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文科数学 西城区2016年高三期末试卷
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文科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
2、填空题
9
10
11
12
13
14
3、简答题
15
16
17
18
19
20
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单选题 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6. “”是“曲线是焦点在x轴上的双曲线”的（    ）

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B

解析

由“”可得是双曲线的方程，不能确定焦点位置，因此“”是“曲线是焦点在x轴上的双曲线”的不充分条件；由曲线是焦点在x轴上的双曲线”可得到使得成立，所以“”是“曲线是焦点在x轴上的双曲线”的必要条件。

综上可得，“”是“曲线是焦点在x轴上的双曲线”的必要不充分条件，选择Ｂ

考查方向

本题主要考查双曲线的标准方程及充分、必要条件的概念及判定方法。

解题思路

通过判断能否得出“曲线是焦点在x轴上的双曲线”而判断其充分性，再反之由“曲线是焦点在x轴上的双曲线”判定能否得出而判断其必要性，进而得出正确结论。

易错点

由于思维定势的影响而忽视焦点在x轴上这一重要条件，认为m,n异号即表示双曲线而出错。

知识点

充要条件的判定双曲线的几何性质
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7. 设，满足约束条件 

若的最大值与最小值的差为7，

则实数（     ）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

首先，作出符合题意的一个可行域如图所示（阴影部分），然后作出目标函数系方程的图像如图可知，当直线经过Ｃ（１，２）点时，Ｚ有最大值７；当直线经过Ａ（m-1,m）时Ｚ有最小值：4m-1，由题意可知4m-1＝0，即m=选择Ｃ

考查方向

本题以线性规划相关知识为背景，着重考查线性规划问题的一般方法和数形结合的思想，为高考每年的必考题。

解题思路

先假定m值作出可行域，然后作出目标函数直线系方程观测何时取最值，再利用最大值与最小值的差为７建立关于m的方程即可作答。

知识点

其它不等式的解法
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1.设集合，集合，若，则实数的取值范围是（   ）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由知，故，用区间表示为，故选Ｄ

考查方向

本题主要考查了集合的表示方法、交集运算以及区间的表示方法等知识点，这也是历年高考中的核心考点。

解题思路

由可得出Ｂ是Ａ的子集从而得到正确答案。

易错点

不理解（Ｂ是Ａ的子集）的含义而出错。

知识点

交集及其运算
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2. 下列函数中，值域为的偶函数是（   ）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由（A）  的值域为   B  值域为Ｒ   （D）函数的值域都不是从而排除Ａ、Ｂ、Ｄ，选择Ｃ答案。

考查方向

本题主要考查了函数值域的求法及偶函数的概念和判断方法

解题思路

先由函数的值域为而排除不符合题意的选项，再判断其奇偶性从而确定正确答案。

易错点

不会求值域或不会判断偶函数而出错

知识点

函数的值域函数奇偶性的判断
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3．设是所在平面内一点，且，则（    ）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

取ＡＢ中点M，则由向量加法的平行四边形法则知为，所以，选择D答案

考查方向

本题主要考查了平面向量的加、减法运算及向量相等的概念，侧重考查学生的数形结合能力，为近几年来高考主要的考查方向之一。

解题思路

运用数形结合的思想解决问题，通过 知点Ｍ为线段AB的中点，根据向量加法运算的平行四边形法则可解答。

易错点

不能把转化为Ｍ为ＢＣ中点，运用平行四边形法则得出答案。

知识点

相等向量与相反向量平面向量的基本定理及其意义
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4．设命题p：“若，则”，命题q：“若，则”，则（   ）

A“”为真命题

B“”为真命题

C“”为真命题

D以上都不对

正确答案

B

解析

对于命题p:由函数为增函数且当x=0时y=1知若，则，故其为真命题；对q:命题由a=1,b=-1代入验证知验证得出不成立，故其为假命题。然后由复合命题真值表得出“”为真命题。故选B

