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1.设集合,
,则
正确答案
解析
,
;
。
A选项不正确,B选项不正确,C选项不正确,所以选D选项。
考查方向
解题思路
先解二次不等式,再解对数不等式;再借助数轴进行交集运算,即可得到结果。所以选D选项。
易错点
如何把不等号两边化为“同底”;2.解对数不等式时忽略了真数大于0。
知识点
2. 设命题:若
,
,则
;命题
:若函数
,则对任意
都有
成立.在命题①
; ②
; ③
; ④
中,真命
题是
正确答案
解析
命题P中,当时,
没有意义,所以P是假命题,则
为真命题;
命题Q中,因为是定义域内的增函数,所以对任意
都有
成立,所以Q是真命题,
为假命题。
A选项不正确,B选项不正确,C选项不正确,所以选D选项。
考查方向
解题思路
分别判断命题的真假;利用含有“或、且、非”命题的真假的判断方法,即可得到结果。
易错点
命题的真假判断时容易忽略
的情况;不能理解不等式
与函数单调性之间的联系。
知识点
3.已知复数,则
正确答案
解析
,
。
B选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选A选项。
考查方向
解题思路
先计算;2.再计算
,即可得到结果。
易错点
计算出错。
知识点
4.口袋中有四个小球,其中一个黑球三个白球,从中随机取出两个球,则取到的两个球同色的概率为
正确答案
解析
先记“黑球”为“” “白球”为“
”,用列举法列出所有的基本事件:
,数出个数
;
符合两球同色的基本事件:,并数出个数
;
。
考查方向
解题思路
利用古典概率模型的解题步骤解题;用列举法列出所有的基本事件,再找到符合两球同色的基本事件个数,利用古典概率模型的概率公式求解。
易错点
基本事件总数出错。
知识点
9.一个空间几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为
正确答案
解析
由三视图得,几何体为棱长都为的正四面体;
因为三棱锥的四个面全等,所以三棱锥的表面积。
A选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选B选项。
考查方向
解题思路
由三视图得几何体为多面体;多面体的表面积为各个面面积之和。
易错点
由三视图推导不出原几何体的形状。
知识点
10. 已知数列为等差数列,且公差
,数列
为等比数列,若
,
,则
正确答案
解析
由得
;
因为数列
为等差数列,且公差
,所以
,又因为
,
,所以
,所以
即
。
A选项不正确,B选项不正确,D选项不正确,所以选C选项。
考查方向
解题思路
由等差数列等比数列的性质,把转化为已知
来表示;
作差法比较大小。
易错点
等差等比数列性质不熟悉,没有发现第项,第
项,第
项的关系;
转化思想,没想到把转化为已知
来表示。
知识点
5.已知,
满足约束条件
则目标函数
的最大值为
正确答案
解析
约束条件对应的可行域如图
把目标函数化为直线的斜截式,将其平移经过可行域,找到直线在
轴上截距最小时对应的点
;
将点代入目标函数
,求出
。
A选项不正确,B选项不正确,D选项不正确,所以选C选项。
考查方向
解题思路
准确画出约束条件对应的可行域;找到最优解;把最优解代入目标函数,求出目标函数的最值。
易错点
可行域画错;求目标函数的最大值即找截距的最小值,错认为求截距的最大值。
知识点
6.已知函数(
)的图象过点
,如图,则
的值为
正确答案
解析
把图象上的点代入
,得
,又因为
,所以得
或
;由于
在上升区间上,所以只取
。
B选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选A选项。
考查方向
解题思路
代入法。把图象上的点代入,求出的值;根据点在上升区间还是在下降区间上,确定
的值。
易错点
易错选为C。
知识点
7.在平面直角坐标系中,双曲线过点
,且其两条渐近线的方程分别为
和
,则双曲线
的标准方程为
正确答案
解析
已知双曲线的渐近线方程为,设双曲线的方程为
;
把点代入上面方程,得
,所以双曲线方程为
,化为标准方程即可得
。
A选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选B选项。
考查方向
解题思路
已知双曲线的渐近线方程,设双曲线的方程为
;
把所给点代入上面方程,即得的值,确定双曲线方程。
易错点
双曲线的焦点位置不好确定,不会设双曲线方程的形式。
知识点
8.如图,给出的是求……
的值的一个
程序框图,则判断框内填入的条件是
正确答案
解析
当时,
;当
时,
;
以此类推,当时,
,
的值增加
,变为
.
