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9.某四棱锥的三视图如图2所示,则该四棱锥的外接球的表面积是 ( )
正确答案
解析
由三视图知四棱锥为长方体的一部分,如图1,所以外接球的直径
,所以
,所以四棱锥的外接球的表面积是
,因此选C选项.
考查方向
解题思路
解本题可先根据四棱锥的三视图得出该四棱锥是长方体的一部分,然后得出四棱锥的外接球即为长方体的外接球,再求出长方体的对角线的长度即为外接球的直径,进而求解即可.
易错点
本题的易错点是不能正确的求出球的半径.
10.在区间内任取两个数
,则满足
的概率是 ( )
正确答案
解析
如图2,由题意,,所以基本事件空间
是边长为1的正方形,所以
,满足
的事件A的区域是梯形区域,
,根据几何概型得:所求概率为
,因此选B选项.
考查方向
解题思路
解本题可先根据题意得出该题是几何概型的概率求解,然后得出事件发生的总区域以及满足条件的区域的面积,进而求解即可.
易错点
本题的易错点是不能正确得出事件发生的总区域以满足条件的区域.
1.设函数的定义域为集合
,集合
,则
( )
正确答案
解析
因为,
,所以A∩B=
.因此选D选项.
考查方向
解题思路
解本题可先求出集合A,化简集合B,然后根据集合交集的定义进行求解即可.
易错点
本题的易错点是不能正确的求出集合A和化简集合B.
2.已知复数,
是
的共轭复数,则
为 ( )
正确答案
解析
因为,所以
,所以
.因此选B选项.
考查方向
解题思路
先根据复数的除法运算求出z,然后得出z的共轭复数,进而求出模即可.
易错点
本题的易错点是不能正确的化简复数z以及不能得出z共轭复数.
3.《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样一题:把120个面包分成5份,使每份的面包数成等差数列,且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍,则最多的那份有面包( )
正确答案
解析
把每个人得到的面包数按由少到多的顺序记为,设公差为
,则有
①,
②,联立①②解得
,
.因此选C选项.
考查方向
解题思路
根据题意可知数列的前5项和为120,前2项和为前5项和的,然后利用等差数列的通项公式得出前5项和以及前2项和的表达式,再求首项和公差,进而本题的结论.
易错点
本题的易错点是不能灵活的应用等差数列的知识点进行解题.
4.下列说法正确的是( )
正确答案
解析
选项A中,根据为真命题可得p为假命题,所以
为假命题;选项B中命题的否命题应为“若
则
”;选项D中结论应为必要不充分条件.因此选C选项.
考查方向
解题思路
解本题可根据含有逻辑联结词的命题的真假进行判断选项A;根据四种命题的关系判断选项B;根据充分必要条件的定义判断选项D,进而得出结论.
易错点
本题的易错点是应正确的理解并掌握所涉及的知识点.
5.若正整数除以正整数
后的余数为
,则记为
,例如
.如图1所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》,执行该程序框图,则输出的
( )
正确答案
解析
根据程序框图可得输出的数应为3和5的公倍数大2的数,即除以3和除以5的余数为2的数,因此选B选项.
考查方向
解题思路
解本题可根据程序框图得出该程序的功能是找被3和5除余2的数,进而得出结论即可.
易错点
本题的易错点是不能正确的理解程序框图的功能.
6.平面内有三个向量,其中
向量的夹角为90°,且
,若
,则
( )
正确答案
解析
由与
的夹角为
可建立平面直角坐标系,则
,
,得
,则
,得
,因此选D选项.
考查方向
解题思路
解本题可根据题意建立平面直角坐标系,得出向量的坐标,进而利用坐标进行求解即可得出结论.
易错点
本题的易错点是不能正确的选用向量的坐标运算进行解题.
7.已知双曲线,曲线
在点
处的切线方程为
,则该双曲线的渐近线方程为( )
正确答案
解析
因为在点(0,2)处的切线方程为:
∴
,渐近线方程为
,因此选A选项.
考查方向
解题思路
解本题可先求出曲线在点处的切线方程,然后得出m,n的值,即可得出双曲线的方程,进而求解渐近线方程即可.
易错点
本题的易错点是不能正确的利用导数求出曲线在某点处的切线方程以及双曲线的渐近线的求解方法掌握不好.
