求较高.含有绝对值的分段函数问题,一直是天津高考数学试卷中的热点,这类问题大多要用到数形结合思想与分类讨论思想,注意在分类时要做到:互斥、无漏、最简.

易错点

正确进行分类讨论

知识点

一元高次不等式的解法
填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

9.i是虚数单位,计算 的结果为        

正确答案

-i

解析

.

考查方向

本题主要考查复数的乘除运算

解题思路

复数题也是每年高考必考内容,一复数般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有:复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.

易错点

复数的运算性质

知识点

复数的代数表示法及其几何意义
1
题型:填空题
|
分值: 5分

11.已知函数 ,其中a为实数,的导函数,若 ,则a的值为        

正确答案

3

解析

因为 ,所以.

考查方向

本题主要考查导数的运算法则.

解题思路

本题考查内容单一,求出由,再由可直接求得a的值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性.

易错点

导数的运算

知识点

二次函数的应用
1
题型:填空题
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分值: 5分

12.已知 则当a的值为         取得最大值.

正确答案

4

解析

时取等号,结合可得

考查方向

本题主要考查对数运算法则及基本不等式应用

解题思路

在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.

易错点

不等式取等号的条件

知识点

一元二次不等式的解法
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.在等腰梯形ABCD中,已知, 点E和点F分别在线段BCCD上,且 则的值为        

正确答案

解析

在等腰梯形ABCD中,由,,, ,所以

考查方向

本题主要考查向量数量积的应用,根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键.

解题思路

高考对平面向量数量积的考查主要是向量的模,夹角的运算及平行与垂直的判断与应用,在利用数量积的定义进行计算时,要善于将相关向量分解为图形中模与夹角已知的向量进行运算,运算时一定要注意向量的方向,搞清两向量的夹角.

易错点

向量的长度与夹角的计算

知识点

平行关系的综合应用
1
题型:填空题
|
分值: 5分

10.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为          .

正确答案

解析

该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为 .

考查方向

本题主要考查三视图及几何体体积的计算

解题思路

由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.

易错点

根据三视图得到组合体的空间结构

知识点

由三视图还原实物图
1
题型:填空题
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分值: 5分

14.已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为        

正确答案

解析

在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得 ,且,所以

考查方向

本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查了正弦函数的图象和性质,正确确定k的值是解题的关键,属于中档题.

解题思路

本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①的单调区间长度是半个周期;②若的图像关于直线 对称,则 或.

易错点

函数性质的灵活运用

知识点

正弦函数的定义域和值域
简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

如图,已知平面ABC,  AB=AC=3,,, 点E,F分别是BC, 的中点.

19.求证:EF∥平面 ;

20.求证:平面平面.

21.求直线 与平面所成角的大小.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

要证明EF∥平面, 只需证明EF||BA1 且EF 平面

证明:如图,连接,在△中,因为E和F分别是BC, 的中点,所以EF||BA1 ,又因为EF 平面, 所以EF∥平面.

解析

见答案.

考查方向

本题主要考查空间中线面位置关系的证明 ,考查空间想象能力及推理论证能力.

易错点

线面关系与面面关系的转化

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

要证明平面平面,可证明,.

因为AB=AC,E为BC中点,所以,因为平面ABC,BB1||AA1所以平面ABC,从而,又 ,所以平面 ,又因为平面,所以平面平面.

解析

见答案.

考查方向

本题主要考查空间面面位置关系,考查空间想象能力及推理论证能力.

易错点

线面垂直于面面垂直的转化.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

 中点N,连接 ,则 就是直线 与平面所成角,Rt△ 中,由得直线 与平面所成角为.

中点M和中点N,连接,NE因为N和E分别为,BC中点,所以NE||BB1 ,,故NE||AA1 ,,所以A1N||AE ,,又因为平面,所以平面 ,从而就是直线 与平面所成角,在△中,可得AE=2,所以=2,因为BM||AA1BM=AA1 ,所以A1M||AB,A1M=AB 又由,有 ,在Rt△ 中,可得,在Rt△中,因此,所以,直线 与平面所成角为.

考查方向

本题主要考查空间中线面位置关系的证明,直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力及推理论证能力.

易错点

线面角定义的灵活运用

1
题型:简答题
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分值: 14分

已知椭圆的上顶点为B,左焦点为,离心率为,

24.求直线BF的斜率;

25.设直线BF与椭圆交于点PP异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点QQ异于点B)直线PQy轴交于点M,.

(i)求的值;

(ii)若,求椭圆的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

2.

解析

试题分析:先由 及,直线BF的斜率.

 ,由已知 及 可得 ,又因为 , ,故直线BF的斜率 .

考查方向

本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识,属于中档题.

解题思路

高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成,其中考查较多的圆锥曲线是椭圆,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.