A选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选B选项。
考查方向
解题思路
找到求和规律;
找到终止循环的条件。
易错点
没看清“是”,“否”,不等号方向写反,本题循环结构为
当型循环,当满足条件时执行循环体,因此排除A,D项;求和后,的值没有增加
,输出
时,
的值当为
。
知识点
11.等腰直角中,
,
,
在
轴上,有一个半径为
的圆
沿
轴向
滚动,并沿
的表面滚过,则圆心
的大致轨迹是(虚线为各段弧
所在圆的半径)
正确答案
解析
因为圆与
的表面相切。所以圆心
到
的距离为半径
;
当圆沿着
滚到
点时,切点不动,圆心轨迹为圆心角为
的圆弧。
A选项不正确,B选项不正确,C选项不正确,所以选D选项。
考查方向
解题思路
由圆心到
的距离为半径,排除B,C项;当圆
滚到
点时,圆心轨迹为圆心角为
的圆弧,故排除A项.
易错点
易错选为A。
知识点
12.已知函数,若函数
恰有一个零点,则
的取值范围是
正确答案
解析
,因为
有且仅有一个零点
,所以
的图象与
轴的交点
外,不可与
轴有其它交点;分类讨论。
①当时,由
,得
或
,因为
只有一个零点
,所以由
得
;
②当时,
,因为
,且
单调递增,
当即
时,
,
单调递增,因为
只有一个零点
,所以
,得
;
当即
时,当
时,
,
单调递减,当
时,
,
单调递增,因为
只有一个零点
,所以
,不可能成立;
综合①②知,。
A选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选B选项。
考查方向
解题思路
先写出的解析式,得
有且仅有一个零点
;
分和
两种情况讨论,分别画出两段的函数图象,需
的取值不得使两段图象与
轴有除
外的其它交点。
易错点
不会画含参数的二次函数图象;
不会用导函数研究原函数的图象,当所给函数不是基本初等函数时,我们可通过求导来研究原函数的图象。
知识点
15.点
在
的边
所在直线上,且满足
(
),则在平面直角坐标系中,动点
的轨迹的普通方程为 .
正确答案
解析
三点共线
设,则
,得到
,则
,即
考查方向
解题思路
根据三点共线定理,得到之间的关系;设出
点坐标
,通过
的关系从而得出
之间的关系,即为
的轨迹方程.
易错点
三点共线定理的运用;根据的关系得到
点的横纵坐标的关系.
知识点
13.已知圆,则过点
的圆
的切线方程为 .
正确答案
解析
切线
的斜率为
切线方程为
考查方向
解题思路
为圆M上的点;2.通过两点斜率公式求出直线
的斜率;依据切线与
垂直,可求得切线的斜率.
易错点
没发现为圆上的点,导致求解复杂;忘了两点的斜率公式、两线垂直间的关系.
知识点
14.数列中,
,当
时,
,则数列
的通项公式为 .
正确答案
解析
当时,
,
故
考查方向
解题思路
将递推公式转化成;2.将
写成
;3.依据递推公式代入求解.
易错点
忘了同底指数幂相乘的运算法则;2.指数位置应是共
项相加.
知识点
16.四棱锥的底面是边长为
的正方形,高为1,其外接球半径为
,则正方形
的中心与点
之间的距离为 .
正确答案
解析
可求得正方形的对角线长为4,设球心为
,则
到正方形的中心为
,因为
到正方形
的距离为1,所以
到正方形的中心距离与
到球心
的距离相等,则为
.
考查方向
解题思路
求出球心到正方形的中心的距离,再结合图形判断位置关系求解.
易错点
球心位置的确定
知识点
棱长为1的正方体中,沿平面
将正方体分成两部分,其中一部分如图所示,过直线
的平面
与线段
交于点
.
21.当与
重合时,求证:
;
22.当平面平面
时,求平面
分几何体
所得两部分体积之比.
正确答案
(Ⅰ)略;
解析
(Ⅰ)连接,在正方形
中,
,
正方体中,
平面
,
平面
,
,
平面
,
,即
;-------------4分
考查方向
线面、面面垂直的判定与性质,棱柱、棱锥体积的求法.
解题思路
证平面
;证明
为
的中点.
易错点
通过证线面垂直得线线垂直;判断的位置.
正确答案
.
解析
当为
中点时,
取、
中点分别为
、
,链接
、
、
,
,且
,
四边形
为平行四边形,
,
平面
平面
,
,
平面
,
平面
,
平面
平面
.-------------8分
设,
,
,
.-------------12分
考查方向
解题思路
证平面
;证明
为
的中点.
易错点
通过证线面垂直得线线垂直;判断的位置.
已知
17.若,求
的值域;
18.
中,
为
边所对的内角若
,,求
的最大值.
正确答案
解析
(Ⅰ), -------------3分
,
的值域为
;-------------6分
考查方向
解题思路
化简;运用正弦函数的图像求
的值域;运用余弦定理和不等式的性质求出
的最值;
易错点
通过降幂公式、辅助角公式化简;求
的最值.
正确答案
.
解析
,
,
,
---
----------9分
,
.
