2015年高考真题文科数学 (全国新课标卷II)

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

2.若为实数,且,则( )

正确答案

解析

由题意可得 ,故选D.

考查方向

本题主要考查复数相等的应用，比较基础，根据复数相等的条件进行求解即可

解题思路

复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.

易错点

列方程时注意实部、虚部对照

知识点

函数单调性的性质

题型：单选题

分值: 5分

3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（）

A逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著

B2007年我国治理二氧化碳排放显现成效

C2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势

D2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关

正确答案

解析

由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选D.

考查方向

本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解

解题思路

本题把统计知识与时下的热点环保问题巧妙地结合在一起,该题背景比较新颖,设问比较灵活,是一道考查考生能力的好题.解答此题的关键是学生能从图中读出有用的信息,再根据得到的信息正确作出判断.

易错点

图像的变化增减趋势

知识点

分层抽样方法

题型：单选题

分值: 5分

1.已知集合,,则（）

正确答案

解析

因为,,所以

故选A.

考查方向

本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

解题思路

集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.

易错点

注意并集集合端点的取舍.

知识点

并集及其运算

题型：单选题

分值: 5分

5.设是等差数列的前项和,若,则（）

正确答案

解析

由,所有.故选A.

考查方向

本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

解题思路

本题解答过程中用到了的等差数列的一个基本性质即等差中项的性质,利用此性质可得高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.

易错点

等差中项的性质的正确应用要注意下标关系

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用

题型：单选题

分值: 5分

4.已知,,则（）

正确答案

解析

由题意可得 ,

所以.故选C.

考查方向

本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．

解题思路

全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若,则 .

易错点

向量垂直于平行的坐标运算公司不能混淆

知识点

指数函数的图像变换

题型：单选题

分值: 5分

10.已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）

正确答案

解析

设球的半径为R,则△AOB面积为,三棱锥体积最大时,C到平面AOB距离最大且为R,此时 ,所以球O的表面积.故选C.

考查方向

本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大是关键．

解题思路

由于三棱锥底面AOB面积为定值,故高最大时体积最大,本题就是利用此结论求球的半径,然后再求出球的表面积,由于球与几何体的切接问题能很好的考查空间想象能力,使得这类问题一直是高考中的热点及难点,提醒考生要加强此方面的训练.

易错点

截面圆外接圆半径的计算，及取得最值时顶点位置的确定.

知识点

平面与平面平行的判定与性质

题型：单选题

分值: 5分

12.设函数,则使得成立的的取值范围是（）

正确答案

解析

由可知是偶函数,且在是增函数,所以 .故选A

考查方向

本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．

解题思路

本题综合性较强,考查的知识点包括函数的奇偶性及单调性和不等式的解法,本题解法中用到了偶函数的一个性质,即：,巧妙利用此结论可避免讨论,请同学们认真体会；另外关于绝对值不等式的解法,通过平方去绝对值,也是为了避免讨论.

易错点

根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化得到结论.

知识点

导数的加法与减法法则

题型：单选题

分值: 5分

11.如图,长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记 ,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数 ,则的图像大致为（）

正确答案

解析

由题意可得,由此可排除C,D；当时点在边上，，，所以 ,可知时图像不是线段,可排除A,故选B.

考查方向

本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出时的解析式是解决本题的关键

解题思路

函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.

易错点

角的范围的确定

知识点

函数图象的应用

填空题本大题共8小题，每小题5分，共40分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

9.已知等比数列满足,,则（）

正确答案

解析

由题意可得 ,所以 ,故 ,选C.

考查方向

本题主要考查等比数列性质及基本运算，属于基础题目.

解题思路

解决本题的关键是利用等比数列性质得到一个关于的一元二次方程,再通过解方程求的值,我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.

易错点

等比数列性质的灵活应用

知识点

等比数列的判断与证明

题型：填空题

分值: 5分

6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）

正确答案

解析

如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,故选D.

考查方向

本题主要考查三视图及几何体体积的计算.

解题思路

由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.

易错点

分清切割部分与剩余部分体积

知识点

导数的加法与减法法则

题型：填空题

分值: 5分

7.已知三点,则△外接圆的圆心到原点的距离为（）

正确答案

解析

△外接圆圆心在直线BC垂直平分线上即直线上,设圆心D,由DA=DB得 ,所以圆心到原点的距离. 故选B.

考查方向

本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．

解题思路

解决本题的关键是求出圆心坐标,本题解法中巧妙利用了圆的一个几何性质：圆的弦的垂直平分线一定过圆心,注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r、弦长l、圆心到弦的距离d之间的关系：在求圆的方程时常常用到.

