文科数学 2014年高三试卷

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

1.已知集合 ,则集合中元素的个数是（）

正确答案

解析

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知识点

集合的含义

题型：单选题

分值: 5分

5.执行如右图所示的程序框图，则输出的值为（）

A55

B30

C91

D100

正确答案

解析

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知识点

算法的概念

题型：单选题

分值: 5分

7.若与圆的两个交点关于对称，则的值分别为（）

正确答案

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

11.已知双曲线的中心在原点O，双曲线两条渐近线与抛物线交于A，B两点，且，则双曲线的离心率为（）

正确答案

解析

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知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

分值: 5分

2.若复数满足,则在复平面内,的共轭复数对应的点的坐标是（）

正确答案

解析

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知识点

虚数单位i及其性质

题型：单选题

分值: 5分

4.公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则=（）

A18

B24

C60

D90

正确答案

解析

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知识点

由数列的前几项求通项

题型：单选题

分值: 5分

6.已知向量，，，，如果，那么（）

A且与同向

B且与反向

C且与同向

D且与反向

正确答案

解析

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知识点

空间几何体的结构特征

题型：单选题

分值: 5分

8.某几何体的三视图如图1所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（）

正确答案

解析

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知识点

空间几何体的结构特征

题型：单选题

分值: 5分

9. 若当时，函数取得最小值，则函数是（）

A奇函数且图像关于点对称

B 偶函数且图像关于直线对称

C 奇函数且图像关于直线对称

D 偶函数且图像关于点对称

正确答案

解析

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知识点

函数的图象与图象变化

题型：单选题

分值: 5分

10. 函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为（）

正确答案

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

12.函数的定义域为实数集，，对于任意的都有，若在区间上函数恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是（）

正确答案

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

3.下列说法错误的是（）

A命题“若，则”的逆否命题是“若，则”

B若，则“”是“”的充要条件

C已知命题和，若为假命题，则命题与中必一真一假

D若命题，，则，

正确答案

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

13. 中，的平分线交边于，已知，且，则的长为________。

正确答案

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知识点

任意角的概念

题型：填空题

分值: 5分

14. 若x、y满足条件，则的最大值为__________．

正确答案

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知识点

不等式的性质

题型：填空题

分值: 5分

15. 在正三棱锥A﹣BCD中，E，F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE且，若此正三

棱锥的四个顶点都在球O的面上，则球O的体积为__________．

正确答案

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

分值: 5分

16. 数列的通项，其前项和为，则为_____________.

正确答案

1840

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知识点

由数列的前几项求通项

简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

17. 如图,在等腰直角三角形中,,,点在线段上．

（1）若,求的长；

（2）若点在线段上,且,问:当取何值时,的面积最小?并求出面积的最小值。

正确答案

（1）在中,,,,

由余弦定理得,,

得, 解得或．

（2）设,,

在中,由正弦定理,得,

所以, 同理

故

因为,,

所以当时,的最大值为,此时的面积取到最小值．

即2时,的面积的最小值为．

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知识点

任意角的概念

题型：简答题

分值: 12分

18. 如图，三角形中，，是边长为的正方形，平面 ⊥底面，若、分别是、的中点．

（Ⅰ）求证：∥底面；

（Ⅱ）求几何体的体积。

正确答案

（I）

解：取的中点，连结，

因为分别是和的中点，

所以，，

又因为为正方形，

所以，从而，

所以平面，平面，，

所以平面//平面，

所以//平面.

（II）取的中点,连结，因为，所以，

又平面⊥平面，平面，

所以⊥平面。

因为三角形是等腰直角三角形，

所以，

因为是四棱锥，所以=.

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知识点

空间几何体的结构特征

题型：简答题

分值: 12分

19. 为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：.

（Ⅰ）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；

（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取5名参加中心广场的宣传活动,再从这5名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人，求这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数大于1的概率。

正确答案

（I）∵小矩形的面积等于频率,

∴除外的频率和为0.70,

500名志愿者中,年龄在岁的人数为(人).

（II）用分层抽样的方法,从中选取5名,则其中年龄“低于35岁”的人有3名,“年龄不低于35岁”的人有2名.

由列举法可得，总共为20种，

符合条件的为14种，概率为

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知识点

随机事件的关系

题型：简答题

分值: 12分

20. 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

Ⅰ.求椭圆的方程；

Ⅱ.设过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足为坐标原点. ，当时，求实数的取值范围．

正确答案

略。

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

分值: 12分

21. 已知函数注：

（1）求的单调区间；

（2）如果当且时，恒成立，求实数的范围。

正确答案

（1）定义域为

设

① 当时，对称轴，，所以在上是增函数

② 当时，，所以在上是增函数

③ 当时，令得

令解得；令解得

所以的单调递增区间和；的单调递减区间

（2）可化为（※）

设，由（1）知：

① 当时，在上是增函数

若时，；所以

若时，。所以

所以，当时，※式成立

② 当时，在是减函数，所以※式不成立

综上，实数的取值范围是．

解法二：可化为

设

令

所以在

由洛必达法则所以

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

分值: 10分

请考生在第 22、 23、 24三题中任选一题做答。注意：只能做选定的题目。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.选修 4-1：几何证明选讲

如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点为上一点，且

Ⅰ.求证：

Ⅱ.若：求的长.

23. 选修 4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系下，已知圆和直线

Ⅰ.求圆和直线的直角坐标方程；

Ⅱ.当时，求直线与圆公共点的一个极坐标。

24. 选修 4-5：不等式选讲

设函数

Ⅰ.解不等式；

Ⅱ.已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。

正确答案

22.答案：（I）证明：∵DE2=EF•EC，∠DEF公用，

∴△DEF∽△CED，∴∠EDF=∠C．又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，

∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA ∴△EDF∽△EPA．

∴，∴EA•ED=EF•EP．又∵EA•ED=CE•EB，

∴CE•EB=EF•EP .

（II）∵DE2=EF•EC，DE=3，EF=2． ∴32=2EC，∴．

∵CE：BE=3：2，∴BE=3．

由（I）可知：CE•EB=EF•EP，∴，解得EP=，

∴BP=EP﹣EB=． ∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB•PC，

∴，解得．

23.（Ⅰ）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，

所以圆O的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0．

直线，即ρsinθ﹣ρcosθ=，

也就是ρsinθ﹣ρcosθ=1．

则直线l的直角坐标方程为：y﹣x=1，即x﹣y+1=0．

（Ⅱ）由，得．

故直线l与圆O公共点为（0，1），该点的一个极坐标为．

24.（Ⅰ）∵f（x）=|2x+1|﹣|x﹣3|=，

∴①当x＜﹣时，﹣x﹣4＞0，∴x＜﹣4；

②当﹣≤x≤3时，3x﹣2＞0，∴＜x≤3；

③当x＞3时，x+4＞0，∴x＞3．

综上所述，不等式f（x）＞0的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（，+∞）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=，

∴当x≤﹣时，﹣x﹣4≥﹣；当﹣＜x＜3时，﹣＜3x﹣2＜7；

当x≥3时，x+4≥7，综上所述，f（x）≥﹣．

∵关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，∴a＜f（x）﹣3恒成立，

令g（x）=f（x）﹣3，则g（x）≥﹣．

∴g（x）min=﹣．∴a＜g（x）min=﹣

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知识点

不等式

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