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在△ABC中,设内角的对边分别为
,
.
16.求角C;
17.若且
,求△ABC的面积.
正确答案
见解析
解析
因为,
,
因为在△ABC中,,
所以.
考查方向
解题思路
第1问,根据条件化简整理可得角C,第二问,利用余弦定理求面积
易错点
正弦定理、余弦定理的性质掌握不好
正确答案
见解析
解析
因为,
所以,
因为,
所以,
所以,
所以.
所以.
考查方向
解题思路
第1问,根据条件化简整理可得角C,第二问,利用余弦定理求面积
易错点
正弦定理、余弦定理的性质掌握不好
如图,在四棱锥中,底面
是边长为
的正方形,
平面
,
,
为
中点,且
.
18.求证:平面
;
19.求证: ;
20.求与平面
所成角的正弦值.
正确答案
见解析
解析
连结和
交于
,连结
,
为正
方形,
为
中点,
为
中点,
平面
,
平面
平面
.
考查方向
解题思路
通过线线平行证明线面平行,
易错点
找不到二面角,辅助线作不出来
正确答案
见解析
解析
平面
,
平面
,
,
为正方形,
,
平面
,
平面
,
平面
,
考查方向
解题思路
通过面面垂直证明线线垂直。
易错点
找不到二面角,辅助线作不出来
正确答案
见解析
解析
过F作于M,连接CM
平面
,
平面
,
又平面
=AD,
平面
是
在平面
上的射影,
是
与平面
所成角,
,
,
,
考查方向
解题思路
第1问通过线线平行证明线面平行,
第2问通过面面垂直证明线线垂直。
第3问,找到二面角构造三角形,利用余弦定理求解
易错点
找不到二面角,辅助线作不出来
设数列的前
项的和为
,点
在函数
的图象上,数列
满足:
.其中
.
21.求数列和
的通项公式;
22.设,求证:数列
的前
项的和
(
).
正确答案
见解析
解析
由已知条件得, ①
当时,
当时,
, ②
①-②得:,
即,(
),
又,∴
;
∵,
∴,∴
;
考查方向
解题思路
第1问,根据Sn求an,第2问,构造适当的数列,裂项相消,得到证明结论。
易错点
相关公式记错,不会构造数列
正确答案
见解析
解析
∵,
∴ ,
两式相减得∴
.
考查方向
解题思路
第1问,根据Sn求an,第2问,构造适当的数列,裂项相消,得到证明结论。
易错点
相关公式记错,不会构造数列
椭圆C:的左、右顶点的坐标分别为
,
,离心率
23.求椭圆C的方程 ;
24.设椭圆C的两焦点分别为、
,点
是椭圆C的上顶点,求
内切圆方程;
25.若直线与椭圆交于
、
两点,求证:直线
与直线
的交点在直线
上.
正确答案
见解析
解析
,
,
又
椭圆的方程
考查方向
解题思路
第1问,利用椭圆的概念与所给的离心率,求出a和b的值,进而得到椭圆C的方程,第2问,求出圆的半径与圆心坐标即可,第3问,将直线方程和椭圆方程联立,求出交点坐标。然后判断交点是否在直线上。
易错点
计算能力
正确答案
见解析
解析
为等腰三角形如图
所以的内切圆的圆心在
轴上设圆心
,
直线
的方程
,内切圆与直线
相切,圆心到
的距离
解得
考查方向
解题思路
第1问,利用椭圆的概念与所给的离心率,求出a和b的值,进而得到椭圆C的方程,第2问,求出圆的半径与圆心坐标即可,第3问,将直线方程和椭圆方程联立,求出交点坐标。然后判断交点是否在直线上。
易错点
计算能力
正确答案
见解析
解析
将直线代入椭圆
的方程
并整理,
得.
直线过
,
恒成立设直线
与椭圆
的C交点
,
由根与系数的关系,得.
直线的方程为:
,
它与直线的交点坐标为
同理可求得直线与直线
的交点坐标为
.
下面证明两点重合,
即证明两点的纵坐标相等:
,
因此结论成立.
综上可知.直线与直线
的交点住直线
上.
考查方向
解题思路
第1问,利用椭圆的概念与所给的离心率,求出a和b的值,进而得到椭圆C的方程,第2问,求出圆的半径与圆心坐标即可,第3问,将直线方程和椭圆方程联立,求出交点坐标。然后判断交点是否在直线上。
易错点
计算能力
已知函数,
26.求函数的单调递增区间;
27.若不等式在区间
上恒成立,求
的取值范围;
28.求证: .
