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文科数学 哈尔滨市2016年高三第二次模拟考试
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文科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2、填空题
13
14
15
16
3、简答题
17
18
19
20
21
22
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单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1．设集合，，则

A

B

C

D

正确答案

D

解析

，；

。

A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。

考查方向

本题主要考查了集合的交集运算及对数不等式的求解能力，并涉及了对数函数的定义域问题。

解题思路

先解二次不等式，再解对数不等式；再借助数轴进行交集运算，即可得到结果。所以选D选项。

易错点

如何把不等号两边化为“同底”；2.解对数不等式时忽略了真数大于0。

知识点

交集及其运算
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2． 设命题：若，，则；命题：若函数，则对任意都有成立．在命题①； ②； ③； ④中，真命题是

A①③

B①④

C②③

D②④

正确答案

D

解析

命题P中，当时， 没有意义，所以P是假命题，则为真命题；

命题Q中，因为是定义域内的增函数，所以对任意都有成立，所以Q是真命题，为假命题。

A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。

考查方向

本题主要考查了命题的真假判断。常与函数性质、不等式、立体几何等知识点交汇命题

解题思路

分别判断命题的真假；利用含有“或、且、非”命题的真假的判断方法，即可得到结果。

易错点

命题的真假判断时容易忽略的情况；不能理解不等式 与函数单调性之间的联系。

知识点

含有逻辑联结词命题的真假判断函数性质的综合应用
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3．已知复数，则

A

B

C

D

正确答案

A

解析

，。

B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。

考查方向

本题主要考查了复数的运算。

解题思路

先计算；2.再计算，即可得到结果。

易错点

计算出错。

知识点

复数的基本概念复数代数形式的混合运算
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4．口袋中有四个小球，其中一个黑球三个白球，从中随机取出两个球，则取到的两个球同色的概率为

A

B

C

D

正确答案

B

解析

先记“黑球”为“” “白球”为“”，用列举法列出所有的基本事件：，数出个数；

符合两球同色的基本事件：，并数出个数；

。

考查方向

本题主要考查了古典概率模型概率的计算。

解题思路

利用古典概率模型的解题步骤解题；用列举法列出所有的基本事件，再找到符合两球同色的基本事件个数，利用古典概率模型的概率公式求解。

易错点

基本事件总数出错。

知识点

随机事件的频率与概率
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

9．一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由三视图得，几何体为棱长都为的正四面体；

因为三棱锥的四个面全等，所以三棱锥的表面积。

A选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选B选项。

考查方向

本题主要考查了怎样由三视图画出原几何体，并求几何体的面积问题。

解题思路

由三视图得几何体为多面体；多面体的表面积为各个面面积之和。

易错点

由三视图推导不出原几何体的形状。

知识点

由三视图还原实物图
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

10． 已知数列为等差数列，且公差，数列为等比数列，若，，则

A

B

C

D与大小无法确定

正确答案

C

解析

由得；

因为数列为等差数列，且公差，所以，又因为，，所以，所以即。

A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查了等差数列和等比数列的性质：若，当为等差数列时，有，当为等比数列时，有。

解题思路

由等差数列等比数列的性质，把转化为已知来表示；

作差法比较大小。

易错点

等差等比数列性质不熟悉，没有发现第项，第项，第项的关系；

转化思想，没想到把转化为已知来表示。

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5．已知，满足约束条件则目标函数的最大值为

A

B

C

D

正确答案

C

解析

约束条件对应的可行域如图

把目标函数化为直线的斜截式，将其平移经过可行域，找到直线在轴上截距最小时对应的点；

将点代入目标函数，求出。

A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查了线性规划中求目标函数的最值问题。

解题思路

准确画出约束条件对应的可行域；找到最优解；把最优解代入目标函数，求出目标函数的最值。

易错点

可行域画错；求目标函数的最大值即找截距的最小值，错认为求截距的最大值。

知识点

求线性目标函数的最值
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6．已知函数（）的图象过点，如图，则的值为