考查方向

本题主要考查简单命题真假性的判断和复合命题真值表的运用、不等式的性质以及函数思想的应用，综合性较强，侧重对学生函数思想的应用及逻辑推理能力的考查。

解题思路

对于命题p:真假性的判断可利用函数的单调性辅助解决，即：构造函数由其为增函数且当x=0时y=1知其为真命题；对q:命题真假性判断时可运用特值验证的办法验证得出其为假命题。然后由复合命题真值表得出“”为真命题。

易错点

本题易在命题q:的真假性判断时忽略a,b的正负号而得出错误的结论。

知识点

含有逻辑联结词命题的真假判断
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（    ）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由三视图可知其对应的几何体由左侧长、宽、高分别为１，２，２的长方体与右侧一侧面水平放置的三棱柱，其底面为直角边分别为１，２的直角三角形，高为２的直三棱柱

组合而成，由两个边长为２的正方形，１个长、宽分别为２，１的长方形，１个长、宽分别为２，的长方形和两个直角梯形（主视图）围成。

其表面积为：

考查方向

本题主要考查空间几何体与其三视图的关系，以及表面积的计算方法等，是这些年各省市高考的必考题型。旨在考查学生的空间想象能力和基本的计算能力。

解题思路

首先，构建出三视图所对应的空间几何体后，然后依据其结构特征分别计算各面积之和即可。

易错点

本题易在由三视图想象其对应几何体时出错，另外在计算其表面积时组合体的结合部分面积易重复计算而出错。

知识点

组合几何体的面积、体积问题简单空间图形的三视图
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：

相应系统收费的程序框图如图所示，

其中（单位：千米）为行驶里程，（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中1处应填（    ）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由上级判断框知，此处应该填写x>4时的收费情况，显然有，即

考查方向

本题主要考查程序框图与函数解析式的求法，同时通过定义的取整函数考查学生思维的灵活性。其中程序框图更是历年高考中的必考题，而信息给予题的创新性也是高考命题所提倡的。

解题思路

由图可知本题是确定x>4时收费情况的表达式即可。

易错点

本题信息量较大，从直观感觉上学生可能会由此产生畏难情绪无法深入、正确提取所需要的信息，而导致错误的产生。另一方面，不明白取整函数也可能是致错的主要原因。

知识点

程序框图
填空题 本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

10．若抛物线的焦点在直线上，则实数____；抛物线C的准线方程为____.

正确答案

；

解析

由方程形式知其焦点坐标和准线方程的正确表达，把焦点坐标代入直线方程得,即p＝６；由此可得准线方程。

考查方向

本题主要考查焦点在y轴非负半轴时抛物线的方程、焦点、准线等相关知识点，为历届高考中的重要考查对象。

解题思路

由方程形式知其焦点坐标和准线方程的正确表达，把焦点坐标代入直线方程可得p的值；由此可得准线方程。

易错点

由于抛物线的标准方程有四类，相对较多学生可能由于识记问题而导致错误。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质
1
题型：填空题
|
分值: 5分

9. 已知复数满足，那么____.

正确答案

解析

＝

考查方向

本题主要考查复数的代数运算，侧重考查学生的计算能力。

解题思路

在等式两边同时除以得，由复数除法运算可得正确答案

易错点

本题如若通过设Ｚ的一般式而通过复数相等而解决由于运算量相对较大而易出错，转化为复数的除法后运算量将在一定程度上减少而减少出错。

知识点

复数代数形式的乘除运算
1
题型：填空题
|
分值: 5分

11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：，，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图. 在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有_____人.

正确答案

９

解析

由分层抽样方法的特点知按３层百分之十的比例进行等比例抽取，结合如图所示的频率分布直方图.知完成作业的时间小于2.5个小时的学生占比百分之九十，即９人。

考查方向

本题主要考查分层抽样方法，频率分布直方图及频数、频率等相关概念，为高考重要考点，基本每年都有涉及。

解题思路

由分层抽样方法的特点知按３层百分之十的比例进行等比例抽取，结合如图所示的频率分布直方图.知完成作业的时间小于2.5个小时的学生占比百分之九十可得正确答案。

易错点

题目信息量相对较大，造成学生审题不清匆忙作答而出错。

知识点

分层抽样方法频率分布直方图
1
题型：填空题
|
分值: 5分

13. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若，，，则____；ABC的面积为____.