易错点

利用外接圆的性质，求出圆心坐标

知识点

点与圆的位置关系

题型：填空题

分值: 5分

8.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的分别为14,18,则输出的为（）

正确答案

解析

由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2,故选B.

考查方向

本题主要考查程序框图及更相减损术.

解题思路

程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,更相减损术是人教版课本算法案例中的一个内容,本题以更相减损术为载体命制试题,故本题可看作课本例题的改编,这说明课本是高考试题的“生长点”,故在此提醒考生考试复习时不要忘“本”.

易错点

正确认识框图基本功能结构

知识点

选择结构

题型：填空题

分值: 5分

16.已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ．

正确答案

解析

由可得曲线在点处的切线斜率为2,故切线方程为,与联立得,显然,所以由 .

考查方向

本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．

解题思路

求曲线在某点处的切线方程的方法是：求出函数在该点处的导数值即为切线斜率,然后用点斜式就可写出切线方程.而直线与抛物线相切则可以通过判别式来解决,本题将导数的几何意义与二次函数交汇在一起进行考查,具有小题综合化的特点.

易错点

导数几何意义的理解运用

知识点

双曲线的几何性质

题型：填空题

分值: 5分

13.已知函数的图像过点（-1,4）,则a= ．

正确答案

-2

解析

由可得 .

考查方向

考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．

解题思路

本题考查内容单一，由可直接求得a的值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心.

易错点

计算的准确性

知识点

导数的加法与减法法则

题型：填空题

分值: 5分

14.若x,y满足约束条件 ,则z=2x+y的最大值为．

正确答案

解析

不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域,的最大值必在顶点处取得,经验算,时.

考查方向

本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

解题思路

线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.

易错点

不等式组对应的平面区域的确定，确定z的最大值的位置.

知识点

二元一次不等式（组）表示的平面区域

题型：填空题

分值: 5分

15.已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为．

正确答案

解析

根据双曲线渐近线方程为,可设双曲线的方程为 ,把代入得.所以双曲线的方程为.

考查方向

本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．

解题思路

本题是求双曲线的标准方程,若设标准形式,需先判断焦点是在x轴上,还是在y轴上,而此题解法通过设共渐近线的双曲线的方程,就不需要判断双曲线焦点是在x轴上,还是在y轴上.一般的结论是：以为渐近线的双曲线的方程可设为.

易错点

巧妙设出双曲线方程

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质

简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.

A地区用户满意度评分的频率分布直方图

B地区用户满意度评分的频率分布表

满意度评分分组

频数

19.在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）

A地区用户满意度评分的频率分布直方图

20.根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：

满意度评分

低于70分

70分到89分

不低于90分

满意度等级

不满意

满意

非常满意

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析：

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.

考查方向

本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题．

解题思路

本题考查主要内容是频率分布直方图及应用,注意在制作频率分布直方图或利用频率分布直方图估计概率时容易出现的一个错误是误将频率当作纵坐标画图错误或估计概率错误,故提醒考生：频率分布直方图中纵坐标是频率/组距,而不是频率.

易错点

频率分别直方图求频率时一定要注意对应纵坐标乘以组距.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.

解析

试题分析：由直方图得的估计值为, 的估计值为,所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.

记表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”；表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”.

由直方图得的估计值为,

的估计值为,

所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.

考查方向

本题考查了频率与概率的关系，属于中档题．

解题思路

本题考查主要内容是估计概率错误,故提醒考生：频率分布直方图中纵坐标是频率/组距,而不是频率.

易错点

计算概率时一定要注意样本容量是多少.

题型：简答题

分值: 12分

已知椭圆的离心率为,点在C上.

23.求C的方程；

24.直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析：由求得,由此可得C的方程.

由题意有解得,所以椭圆C的方程为.

考查方向

本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．

解题思路

本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于的两个方程,通过解方程组求出,解决此类问题要重视方程思想的应用.

易错点

注意不要混淆椭圆与双曲线的性质

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

把直线方程与椭圆方程联立得,所以于是 , .

设直线,,把代入得

故于是直线OM的斜率即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.

解析

详见答案.

考查方向

本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．

解题思路

证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.

易错点

联立直线方程与椭圆方程消元时的化简

题型：简答题

分值: 12分

如图,长方体中AB=16,BC=10,,点E,F分别在上,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

21.在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；

22.求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析：分别在上取H,G,使.

交线围成的正方形如图：

考查方向

本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．

解题思路

立体几何解答题在高考中难度低于解析几何,属于得分题,往年第一问多为线面位置关系的证明,今年试题有所创新，改为作截面图.