A

B

C或

D或

正确答案

A

解析

把图象上的点代入,得，又因为，所以得或；由于在上升区间上，所以只取。

B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。

考查方向

本题主要考查了已知函数图象求函数解析式问题。

解题思路

代入法。把图象上的点代入,求出的值；根据点在上升区间还是在下降区间上，确定的值。

易错点

易错选为C。

知识点

正弦函数的图象三角函数中的恒等变换应用
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7．在平面直角坐标系中，双曲线过点，且其两条渐近线的方程分别为和，则双曲线的标准方程为

A

B

C 或

D

正确答案

B

解析

已知双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为；

把点代入上面方程，得，所以双曲线方程为，化为标准方程即可得。

A选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选B选项。

考查方向

本题主要考查了已知渐近线方程怎样求双曲线的标准方程问题。

解题思路

已知双曲线的渐近线方程，设双曲线的方程为；

把所给点代入上面方程，即得的值，确定双曲线方程。

易错点

双曲线的焦点位置不好确定，不会设双曲线方程的形式。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8．如图，给出的是求……的值的一个

程序框图，则判断框内填入的条件是

A

B

C

D

正确答案

B

解析

当时，；当时，；

以此类推，当时，，的值增加，变为.

A选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选B选项。

考查方向

本题主要考查了程序框图问题，常与数列联系起来考查。

解题思路

找到求和规律；

找到终止循环的条件。

易错点

没看清“是”，“否”,不等号方向写反，本题循环结构为

当型循环，当满足条件时执行循环体，因此排除A,D项；求和后，的值没有增加，输出时，的值当为。

知识点

程序框图算法流程图
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

11．等腰直角中，，，在轴上，有一个半径为的圆沿轴向滚动，并沿的表面滚过，则圆心的大致轨迹是（虚线为各段弧

所在圆的半径）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

因为圆与的表面相切。所以圆心到的距离为半径；

当圆沿着滚到点时，切点不动，圆心轨迹为圆心角为的圆弧。

A选项不正确，Ｂ选项不正确，Ｃ选项不正确，所以选Ｄ选项。

考查方向

本题主要考查了直线与圆相切的位置关系问题。

解题思路

由圆心到的距离为半径，排除B,C项；当圆滚到点时，圆心轨迹为圆心角为的圆弧，故排除A项.

易错点

易错选为A。

知识点

用其它方法求轨迹方程
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

12．已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

B

解析

，因为有且仅有一个零点，所以的图象与轴的交点外，不可与轴有其它交点；分类讨论。

①当时，由，得或，因为只有一个零点，所以由得；

②当时，，因为，且单调递增，

当即时，，单调递增，因为只有一个零点，所以，得；

当即时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，因为只有一个零点，所以，不可能成立；

综合①②知，。

A选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选B选项。

考查方向

本题主要考查了分段函数的图象及性质。

解题思路

先写出的解析式，得有且仅有一个零点；

分和两种情况讨论，分别画出两段的函数图象，需的取值不得使两段图象与轴有除外的其它交点。

易错点

不会画含参数的二次函数图象；

不会用导函数研究原函数的图象，当所给函数不是基本初等函数时，我们可通过求导来研究原函数的图象。

知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法求函数的值函数零点的判断和求解
填空题 本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 4分

15．点在的边所在直线上，且满足（），则在平面直角坐标系中，动点的轨迹的普通方程为           ．

正确答案

解析

三点共线 

设，则，得到，则，即

考查方向

本题考查了向量共线定理的应用，轨迹方程的求法.

解题思路

根据三点共线定理，得到之间的关系；设出点坐标，通过的关系从而得出之间的关系，即为的轨迹方程.

易错点

三点共线定理的运用；根据的关系得到点的横纵坐标的关系.