8.已知公差不为0的等差数列满足
成等比数列,
为
的前
项和,则
的值为 ( )
正确答案
解析
由已知设公差为则
,
,因此选A选项.
考查方向
解题思路
解本题可先根据成等比数列求出
,然后将所求的式子进行变形得出即可.
易错点
本题的易错点是不能正确的得出数列首项和公差的关系.
11.已知定义在上的函数
满足:函数
的图像关于直线
对称,且当
时,
(
是函数
的导函数)成立.若
,则
的大小关系是 ( )
正确答案
解析
由题意可得函数的图像关于
轴对称,设
,当
时,
,∴
在
上为递减函数,且
为奇函数,
∴是R上的递减函数,∵
,
,
,
∴,即
,因此选A选项.
考查方向
解题思路
解本题可先根据函数f(x+1)的对称轴得出函数f(x)的对称轴,然后构造函数F(x)=xf(x),再根据已知条件得出函数的F(x)的单调性,进而利用函数的单调性比较大小.
易错点
本题的易错点是不能正确的构造函数F(x)进行解题.
12.在锐角中,
,若动点
满足
,则点
的轨迹与直线
所围成的封闭区域的面积为 ( )
正确答案
解析
取AB的中点D,则,∴
三点共线,P的轨迹为CD.∵
,∴
,由正弦定理:
,由
B=
(A+C)=
,故点
的轨迹与直线
所围成的封闭区域的面积为
,因此选A选项.
考查方向
解题思路
解本题可先取AB的中点D,然后可得出P,C,D三点共线,因此可知点P的轨迹即为CD,因此本题所求的面积即为△ACD的面积,进而根据正弦定理进行求解即可.
易错点
本题的易错点是不能正确的得出点P的轨迹.
16.设数列为等差数列,且
,若
,记
,则数列
的前21项和为____________
正确答案
21
解析
由题意,易知
关于
中心对称,数列
为等差数列,故
,且
,故数列
的前21项和
.
考查方向
解题思路
解本题可先利用两角和与差的三角函数公式进行函数解析式进行化简,然后得出对称中心,进而根据等差数列的性质进行求解即可.
易错点
本题的易错点是不能正确的化简函数解析式,不能熟练的应用等差数列的性质.
13.设则
正确答案
-2
解析
∵∴
.
考查方向
解题思路
先根据函数解析式求出f(-8)的值,然后再求f[f(x)]的值即可.
易错点
本题的易错点是用错函数的对应关系,因此解本题时应当注意自变量取值所在的范围.
14.已知倾斜角为的直线
与直线
垂直,则
=
正确答案
解析
由直线可得直线的斜率为-2,
所以,所以
.
考查方向
解题思路
解本题可先根据直线的斜率得出,然后再利用正切函数的倍角公式进行求解即可.
易错点
本题的易错点是不能正确的得出.
15.记函数的导数为
,
的导数为
,……,
的导数为
.若
可进行
次求导,则
均可近似表示为:
,若取
,根据这个结论,则可近似估计
(用分数表示).
正确答案
解析
设,则
,
,
,
,∴
故当
时,
.
考查方向
解题思路
解本题可先设函数,然后求导,可得周期为4,然后代入求值即可得出结论.
易错点
本题的易错点是记错导数公式.
在中,角
所对的边分别为
.向量
,且
.
17.求角的大小;
18.若,求边
的最小值.
正确答案
A=60°
解析
由可得
由正弦定理得:
即
∵∴
,∴
.
考查方向
解题思路
解本题可先根据向量平行得出然后由正弦定理将边化为角,即可得出
,进而得出A的值.
易错点
本题的易错点是不能正确的利用向量共线.
正确答案
解析
由,又
当且仅当时,取等号,
∴
.
考查方向
解题思路
先利用向量数量积的定义得出bc=8,然后根据余弦定理和重要不等式可得
,进而可得结论.
易错点
本题的易错点是不能正确的应用向量数量积的定义以及余弦定理.
如图3甲,在直角梯形中,
是
的中点,
是
与
的交点,将
沿
折起到
的位置,如图乙.
19.证明:;
20.若平面,求点
与平面
的距离.
正确答案
证明略.