的最大值为
. -------------12分
考查方向
解题思路
化简;运用正弦函数的图像求
的值域;运用余弦定理和不等式的性质求出
的最值;
易错点
通过降幂公式、辅助角公式化简;求
的最值.
某汽车公司为了考查某4S店的服务态度,对到店维修保养的客户进行回访调查,每个用户在到此店维修或保养后可以对该店进行打分,最高分为10分.上个月公司对该4S店的100位到店维修保养的客户进行了调查,将打分的客户按所打分值分成以下几组:第一组[0,2),第二组[2,4),第三组[4,6),第四组[6,8),第五组[8,10],得到频率分布直方图如图所示.
19.分别求第四、五组的频率;
20.该公司在第二、三组客户中按分层抽样的方法抽取6名客户进行深入调查,之
后将从这6人中随机抽取2人进行物质奖励,求得到奖励的人来自不同组的概率.
正确答案
第四、五组的频率分别为和
解析
由直方图知,第四组的频率为,第五组的频率为
所以第四、五组的频率分别为
和
. ………………………4分
考查方向
解题思路
求出四、五组的矩形面积即为频率;列举法求解古典概型.
易错点
频率分布直方图的纵轴表示的是频率/組距;古典概型的解题步骤规范性.
正确答案
.
解析
(1)由直方图知,第四组的频率为,第五组的频率为
所以第四、五组的频率分别为
和
. ………………………4分
(2) 由直方图知,第二、三组客户人数分别为10人和20人,所以抽出的6人中,第二组有2人,设为A,B,第三组有4人,设为a,b,c,d.
从中随机抽取2人的所有情况如下:
AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd共15种.…8分
其中,两人来自不同组的情况共有8种, 分别是Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,…10分
所以,得到奖励的人来自不同组的概率为. ………………………12分
考查方向
解题思路
求出四、五组的矩形面积即为频率;列举法求解古典概型.
易错点
频率分布直方图的纵轴表示的是频率/組距;古典概型的解题步骤规范性.
已知抛物线,过其焦点作斜率为1的直线
交抛物线C于M、N两点,且
.
23.求抛物线C的方程;
24.已知动圆P的圆心在抛物线C上,且过定点D(0,4),若动圆P与x轴交于A、B两点,且,求
的最小值.
正确答案
(Ⅰ)
解析
(1) 设抛物线的焦点为,则直线
,
由,得
………………………2分
,
,
,
………………………4分
抛物线
的方程为
………………………5分
考查方向
解题思路
过抛物线焦点的弦长运用抛物线的定义可求得;求出的函数表达式,再求最值.
易错点
本题抛物线为开口向上的,故焦点弦长为;求
函数的最值时注意定义域.
正确答案
.
解析
设动圆圆心,则
,
且圆,
令,整理得:
,
解得:, ………………………7分
,…………9分
当时,
,
当时,
,
,
,
,
所以的最小值为
. ………………………12分
考查方向
解题思路
过抛物线焦点的弦长运用抛物线的定义可求得;求出的函数表达式,再求最值.
易错点
本题抛物线为开口向上的,故焦点弦长为;求
函数的最值时注意定义域.
已知函数,函数
,其中
为大于零的常数.
25.求函数的单调区间;
26.求证:.
正确答案
(Ⅰ)单增,
单减
解析
解:(1),----------------------------------------------------------------1分
令得
,则
在
上单调递增;
令得
,则
在
上单调递减。---------------------3分
考查方向
解题思路
在(Ⅱ)中要构造函数,通过求导研究单调性.
易错点
求单调性注意定义域;导数的运算.
正确答案
(Ⅱ)略.
解析
.令
,---------4分
则,
令,
则,故
在
上单调递增。-------------------------6分
而,
,故存在
,使得
,
即。-------------------------
--------------------------------------------------8分
则时,
,故
;
时,
,故
。
则在
上单调递减,在
上单调递增,------------------------------------10分
故
。
故。--------------------------------------------------------------12分
考查方向
解题思路
在(Ⅱ)中要构造函数,通过求导研究单调性.
易错点
求单调性注意定义域;导数的运算.
等腰梯形中,
∥
,
、
交于点
,
平分
,
为梯形
外接圆的切线,交
的延长线于点
.
27.求证:;
28.若,
,
,求
的长.
正确答案
略;
解析
(1) 为圆的切线
,
平分
为圆的切线
.-------------5分
考查方向
解题思路
根据切割线定理得,再证
,即可得证.根据同弧对的圆周角相等,可得
,进一步求
即可.
易错点
难以找出相等的角,进而将边转化求长度.
正确答案
.
解析
与
相似
,
.-------------10分
考查方向
解题思路
根据切割线定理得,再证
,即可得证.根据同弧对的圆周角相等,可得
,进一步求
即可.
易错点
难以找出相等的角,进而将边转化求长度.