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文科数学 2017年高三第一次模拟考试
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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2、填空题
13
14
15
3、简答题
16
17
18
19
20
21
22
23
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单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3.向面积为的平行四边形中任投一点,则的面积小于的概率为       （    ）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：设△MCD的高为ME，ME的反向延长线交AB于F，当“△MCD的面积等于S时，

过M作GH//AB，则满足MCD的面积小于点在平行四边形CDGH中

由几何概型的个数得到的面积小于的概率为

故选C.

考查方向

本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据面积之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．

解题思路

先求出△MCD的面积等于时，对应的位置，然后根据几何概型的概率公式求相应的面积，即可得到结论.

易错点

几何概型．

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5.设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是                                                              （    ）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：把函数的图象向右平移个单位后，

可得的图像

根据所得图象与原图象重合，可得，即，

故ω的最小值为.故选D.

考查方向

本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性，属于基础.

解题思路

利用函数的图象变换规律，正弦函数的周期性，

可得，由此求得ω的最小值．

易错点

函数的图象变换．

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为                              （    ）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：由三视图可知立体图为半圆柱，则

故选D.

考查方向

本题考查了学生三视图与立体图之间的转化能力，比较简单，属于基础题.

解题思路

将三视图转化为立体图，将每个面的面积想加即可.

易错点

图形的转化.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8.已知3是函数的一个零点，则的值是（    ）

A4

B3

C2

D

正确答案

A

解析

解：3是函数的一个零点，可得

，

故选A.

考查方向

本题考查函数的零点分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题.

解题思路

利用函数的零点求出t，然后由里及外逐步求解函数值即可．

易错点

分段函数的应用.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

9.已知函数（为2.71828……），则的大致图象是         （    ）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：函数可得函数，显然x→+∞时，导函数，函数是增函数；排除A，D；

时，，不是函数的极值点，排除B，

故选：C．

考查方向

本题考查函数的导数的应用，函数的图象的判断，考查转化思想以及计算能力．属于基础题.

解题思路

求出函数的导数判断函数的单调性，然后判断选项即可．

易错点

利用导数研究函数的单调性；函数的图象．

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

10.某程序框图如右图所示，若运行该程序后输出的值是，则整数t的值是     （  ）

A7

B8

C9

D10

正确答案

C

解析

解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出的值，

由题意可得，，即：

解得，

可得，

故选：C．

考查方向

本题考查的知识点是程序框图，其中分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题．

解题思路

根据已知流程图可得程序的功能是计算并输出的值，由题意解得K的值即可得解．

易错点

程序框图．

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1.已知集合，，则                 （    ）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：由已知得，又

所以，即，故选C.

考查方向

本题考查含绝对值的不等式与集合的运算，要求运算准确，属于基础题.

解题思路

解一元二次不等式，求出集合A，然后进行交集的运算即可．

易错点

集合类型的判断.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2.已知复数满足，则的共轭复数的虚部是                             （    ）

A-5

B1

C5

D-1

正确答案

C

解析

解：∵

∴，∴，即

∴，所以的共轭复数的虚部为5.

考查方向

本题考查了复数的运算性质，模的计算公式、共轭复数的定义；考查课推理计算能录，属于基础题.

解题思路

利用复数的运算性质、模的计算公式、共轭复数的定义即可得出.

易错点

复数的运算、复数求模.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4.已知命题：.命题：,.

则下列命题中为真命题的是

(      )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：命题P:用特殊值法带入验证，时，，

所以使得，故P为真命题.

命题：，取，则显然是不成立的

所以为假命题.

命题q: ，所以

而，∴对任意的不满足，即q为假命题.

命题：

因为，所以命题为真命题.

对于A选项，，p为真命题，为真命题为真命题，则他们的交亦为真.

故选A.

考查方向

本题考查了的真假命题及命题的否定，属于基础题.

解题思路

分别判断出p,q和，真假后带入选项中检验即可.

易错点

复合命题的真假.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6.若实数x,y满足，则的取值范围是             （    ）A.