知识点

平面向量数量积的运算用其它方法求轨迹方程
1
题型：填空题
|
分值: 4分

13．已知圆，则过点的圆的切线方程为          ．

正确答案

解析

  切线的斜率为切线方程为

考查方向

本题考查了直线与圆相切的位置关系，两点的斜率公式，两线垂直斜率间的关系.

解题思路

为圆M上的点；2.通过两点斜率公式求出直线的斜率；依据切线与垂直，可求得切线的斜率.

易错点

没发现为圆上的点，导致求解复杂；忘了两点的斜率公式、两线垂直间的关系.

知识点

圆的切线方程
1
题型：填空题
|
分值: 4分

14．数列中，，当时，，则数列的通项公式为           ．

正确答案

解析

当时，，

故

考查方向

本题考查了根据数列的递推公式求通项的方法之累乘法.

解题思路

将递推公式转化成；2.将写成；3.依据递推公式代入求解.

易错点

忘了同底指数幂相乘的运算法则；2.指数位置应是共项相加.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式
1
题型：填空题
|
分值: 4分

16．四棱锥的底面是边长为的正方形，高为1，其外接球半径为，则正方形的中心与点之间的距离为           ．

正确答案

解析

可求得正方形的对角线长为4，设球心为，则到正方形的中心为，因为到正方形的距离为1，所以到正方形的中心距离与到球心的距离相等，则为.

考查方向

四棱锥的外接球问题，考察空间想象能力.

解题思路

求出球心到正方形的中心的距离，再结合图形判断位置关系求解.

易错点

球心位置的确定

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积与球体有关的内切、外接问题
简答题（综合题） 本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 12分

棱长为1的正方体中，沿平面将正方体分成两部分，其中一部分如图所示，过直线的平面与线段交于点．

21.当与重合时，求证：；

22.当平面平面时，求平面分几何体所得两部分体积之比．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）略；

解析

（Ⅰ）连接，在正方形中，，

正方体中，平面，

平面，，平面，

，即；-------------4分

考查方向

线面、面面垂直的判定与性质，棱柱、棱锥体积的求法.

解题思路

证平面；证明为的中点.

易错点

通过证线面垂直得线线垂直；判断的位置.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

当为中点时，

取、中点分别为、，链接、、，

，且，

四边形为平行四边形，，

平面平面，，

平面，平面，

平面平面．-------------8分

设，，

，

．-------------12分

考查方向

线面、面面垂直的判定与性质，棱柱、棱锥体积的求法.

解题思路

证平面；证明为的中点.

易错点

通过证线面垂直得线线垂直；判断的位置.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知

17.若，求的值域；

18.中，为边所对的内角若，，求的最大值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（Ⅰ），           -------------3分

，的值域为；-------------6分

考查方向

三角函数、不等式、向量的综合运用.

解题思路

化简；运用正弦函数的图像求的值域；运用余弦定理和不等式的性质求出的最值；

易错点

通过降幂公式、辅助角公式化简；求的最值.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

，，，

                     -------------9分

，

．

的最大值为．                              -------------12分

考查方向

三角函数、不等式、向量的综合运用.

解题思路

化简；运用正弦函数的图像求的值域；运用余弦定理和不等式的性质求出的最值；

易错点

通过降幂公式、辅助角公式化简；求的最值.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

某汽车公司为了考查某4S店的服务态度，对到店维修保养的客户进行回访调查，每个用户在到此店维修或保养后可以对该店进行打分，最高分为10分．上个月公司对该4S店的100位到店维修保养的客户进行了调查，将打分的客户按所打分值分成以下几组：第一组[0,2)，第二组[2,4)，第三组[4,6)，第四组[6,8)，第五组[8,10]，得到频率分布直方图如图所示．

19.分别求第四、五组的频率；

20.该公司在第二、三组客户中按分层抽样的方法抽取6名客户进行深入调查，之

后将从这6人中随机抽取2人进行物质奖励，求得到奖励的人来自不同组的概率．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

第四、五组的频率分别为和

解析

由直方图知，第四组的频率为，第五组的频率为所以第四、五组的频率分别为和．   ………………………4分

考查方向

频率分布直方图、古典概型.

