• 文科数学 杨浦区2016年高三期末试卷
填空题 本大题共14小题,每小题4分,共56分。把答案填写在题中横线上。
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1. 已知矩阵,则

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2.已知全集U=R,集合,则集合___________________.

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3.已知函数 ,则方程的解 = _____________.

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4.某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具,该球表面用白布包裹,则至少需要白布_________平方米.

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5.无穷等比数列()的首项,公比

则前项和的极限=___________.

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6.已知虚数满足

___________.

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7.执行如下图所示的流程图,则输出的S的值为

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8.展开式中的系数为_________________.

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9.学校有两个食堂,现有3名学生前往就餐,则三个人在同一个食堂就餐的概率是_________.

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10.若数的标准差为

则数的标准差为

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11.如图,在矩形OABC中,点E、F分别在线段AB、BC上,且满足AB=3AE,BC=3CF,若,则________________.

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12.已知

时不等式恒成立,

则实数的最小值是________________.

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13.抛物线的顶点为原点,焦点轴正半轴,过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于点,若,则抛物线的方程为_________________.

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14.已知是定义在上的奇函数,

时,

时,

若直线与函数的图象恰有7个不同的公共点,

则实数的取值范围为_________________.

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单选题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
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15. 下列四个命题中,

为真命题的是(    )

A,则

B

C,则

D,则

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16. 设是两个单位向量,其夹角为,则“”是“”的(     )

A充分不必要条件

B.必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

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17.对于平面和两条直线, 下列命题中真命题是(     )

A, , 则

B, , 则

C所成的角相等, 则

D, , 且在平面外, 则

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18.下列函数中,既是偶函数,又在 上递增的函数的个数是(     )

      

   

   

A1个

B2个

C3个

D4个

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简答题(综合题) 本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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19.如图,某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充。已知金字塔的每一条棱和边都相等。

(1)  求证:直线垂直于直线

(2)若搭边框共使用木料24米,则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满?

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20.某农场规划将果树种在正方形的场地内。为了保护果树不被风吹,决定在果树的周围种松树。 在下图里,你可以看到规划种植果树的列数(n),果树数量及松树数量的规律:

(1)按此规律,n = 5时果树数量及松树数量分别为多少;并写出果树数量,及松树数量关于n的表达式

(2)定义: 增加的速度;现农场想扩大种植面积,问:哪种树增加的速度会更快?并说明理由

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21.如图,在一条景观道的一端有一个半径为米的圆形摩天轮O,逆时针分钟转一圈,从处进入摩天轮的座舱,垂直于地面,在距离米处设置了一个望远镜.

(1)同学甲打算独自乘坐摩天轮,但是其母亲不放心,于是约定在登上摩天轮座舱分钟后,在座舱内向其母亲挥手致意,而其母亲则在望远镜中仔细观看。问望远镜的仰角应调整为多少度?(精确到1度)

(2)在同学甲向其母亲挥手致意的同时,同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带,发现取景的视角恰为,求绿化带的长度(精确到1米)

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22.如图,曲线由两个椭圆和椭圆组成,当成等比数列时,称曲线为“猫眼曲线”.

(1)若猫眼曲线过点,且的公比为,求猫眼曲线的方程;

(2) 对于题(1)中的求猫眼曲线,任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交,交椭圆所得弦的中点为,交椭圆所得弦的中点为,求证:为与无关的定值;

(3) 若斜率为的直线为椭圆的切线,且交椭圆于点为椭圆上的任意一点(点与点不重合),求面积的最大值.

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23.已知函数,若存在常数T(T>0),对任意都有,则称函数为T倍周期函数

(1)判断是否是T倍周期函数,并说明理由

(2)证明是T倍周期函数,且T的值是唯一的

(3)若是2倍周期函数, 表示的前n 项和,,求

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