正确答案

              

解析

由＝sinB得Ａ＝Ｂ，即a=b=3,从而由余弦定理得，从而得，由面积公式得：ABC的面积为.

考查方向

本题主要考查三角函数的诱导公式及余弦定理和面积公式的相关知识，为高考历年必考题。

解题思路

由＝sinB,进而得出Ａ＝Ｂ，即a=b=3,从而由余弦定理得出cosC的值，然后根据三角函数基本关系式得出sinC的值运用面积公式可求ABC的面积。

易错点

考查知识点相对较多，基础不扎实，对个别公式掌握不熟练而出错。

知识点

诱导公式的作用正弦定理
1
题型：填空题
|
分值: 5分

12．已知函数的部分图象如图所示，若不等式的解集为，则实数的值为____.

正确答案

１

解析

由上面思路可知的图像可看作由图像向左平移１个单位得到，所以实数的值为1

考查方向

本题主要以不等式为载体考查函数图像的平移变换，着重考查数形结合与转化的数学思想方法，对学生要求较高。

解题思路

由函数的图像可知：当0,结合以及的图像可看作由图像平移得到，再参照其解集为（-1，2）得到平移量即可。

易错点

不能顺利把不等式问题转化为图像的平移问题，而过份依赖由具体不等式才能解题，对于抽象函数无能为力的思维局限而无法作答出错。

知识点

函数的图象其它不等式的解法
1
题型：填空题
|
分值: 5分

14. 某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（恒温，单位：）满足函数关系 且该食品在的保鲜时间是16小时. 1 该食品在的保鲜时间是_____小时；2 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）

正确答案

4               是

解析

由该食品在的保鲜时间是16小时代入函数式求出，得，再代入８得；由图知11时前温度已达其保鲜时间为２小时；故到此日13时已超过２小时故一定过了保鲜时间。

考查方向

本题主要考查分段函数解析式的求法和应用以及基本的识图能力。

解题思路

由该食品在的保鲜时间是16小时代入函数式求出k的值，再代入８即得第一问答案；由图观察13时前温度变化情况，并尝试求出保鲜时间并判断至13时是否过了保鲜时间即可得出正确答案。

易错点

对于第二问不能灵活处理题目信息进行试算明确得出正确结论出错。

知识点

函数的图象与图象变化
简答题（综合题） 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 14分

19.已知椭圆:的离心率为，点在椭圆C上，O为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与圆相交于不在坐标轴上的两点，，记直线， 的斜率分别为，，求证：为定值.

正确答案

（Ⅰ）椭圆的方程为

解析

（Ⅰ）解：由题意，得，，

又因为点在椭圆上，

所以，

解得，，，

所以椭圆C的方程为.

（Ⅱ）证明：当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，

易得直线， 的斜率之积.

当直线的斜率存在时，设的方程为.

由方程组  得，

因为直线与椭圆C有且只有一个公共点，

所以，即.

由方程组  得，

设，，则，，

所以

，

将代入上式，

得.

综上，为定值.

考查方向

本题以焦点在x轴上的椭圆和定圆相关知识为背景，通过直线与其位置关系为纽带设计而成，为历届高考中的高频考点，同时圆锥曲线也是学生分析问题、解决问题及计算等能力检测的重要素材。

解题思路

1、每一问通过椭圆离心率，点在椭圆上和列出方程组即可求出的值从而求出椭圆的方程。

2、第二问求证为定值，通过设，可知，于是可考虑运用韦达定理把表达出来求解，从而得出解题的思路：即当（１）斜率不存在时，求；（２）斜率存在时，设的方程分别与圆、椭圆联立方程组进而求解。

易错点

对于第二问不考虑斜率存在与否直接解答从而导致考虑不全面而失分。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题
1
题型：简答题
|
分值: 13分

15．已知数列是等比数列，并且是公差为的等差数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，记为数列的前n项和，证明：.

正确答案

（Ⅰ）

解析

解：设等比数列的公比为，

因为是公差为的等差数列，

所以

即

解得.

所以．

（Ⅱ）证明：因为，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列.

所以

.