易错点

椭圆几何性质的理解运用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(i) ;(ii)

解析

试题分析:(i)先把直线BF,BQ的方程与椭圆方程联立,求出点P,Q横坐标,可得(ii)先由=,由此求出c=1,故椭圆方程为

设点 ,(i)由第24小题可得椭圆方程为 直线BF的方程为 ,两方程联立消去y 解得 .因为,所以直线BQ方程为 ,与椭圆方程联立消去y ,解得 .又因为 ,及 得

(ii)由(i)得,所以,即 ,又因为,所以=.

又因为, 所以,因此 所以椭圆方程为

考查方向

本题考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力,属于中档题.

解题思路

高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成,其中考查较多的圆锥曲线是椭圆,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.

易错点

;韦达定理的正确运用及正确化简计算

1
题型:简答题
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分值: 13分

设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.

15.求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数;

16.将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.

(i)用所给编号列出所有可能的结果;

(ii)设A为事件“编号为的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A发生的概率.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

3,1,2

解析

试题分析:由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2.

考查方向

本题主要考查分层抽样,运用统计知识解决实际问题的能力

解题思路

注意分层抽样是按比例抽取

易错点

抽取比例的确定

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(i)见试题解析;(ii)

解析

试题分析:(i)一一列举,共15种;(ii)符合条件的结果有9种,所以

(II)(i)从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为,

,,,,,,,,,,,,,,共15种.

(ii)编号为的两名运动员至少有一人被抽到的结果为,, ,, ,,,,,共9种,所以事件A发生的概率

考查方向

本题主要考查古典概型及运用概率统计知识解决实际问题的能力

解题思路

求古典概型的概率关键是求mn的值,常借助表格、树状图、以及列举法进行计算,注意基本事件的列举要按照一定的顺序进行列举,否则,容易出现遗漏或重复的现象,这点要引起考生重视..

易错点

准确列举基本事件,准确找到满足条件的事件

1
题型:简答题
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分值: 13分

ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,

17.求a和sinC的值;

18.求 的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

a=8,.

解析

试题分析:由面积公式可得结合可求得解得再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC的值.

ABC中,由 由,得 又由解得 由 ,可得a=8.由 ,得.

考查方向

本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.

解题思路

解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换.

易错点

三角形面积公式的运用及边角关系的互化

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

试题分析:(II)直接展开求值.

,

考查方向

本题主要考查三角变换,考查基本运算求解能力.

解题思路

解三角形问题实质是附加条件的三角变换,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换.

易错点

和角公式的正确运用

1
题型:简答题
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分值: 13分

已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,.

22.求的通项公式;

23.设,求数列的前n项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

,.

解析

试题分析:列出关于qd的方程组,通过解方程组求出q,d,即可确定通项;设的公比为q,的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d 解得 ,所以的通项公式为, 的通项公式为.

考查方向

本题主要考查等差、等比数列的通项公式,考查基本运算能力

解题思路

近几年高考试题中求数列通项的题目频频出现,尤其对等差、等比数列的通项考查较多,解决此类 问题要重视方程思想的应用.

易错点

准确求解方程

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析:用错位相减法求和.

由(I)有 ,设的前n项和为 ,则

两式相减得

所以 .

考查方向

本题主要考查错位相减法求和,考查基本运算能力

解题思路

错位相减法求和也是高考考查频率较高的一类方法,从历年考试情况来看,这类问题,运算失误较多,应引起考生重视.

易错点

错位相减法相减时项的对应关系

1
题型:简答题
|
分值: 14分

已知函数

26.求的单调区间;

27.设曲线轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;

28.若方程有两个正实数根,求证:.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.

解析

试题分析:由,可得 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.

,可得,当 ,即 时,函数 单调递增;当 ,即 时,函数 单调递减.所以函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.

考查方向

本题主要考查导数的运算、导数的几何意义.

解题思路

给出可导函数求单调区间,实质是解关于导函数的不等式,若函数解析式中不含参数,一般比较容易.不过要注意求单调区间,要注意定义域优先原则,且结果必须写成区间形式,不能写成不等式形式.

易错点

导数函数性质与原函数单调性的关系.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

, ,证明 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有.

 ,则 , 曲线 在点P处的切线方程为 ,即,令 即 则.

由于 单调递减,故 单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有.

解析

见答案.

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的性质等基础知识.

解题思路

利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.

易错点

构造函数的性质与所求问题的联系

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

设方程 的根为 ,可得,由 单调递减,得 ,所以 .设曲线 在原点处的切线为 方程 的根为 ,可得 ,由 在在 单调递增,且 ,可得 所以 .

由(II)知 ,设方程 的根为 ,可得,因为 单调递减,又由(II)知 ,所以 .类似的,设曲线 在原点处的切线为 可得 ,对任意的,有 即 .设方程 的根为 ,可得 ,因为 在 单调递增,且 ,因此, 所以.

解析

见答案.

考查方向

本题主要考查函数思想、化归思想,考查综合分析问题和解决问题的能力,是压轴题.

解题思路

利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.

易错点

导数的几何意义及导函数与原函数之间的联系

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