解析
证明:在图3甲中,∵AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,,
∴BE⊥AC,即在图乙中,,BE⊥OC.
又,∴BE⊥平面
.
∵BC∥DE,BC=DE,
∴四边形BCDE是平行四边形,
∴CD∥BE,∴CD⊥平面.
考查方向
解题思路
先利用线面垂直的判定定理得出BE⊥平面,证明CD∥BE,进而得出结论CD⊥平面
即可.
易错点
本题的易错点是线面垂直的判定定理的应用.
正确答案
解析
由已知,平面
平面BCDE,BE⊥BCDE,
,
∴平面BCDE,∴
,
∴,又由(Ⅰ)知,BE⊥平面
,
平面
,
∴.
∵CD∥BE,∴.
设B到平面的距离为
,
由得
,
∴,故B到平面
的距离为
.
考查方向
解题思路
解本题可证明平面BCDE,然后得出
,再得出
,进而根据等体积进行求解点B到面
的距离.
易错点
本题的易错点是不能正确的利用等体积法求解距离.
已知椭圆的左、右焦点分别为
,椭圆上一点
与椭圆右焦点的连线垂直于
轴.
24.求椭圆的方程;
25.与抛物线相切于第一象限的直线
,与椭圆
交于
两点,与
轴交于点
,线段
的垂直平分线与
轴交于点
,求直线
斜率的最小值.
正确答案
解析
∵点与椭圆右焦点的连线垂直于
轴,∴
,
将点坐标代入椭圆方程可得
,又
,联立可解得
,
,
所以椭圆的方程为.
考查方向
解题思路
先根据点与椭圆右焦点的连线垂直于
轴,得出椭圆中的半焦距c=1,然后将P的坐标代入椭圆方程得出a,b的关系式,再根据椭圆中的a,b,c的关系求出a,b的值,进而写出椭圆方程即可.
易错点
本题的易错点是正确应用椭圆的简单几何性质.
正确答案
解析
设切点坐标为,则l:
,整理得l:
,
∴.
设,联立直线方程和椭圆方程可得
,
∴,∴
的中点坐标为
,
∴的垂直平分线方程为
,令x=0,得
,
即,∴
.
∵,∴
,当且仅当
时取得等号.
∴直线MN的斜率的最小值为.
考查方向
解题思路
先设出切点坐标,然后得出直线l的方程,即可得出点M的坐标,再设出点A,B的坐标,利用直线l的方程和椭圆的方程联立,利用根与系数的关系得出AB的中点的坐标,再得出AB的垂直平分线的方程,即可得出点N的坐标,进而得直线MN的斜率,然后再利用基本不等式求最值即可.
易错点
本题的易错点是不能正确的得出直线MN的斜率以及基本不等式求最值的条件.
“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度,对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分100分(90分及以上为认知程度高),现从参赛者中抽取了人,按年龄分成5组(第一组:
,第二组:
,第三组:
,第四组:
,第五组:
),得到如图4所示的频率分布直方图,已知第一组有6人.
21.求;
22.求抽取的人的年龄的中位数(结果保留整数);
23.从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分别记为1~5组,从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛代表相应组的成绩,年龄组中1~5组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中1~5组的成绩分别为93,98,94,95,90.
(1)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差;
(2)以上述数据为依据,评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度,并谈谈你的感想.
正确答案
120
解析
根据频率分布直方图得第一组频率为∴
∴
.
考查方向
解题思路
线根据频率分布直方图得出第一组的频率,然后根据频数除以样本容量等于频率进行求解x即可.
易错点
本题的易错点是频率分布直方图的应用.
正确答案
32
解析
设中位数为则
∴
∴中位数为32.
考查方向
解题思路
设中位数为a,然后根据中位数的左右两边的心率都是0.5进行求解.
易错点
本题的易错点是不能正确的利用频率分布直方图求频率.
正确答案
(1)5个年龄组的平均数94,方差6;5个职业组成绩的平均数94,方差6.8. (2)从平均数来看两组的认知程度相同,从方差来看年龄组的认知程度更好.感想:结合本题和实际,符合社会主义核心价值观即可.
解析
(1)5个年龄组的平均数为
方差为,
5个职业组的平均数为
方差为.