考查方向

本题第一问以等差数列概念及等差中项公式为载体考查等比数列通项公式的求法，第二问以第一问知识背景为基础构造新等比数列考查求和公式的使用。本题依托高考命题核心要点命制，构思精巧，注重考查学生的方程思想及思维的灵活性。

解题思路

本题主要考查考等差、等比数列的概念和性质及方程思想，解题思路如下：1、由条件是公差为的等差数列列出方程组2、由数列是等比数列把方程组中的由通项公式化成从而得到关于的方程组进而求出的值得出的通项公式；3、表示出，进而由等比数列定义证明数列为等比数列并指出其首项和公比后进而求出数列的前n项和，化简后可得

易错点

本题第二问直接把数列当作等比数列解题而不加证明可导致失分。

知识点

由数列的前几项求通项等比数列的性质及应用数列与不等式的综合
1
题型：简答题
|
分值: 13分

16.已知函数，.

（Ⅰ）求函数的最小正周期.   

（Ⅱ）若，求函数的单调增区间.

正确答案

（Ⅰ）函数的最小正周期

（Ⅱ）的增区间为，

解析

本题第二问特别要注意：一定要结合函数的定义域正确书写增区间．

，

所以函数的最小正周期.

（Ⅱ）解：由，，

得，

所以函数的单调递增区间为，.

所以当时，的增区间为，.

（注：或者写成增区间为，.

考查方向

本题以正、余弦的二倍角公式为背景，以求解型函数的最小正周期以及定义域内单调区间的问题为导向，重点考查辅助角公式的应用。为近几年各省市高考热点题型，本题把三角函数部分几个常考知识点进行了集中考查较好地体现了高考命题的思路和方向。

解题思路

本题主要考查正、余弦的二倍角公式及型函数的性质，解题步骤如下：

1、把展开进行化简，得出型函数；

2、由型函数最小正周期计算公式求解第一个问题；

3、最后通过单调区间的求法结合定义域解答第二问。

易错点

本题体现了三角函数部分的基本的解题思想方法，为学生非常熟悉的题型对于第二问可能由于思维定势审题不全忽略前提条件而错解；或是对单调区间的表达方式不正确如.而出错。

知识点

三角函数的周期性及其求法正弦函数的单调性三角函数中的恒等变换应用
1
题型：简答题
|
分值: 13分

20.已知函数，直线.

（Ⅰ）求函数的极值； 

（Ⅱ）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线；

（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由.

正确答案

（Ⅰ）所以函数有极小值，无极大值．

（Ⅲ）当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点.。

解析

（Ⅰ）解：函数定义域为，

求导，得，

令，解得．

当变化时，与的变化情况如下表所示：

所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，

所以函数有极小值，无极大值．

（Ⅱ）证明：假设存在某个，使得直线与曲线相切，        

设切点为，又因为，

所以切线满足斜率，且过点，

所以，                                    

即，此方程显然无解，

所以假设不成立．

所以对于任意，直线都不是曲线的切线.         

（Ⅲ）解：“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.

由方程，得.

令，则，其中，且.

考察函数，其中，

因为时，

所以函数在单调递增，且.

而方程中， ，且.

所以当时，方程无根；当时，方程有且仅有一根，

故当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点.

考查方向

本题以导数性质的应用为背景，通过考查导数的几何意义即切线斜率，函数极值、判断函数图像与直线交点个数为载体，对学生综合运用函数与方程的思想、运用导数解决函数相关问题的能力进行较为全面的考查。为历届高考命题焦点，很好地体现了高考命题的精神和方向。

解题思路

1、第一问写出函数的定义域，求出导数，然后令导数等于零解方程，列表求极值。

2、第二问直接不易证明，可考虑使用反证法：假设存在某个，使得直线与曲线相切，然后可设出切点，利用切点处导数值为斜率与已知直线方程建立联系，从而推出矛盾进而得到证明。

3、判断曲线与直线的交点个数问题可以考虑通过函数的极值与直线的相对位置关系以及函数图像的特点采用数形结合的方法判断交点个数；也可以转化为方程判断根的个数进而确定图像交点的个数。由第一问可看出图像较复杂，采用数形结合的办法不容易解决，于是可考虑转化为判断方程根的个数来解决问题，通过分离参数k进一步转化为根的个数问题，再通过换元、构造新函数，根据其特点即可逐步解决问题。

易错点

第一问中不交待极大值不存在而失分或未考虑函数的定义域而出错；

知识点

函数零点的判断和求解导数的几何意义导数的运算
1
题型：简答题
|
分值: 14分

17.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,, 分别为的中点，点在线段上.