易错点

截面位置的确定

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

或

解析

试题分析：长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为或.

作垂足为M,则,,,因为是正方形,所以,于是因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积比值为（也正确）.

考查方向

本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．

解题思路

立体几何解答题在高考中难度低于解析几何,属于得分题,往年第一问多为线面位置关系的证明,今年试题有所创新，改为作截面图,令人耳目一新.第二问求两几何体体积之比,方法容易想到,注意运算不要出现错误.

易错点

注意运算正确性

题型：简答题

分值: 12分

△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.

17.求；

18．若,求.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析：利用正弦定理转化得：

由正弦定理得因为AD平分BAC,BD=2DC,所以.

考查方向

本题考查了内角平分线的性质，是中档题．

解题思路

三角形中的三角变换常用到诱导公式,

，就是常用的结论.

易错点

利用三角形内角关系求解有关角的关系.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析：由诱导公式可得

由（I）知,

所以

因为

所以

由17题知,

所以

考查方向

本题考查了正弦定理的应用，是中档题．

解题思路

利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”

易错点

利用三角形内角关系求解有关角的关系.

题型：简答题

分值: 12分

已知.

25.讨论的单调性；

26.当有最大值,且最大值大于时,求a的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

,在是单调递增；,在单调递增,在单调递减.

解析

试题分析：由,可分,两种情况来讨论.

（I）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.

考查方向

本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，属于中档题．

解题思路

本题是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；

易错点

求导时导数符号正负确定的讨论及判断

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析：由25题知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.

由25题知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为

因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是.

考查方向

本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．

解题思路

本题是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.

易错点

构造新函数的单调性与是给函数单调性之间的对应关系.

题型：简答题

分值: 10分

请考生从下面三道大题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号

（1）如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（请回答27、28题）

（2）在直角坐标系中,曲线（t为参数,且）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线（请回答29、30题）

（3）设均为正数,且.证明：（请回答31、32题）

27.证明；

28.若AG等于圆O半径,且 ,求四边形EBCF的面积.

29.求与交点的直角坐标；

30.若与相交于点A,与相交于点B,求最大值.

31.若 ,则；

32.是的充要条件.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

由于是等腰三角形，，所以是的平分线．又因为分别与、相切于、两点，所以，故．从而．

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

28.若AG等于圆O半径,且 ,求四边形EBCF的面积.

．

解析

试题分析：通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论.

由于是等腰三角形，，所以是的平分线．又因为分别与、相切于、两点，所以，故．从而．

考查方向

本题考查空间中线与线之间的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．

解题思路

平面几何中平行关系的证明往往有三种方法：①由垂直关系得出；②由角的关系得出；③由平行关系的传递性得出.

易错点

边角关系的准确把握

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

和．

解析

试题分析：由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把，转化为直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．

曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立解得或所以与交点的直角坐标为和．

考查方向

本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

解题思路

将曲线与的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标．

易错点

参数方程及极坐标方程转化普通方程

第(4)小题正确答案及相关解析

正确答案

．

解析

试题分析：由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用，即可得出．

曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．

考查方向

本题考查了两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

解题思路

分别联立与和与的极坐标方程，求得的极坐标，由极径的概念将表示，转化为三角函数的最大值问题处理，高考试卷对参数方程中参数的几何意义和极坐标方程中极径和极角的概念考查加大了力度，复习时要克服把所有问题直角坐标化的误区．

易错点

三角函数公式的灵活运用

第(5)小题正确答案及相关解析

正确答案

因为，，由题设，，得．因此．

解析

试题分析：运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证．

因为，，由题设，，得．因此．

考查方向

本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，属于基础题．

解题思路

要证明，只需证明，展开结合已知条件易证．

易错点

不等式性质的正确应用.

第(6)小题正确答案及相关解析

正确答案

从两方面证，①若，证得|a-b|＜|c-d|，②若|a-b|＜|c-d|，证得，注意运用不等式的性质，即可得证．（ⅰ）若，则．即．因为，所以，由（Ⅰ）得．（ⅱ）若，则，即．因为，所以，于是．因此，综上，是的充要条件．

解析

详见答案.

考查方向

本题考查充要条件的判断，属于基础题．

解题思路

充要条件的证明需要分为两步，即充分条件的证明和必要条件的证明．证明的关键是寻找条件和结论以及它们和已知之间的联系．

易错点

充要条件的证明一定要分两步进行，及必要性与充分性的证明.

文科数学 热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

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