(2)由(i)可得5个年龄组和5个职业组成绩的平均数相同,因此从平均数来看两组的认知程度相同;5个年龄组和5个职业组成绩的方差分别是6,6.8,因此从方差来看年龄组的认知程度更好.
感想:结合本题和实际,符合社会主义核心价值观即可.
考查方向
解题思路
解本题可直接根据求平均数和方差的公式进行求解即可. 解本题可分从平均数和方差两个方面进行分析,平均数越大越好,方差越小表明成绩越稳定.
易错点
本题的易错点是记错求解平均数和方差的公式. 本题的易错点是弄清楚平均数和方差对实际问题的影响.
〖选修4—4:坐标系与参数方程〗
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
,它在点
处的切线为直线
.
29.求直线的直角坐标方程;
30.已知点为椭圆
上一点,求点
到直线
的距离的取值范围.
正确答案
解析
∵曲线的极坐标方程为
,∴
,
∴曲线的直角坐标方程为
,∴
,又
的直角坐标为(2,2),
∴曲线在点(2,2)处的切线方程为
,
即直线的直角坐标方程为
.
考查方向
解题思路
先将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,点M的坐标化为直角坐标,利用导数求曲线C在点M出的切线即可.
易错点
本题的易错点是用错极坐标和直角坐标的互化公式.
正确答案
解析
因为为椭圆
上一点,因此可设
,
则到直线
的距离
,
当时,
有最小值0,当
时,
有最大值
.
∴到直线
的距离的取值范围为
.
考查方向
解题思路
根据椭圆的参数方程形式设出点P的坐标,然后得出点P到直线l的距离d的表达式,进而利用求解三角最值即可得出结论.
易错点
本题的易错点是不能正确的采用参数方程设点P的坐标以及三角最值的求解错误.
〖选修4-5:不等式选讲〗
已知函数
31.当时,求不等式
的解集;
32.若的解集包含
,求
的取值范围.
正确答案
解析
当时,
,不等式
,即
.
当时,由
,解得
;
当时,由
,解得
,故不等式无解;
当时,由
,解得
.
综上,的解集为
.
考查方向
解题思路
解本题可先将x=3代入函数解析式并将函数化简成分段函数,然后由不等式可得
,进而分三段进行求解即可得出结论.
易错点
本题的易错点是不能正确的化简函数解析式.
正确答案
解析
等价于
.
当时,
等价于
,即
,
若的解集包含
,则
,即
.
故满足条件的的取值范围为
.
考查方向
解题思路
先将不等式进行等价转化,然后根据
在进行化简可得
,再根据
的解集包含
得出关于a的不等式,进而求解即可.
易错点
本题的易错点是不能正确的化简函数解析式以及不等式的解集与[0,1]之间的关系的理解.
设函数.
26.若,判断函数
的单调性;
27.若函数在定义域内单调递减,求实数
的取值范围;
28.当时,关于
的方程
在
上恰有两个不相等的实数根,求实数
的取值范围.
正确答案
在
上单调递增,在
和
上单调递减.
解析
因为,定义域为
,
所以,
当时,由
,可得
,解得
,
由,可得
,解得
或x>2,
所以在
上单调递增,在
和
上单调递减.
考查方向
解题思路
先求出函数f(x)的导函数,然后将代入,再求出
和
的x的范围,进而得出函数的单调性.
易错点
本题的易错点是不能正确的求导以及错用导函数的值与函数的单调性的关系.
正确答案
解析
函数的定义域为
,依题意
在
时恒成立,即
在
时恒成立,则
在
时恒成立,即
,
∴a的取值范围是.
考查方向
解题思路
根据函数在定义域上单调递减可得在
时恒成立,然后利用参数分离得出
在
时恒成立,进而转化为求函数最值进行求解即可.
易错点
本题的易错点是不能正确的利用转化思想将本题转化为求函数最值进行求解.
正确答案
解析
,
,即
.设
,则
.
列表:
∵方程在
上恰有两个不相等的实数根,则
,
∴的取值范围为
.
考查方向
解题思路
先将方程化为,
然后构造函数,然后利用导数求出函数g(x)的极值,进而根据方程
在
上恰有两个不相等的实数根,得出
,然后求解即可得出结论.
易错点
本题的易错点是不能正确的构造函数求极值以及不能由方程实根的情况得出关于b的不等式.