（Ⅰ）求证：平面； 

（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；

（Ⅲ）当时，求四棱锥的体积.

正确答案

（Ⅲ）四棱锥的体积为24.

解析

（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，

所以.

由分别为的中点，得，

所以.

因为侧面底面，且，

所以底面.

又因为底面，

所以.

又因为，平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）证明：因为为的中点，分别为的中点，

所以，

又因为平面，平面，

      所以平面.

同理，得平面.

又因为，平面，平面，

所以平面平面.

又因为平面，

所以平面.

（Ⅲ）解：在中，过作交于点（图略），

由，得，

又因为，

所以，

因为底面，

所以底面，

所以四棱锥的体积.

考查方向

本题以四棱锥为背景，依托面面垂直性质定理及等腰三角形的性质等重点考查线面垂直、线面平行的判定（面面平行的性质）以及空间几何体体积的求法。本题的设计吻合高考命题的方向，通过以上重要知识点的组合设计突出考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

解题思路

1、第一问由，（通过为底角为45度的等腰三角形得出）即可证平面；

2、第二问可通过证明平面MEF平行平面PAB得出平面；也可以通过取PA中点N，连结MN,BN构造平行四边形MNBE得出NB由线面平行判定得出平面。

3、由PA垂直平面ABCD为基础，通过作PA平行线得出四棱锥的高即可顺利解决问题，于是过作交于点即得到四棱锥的高，然后通过，三角形MND与三角形PAD相似可得MN的值，进而求出四棱锥的体积.

易错点

本题前两问中的证明过程要求严谨、完整，部分学生易书写的不规范、不完整而出错。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质
1
题型：简答题
|
分值: 13分

18.甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：

（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求的值；

（Ⅱ）如果，，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为，，求的概率；

（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值.（结论不要求证明）

正确答案

（Ⅰ）15

（Ⅱ）的概率为；

（Ⅲ） 的所有可能取值 ，，

解析

（Ⅰ）解：由题意，得，即.

因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于6分的概率不为零，

所以中至少有一个小于6，

又因为，且，

所以，

所以.

（Ⅱ）解：设 “从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足”为事件

记甲的4局比赛为，，，，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛

为，，，，各局的得分分别是7，9，6，10.

则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种， 它们是：

，，，，，，，，，，

，，，，.

而事件的结果有8种，它们是：，，，，，，，，

因此事件的概率.

（Ⅲ）解：的可能取值为，，.

考查方向

本题以学生非常熟悉的射击比赛为背景，考查统计与条件概率的求法等相关知识。为高考常考点，第（Ⅱ）个问题为学生非常熟悉的题型，也是这些年高考中侧重考查的问题，（Ⅰ），（Ⅲ）一定程度上对学生解决开放性问题的能力进行了考查，并重点考查学生分析问题、解决问题的能力。另外，从难度上看，第一问的难度相对较大，而第一问题的解答对后续的题又无任何影响，由此可以看出命题人的独到之处非常重视对学生的应试心态、思维品质及应试技巧方法等较为全面的考查。

解题思路

1、第一问由选取1局得分小于6分的概率不为零，可知x,y取值均为小于或等于５的自然数；结合乙的平均得分高于甲的平均得分确定的的取值范围可得出正确答案。

2、第二问通过列举从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果可以找出满足题意的事件数目，最终求出其概率。

3、第三问通过平均分相同得出的值结合x,y取值均为小于或等于10的自然数这一条件可以写出的所有可能取值.

易错点

不能从题目中提取出，且隐含信息而不能得出答案；

知识点

古典概型的概率离散型随机变量及其分布列、均值与方差众数、中位数、平均数

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