解题思路

求出四、五组的矩形面积即为频率；列举法求解古典概型.

易错点

频率分布直方图的纵轴表示的是频率/組距；古典概型的解题步骤规范性.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

(1)由直方图知，第四组的频率为，第五组的频率为所以第四、五组的频率分别为和．   ………………………4分

(2) 由直方图知，第二、三组客户人数分别为10人和20人，所以抽出的6人中，第二组有2人，设为A，B，第三组有4人，设为a,b,c,d．

从中随机抽取2人的所有情况如下：

AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种．…8分

其中，两人来自不同组的情况共有8种， 分别是Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，…10分

所以，得到奖励的人来自不同组的概率为．            ………………………12分

考查方向

频率分布直方图、古典概型.

解题思路

求出四、五组的矩形面积即为频率；列举法求解古典概型.

易错点

频率分布直方图的纵轴表示的是频率/組距；古典概型的解题步骤规范性.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知抛物线，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线C于M、N两点，且．

23.求抛物线C的方程；

24.已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点D(0，4)，若动圆P与x轴交于A、B两点，且，求的最小值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

(1) 设抛物线的焦点为，则直线，

由，得     ………………………2分

，，

，  ………………………4分

抛物线的方程为      ………………………5分

考查方向

抛物线与圆的定义与几何性质，不等式的应用.

解题思路

过抛物线焦点的弦长运用抛物线的定义可求得；求出的函数表达式，再求最值.

易错点

本题抛物线为开口向上的，故焦点弦长为；求函数的最值时注意定义域.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

设动圆圆心，则，

且圆，

令，整理得：，

解得：，             ………………………7分

，…………9分

当时，，

当时，，，，

，

所以的最小值为．   ………………………12分

考查方向

抛物线与圆的定义与几何性质，不等式的应用.

解题思路

过抛物线焦点的弦长运用抛物线的定义可求得；求出的函数表达式，再求最值.

易错点

本题抛物线为开口向上的，故焦点弦长为；求函数的最值时注意定义域.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知函数，函数 ，其中为大于零的常数．

25.求函数的单调区间；

26.求证：．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）单增，单减

解析

解：（1），----------------------------------------------------------------1分

令得，则在上单调递增；

令得，则在上单调递减。---------------------3分

考查方向

导数的应用求函数的单调性，零点存在性定理的应用.

解题思路

在（Ⅱ）中要构造函数，通过求导研究单调性.

易错点

求单调性注意定义域；导数的运算.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）略.

解析

.令，---------4分

则，

令，

则，故在上单调递增。-------------------------6分

而，，故存在，使得，

即。---------------------------------------------------------------------------8分

则时，，故；时，，故。

则在上单调递减，在上单调递增，------------------------------------10分

故

。

故。--------------------------------------------------------------12分

考查方向

导数的应用求函数的单调性，零点存在性定理的应用.

解题思路

在（Ⅱ）中要构造函数，通过求导研究单调性.

易错点

求单调性注意定义域；导数的运算.

1
题型：简答题
|
分值: 14分

等腰梯形中，∥，、交于点，平分，为梯形外接圆的切线，交的延长线于点．

27.求证：；

28.若，，，求的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

略；

解析

(1) 为圆的切线，平分

为圆的切线．-------------5分

考查方向

切割线定理、相似三角形的判定.

解题思路

根据切割线定理得，再证 ,即可得证.根据同弧对的圆周角相等，可得，进一步求即可.

易错点

难以找出相等的角，进而将边转化求长度.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

与相似，

．-------------10分

考查方向

切割线定理、相似三角形的判定.

解题思路

根据切割线定理得，再证 ,即可得证.根据同弧对的圆周角相等，可得，进一步求即可.

易错点

难以找出相等的角，进而将边转化求长度.

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