正确答案
见解析
解析
∵ (
∴
令,得
故函数的单调递增区间为
考查方向
解题思路
确定函数的定义域,利用导数求函数的单调性区间,根据题意构造出恰当的函数,利用函数与不等式之间的关系,证明结论。
易错点
求导错误,没有构造出适合的函数
正确答案
见解析
解析
由
则问题转化为大于等于
的最大值
又
令 当
在区间(0,+
)内变化时,
、
变化情况如下表:
由表知当时,
函数有最大值,且最大值为
因此
考查方向
解题思路
确定函数的定义域,利用导数求函数的单调性区间,根据题意构造出恰当的函数,利用函数与不等式之间的关系,证明结论。
易错点
求导错误,没有构造出适合的函数
正确答案
见解析
解析
由(Ⅱ)知,
∴ ,
,
∴ ,
又∵=
∴
考查方向
解题思路
确定函数的定义域,利用导数求函数的单调性区间,根据题意构造出恰当的函数,利用函数与不等式之间的关系,证明结论。
易错点
求导错误,没有构造出适合的函数
1. 已知全集U=,集合A=
,
,则
( )
正确答案
解析
因为,
,所以
,又因为
,所以
考查方向
解题思路
根据补集和并集的概念,求解
易错点
混淆概念
知识点
3. 阅读右面的程序框图,当程序运行后,输出的值为( )
正确答案
解析
s=1,k=1K=2,s=4,k=2不满足判断框中的条件K=3,S=11,K=3 不满足判断框中的条件K=4,S=26,K=4 不满足判断框中的条K=5,S=57,K=5 不满足判断框中的条件K=6,S=120,K=6 满足判断框中的条件,输出S=120,所以选C
考查方向
解题思路
顺序结构,循环结构,判断结构
易错点
循环语句理解错误,判断条件看错
知识点
4. 设实数在
上随机地取值,使方程
有实根的概率为( )
正确答案
解析
因为有实根,
所以,
解得或
记事件A:P在[0,5]上随机地取值,
关于x的方程有实数根,
由方程有实根符合几何概型,
所以,所以选A
考查方向
解题思路
先求出p的取值范围,然后用几何概型求概率
易错点
不用几何概型建模
知识点
6. 将的图象向右平移
个单位后,所得图象的解析式是( )
正确答案
解析
因为将向右移动
个单位,
得到
所以,
即,
所以选A
考查方向
解题思路
先平移,再化简
易错点
平移后没有化简整理,找不到选项
知识点
2. “”是“
”成立的( )
正确答案
解析
,由
可以推出
,但由
推不出
,所以前者是后者的必要不充分条件。
考查方向
解题思路
先解绝对值不等式,然后判断逻辑关系
易错点
充分条件和必要条件理解有误,解绝对值不等式解错
知识点
如图,、
是双曲线
的左、右焦点,过
的直线
与
的左、右两支分别交于点
、
.若
为等边三角形,则双曲线
的离心率为( )
正确答案
解析
因为A、B是双曲线上的点
所以,
因为是等边三角形,
所以,
所以=2a,
所以,
,
所以,
所以根据余弦定理,
可得,
将数据代入得,,
整理得,,
所以,
所以选B
考查方向
解题思路
利用双曲线的性质,结合余弦定理求解
易错点
计算能力,想不到利用余弦定理
知识点
8. 设函数,函数
在,
上有3个不同的零点,则实数
的取值范围为( )
正确答案
解析
如图所示,
由题意可知,
可以令,此时函数的零点个数,
即是与
的交点个数,
由此可以得到参数的取值临界值,最小为
,最大为2,
所以选C
考查方向
解题思路
作出正确的图象,找到临界值
易错点
不能做出正确的图象,不理解函数零点的意思
知识点
5. 若,则
大小关系为( )
正确答案
解析
因为,
,
,
所以,所以选D
考查方向
解题思路
找到中间值(和1做比较)
易错点
找不到中间值,做比较
知识点
12. 已知各项不为0的等差数列
满足
,数列
是等比数列,
且,则
的值等于 .
正确答案
8
解析
,
,
所以或
,
所以,
,
所以填8
考查方向
解题思路
先求出a7的值,然后再求答案
易错点
不转换建立关系,直接算
知识点
13. 已知实数满足
,且
,则
的最小值是 .
正确答案
解析
因为,
所以,
因为
所以,
因为,
,
所以最小值为
考查方向
解题思路
先化简成基本不等式情况,然后再利用不等式性质求
易错点
想不到利用基本不等式,而是利用二次函数求最值
知识点
9. 已知为虚
数单位,复数
满足
,则
等于 .
正确答案
解析
因为,
所以
考查方向
解题思路
利用复数的四则运算计算
易错点
计算错误,虚数单位理解错误
知识点
10. 已知一个空间几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为 cm3.
正确答案
解析
由三视图可得,
几何体是一个圆柱中间挖去一个半球得到的几何体,
先求圆柱体体积,
半球的体积,
所以几何体的体积为=
考查方向
解题思路
根据三视图,还原成空间几何体,并注意相关线段的长度
易错点
从三视图还原成空间几何体错误
知识点
11. 如下图,是圆
的切线,切点为
交圆
于
两点,
,
则 .
正确答案
解析
,
,
所以,
设,所以
,
求得,,
由勾股定理可得,
,
所以,
所以
考查方向
解题思路
根据切线长定理,勾股定理求解
易错点
圆中线段关系弄错
知识点
14. 已知菱形的边长为
,
,点
,
分别在边
、
上,
.若
,则实数
的值为 .
正确答案
解析
因为ABCD是菱形,,
向量AE和向量AF的积为1,
所以AB=BC=CD=DA=2,
因为向量DC等于2倍的向量DF,
所以DF=1,即F为CD的中点,
E是BC的三等分点,
因为BE和CE的方向相反,
所以
考查方向
解题思路
根据已知条件,用含有的代数式表示
易错点
向量是有方向的,相反方向为负值,常常会被忽略
知识点
15.某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品,已知生产1吨A产品,1吨B产品分别需要
的甲、乙原料数,每种产品可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示.
问:在现有原料下,A、B产品应各生产多少吨才能使利润总额最大?
利润总额最大是多少万元?
正确答案
见解析
解析
设生产A、B产品分别为x,y吨,利润总额为z元, 由题意得 目标函数为z=7x+12y. 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,
如图:
目标函数可变形为,
∴当通过图中的点A
时
最大,z最大.
解得点A坐标为(20,24).
将点A(20,24)代入z=7x+12y
得zmax=7×20+12×24=428万元.
答:该厂生产A,B两种产品分别为20吨、24吨时利润最大,最大利润为428万元.
考查方向
解题思路
根据题意,根据所给表格里的条件,找到目标函数和可行域,根据线性规划性质求解。
易错点
找不到约束条件和目标函数