• 文科数学 2013年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1.已知集合,则(    )

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2.已知,若(其中为虚数单位),则(    )

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3.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重(单位:kg)情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为,其中第一小组的频数为6,则该校报考飞行员的总人数为(    )

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4.已知,则直线与圆有公共点的概率是(    )

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5.已知双曲线的离心率为2,过双曲线的左焦点作圆的两条切线,切点分别为,则=(    )

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6.正四面体中,⊥平面,垂足为,设是线段上一点,且是直角,则的值为(    )

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7.已知(    )

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8.下图给出了一个程序框图,其作用是输入x的值,输出相应的y值。若要使输入的x值与输出的y值相等,则这样的x值有(    )个。

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9.在中,的中点,的中点,(包括边界)内任一点。则的取值范围是(       )

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10.已知函数,是自然对数底数),在区间上单调递增,则的取值范围是(    )

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11.已知椭圆是左右焦点,是右准线,若椭圆上存在点,使到直线的距离的2倍,则椭圆离心率的取值范围是(          )

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12.若不等式组表示的平面区域是三角形,则实数的取值范围是(     )

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13.若曲线在点处的切线平行于曲线在点处的切线,则的斜率为(    )

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14.数列满足,其中,设,则等于(    )

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简答题(综合题) 本大题共90分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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17.如图,某小区有一边长为2(单位:百米)的正方形地块,其中是一个游泳池,计划在地块内修一条与池边相切的直路(宽度不计),切点为,并把该地块分为两部分。现以点为坐标原点,以线段所在直线为轴,建立平面直角坐标系,若池边满足函数)的图象,且点到边距离为

(1)当时,求直路所在的直线方程;

(2)当为何值时,地块在直路不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?

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18.如图,椭圆的中心在坐标原点,长轴端点为,右焦点为,且

(1) 求椭圆的标准方程;

(2) 过椭圆的右焦点作直线,直线与椭圆分别交于点,直线与椭圆分别交于点,且

①证明:

②求四边形的面积的最小值。

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19.对于数列,如果存在一个正整数,使得对任意的)都有成立,那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列,的最小值称作数列的最小正周期,以下简称周期。例如当是周期为的周期数列,当是周期为的周期数列。

(Ⅰ)设数列满足),不同时为0),求证:数列是周期为的周期数列,并求数列的前2013项的和

(Ⅱ)设数列的前项和为,且

①若,试判断数列是否为周期数列,并说明理由;

②若,试判断数列是否为周期数列,并说明理由;

(Ⅲ)设数列满足),,,数列的前项和为,试问是否存在,使对任意的都有成立,若存在,求出的取值范围;不存在,说明理由。

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20.已知函数的定义域为,若上为增函数,则称为“一阶比增函数”;若上为增函数,则称为“二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为,所有“二阶比增函数”组成的集合记为

(Ⅰ)已知函数,若,求实数的取值范围;

(Ⅱ)已知的部分函数值由下表给出,

求证:

(Ⅲ)定义集合请问:是否存在常数,使得,有成立?若存在,求出的最小值;若不存在,说明理由。

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16.如图,在四棱锥中,的中点。

求证:

(1)∥平面

(2)⊥平面

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15.如图,四边形中,,,的内角的对边,且满足

(1)证明:

(2)若,设,,求四边形面积的最大值。

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