A

B

C

正确答案

A

解析

解：∵…①   …②

则①+②，得 … ③

③×2，得… ④

①-②，得…⑤

最后由④+⑤得

故答案为：，故选B.

考查方向

本题考查的知识点是不等式的性质，其中方法二中，使用待定系数法，结合不等式的基本性质求解要求熟练掌握．属于中档题.

解题思路

根据实数x,y满足，可得，即和

，进而可得.

易错点

不等关系与不等式；简单线性规划.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

11.三棱柱的侧棱与底面垂直，且所有棱长均相等，为的中点，则直线和直线所成角的余弦值为（    ）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：设三棱柱的棱长为2.

如图所示：取AC中点N,连接

∵N,M分别为和的中点

∴,又

所以四边形为平行四边形，∴

∴异面直线与所成角的大小为

,,

则由余弦定理得：

即直线和直线所成角的余弦值为.

故选B

考查方向

本题考查了用几何法求异面直线余弦值、余弦定理，需要一定的空间想象力，属于基础题.

解题思路

按题意画出图形，将两异面直线通过平移相交，两交线所形成的角的余弦值就是所求.构造一三角形，利用余弦定理即可得出.

易错点

求两异面直线的（正）余弦值.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

12.已知在上不单调，则实数的取值范围是 （    ）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：∵的定义域为

又，则由可得，

当时，

当时，，当时，

∵在内不单调

则

解之得： 或

故选D.

考查方向

本题主要考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．属于中档题．

解题思路

先确定函数的定义域然后求导数，在函数的定义域内解方程，使方程的解在定义域内的一个子区间内，建立不等关系，解之即可．

易错点

函数在某点取得极值的条件.

填空题 本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

14.已知点，则向量在方向上的投影为

正确答案

解析

解：点

所以向量，

则向量在方向上的投影为

故答案为：

考查方向

本题考查了平面向量投影的定义与坐标运算问题，是基础题目．

解题思路

根据平面向量投影的定义与坐标运算，计算向量方向上的投影即可．

易错点

平面向量数量积的运算．

1
题型：填空题
|
分值: 5分

15.已知，，则

正确答案

解析

解：∵且

∴，

∴

考查方向

本题考查了学生三角函数的灵活运用，属于简单题.

解题思路

根据函数值和的范围，可以求出，进而求得

易错点

常见角度所对应的三角函数值.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

13.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最大的一份为

正确答案

解析

解：设每个人由少到多的顺序得到面包分别为

因为每个所得的面包成等差数列设公差为d，则有①；

最大的三份之和的是较小的两份之和得到：较小的两份之和

即②．

联立①②解得，所以

故答案为

考查方向

本题为一道中档题，要求学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式进行化简求值．此题的突破点在于设出等差数列．属于简单题.

解题思路

由每一个人分得的面包成等差数列设出各项，分别根据等差数列的前5项之和等于100，最大的三份之和的.是较小的两份之和列出两个方程，联立即可求出最大1份的量．

易错点

等差数列的通项公式．

简答题（综合题） 本大题共85分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 4分

已知函数，与轴依次交于点、、,点为图象上的动点，分别以、、,为切点作函数图象的切线.

16.点处切线斜率最小值为

17.点、、处切线斜率倒数和为

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：函数

则

当时，切线的斜率取得最小值.

考查方向

本题考查导数的概念和应用：求切线的斜率，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

解题思路

求出f（x）的导数，配方，即可得到所求切线的斜率的最小值；

易错点

利用导数研究曲线上某点切线方程．

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

0

解析

解：可令

可得点A、B、C处切线斜率的导数和为

考查方向

本题考查导数的概念和应用：求切线的斜率，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

解题思路

由题意可设，求出导数，分别求出点A、B、C处切线斜率，再求倒数，化简即可得到所求和．

易错点

利用导数研究曲线上某点切线方程．

1
题型：简答题
|
分值: 12分

在中，内角所对边的长分别为，,.

20.若，求三角形的面积；

21.若，求的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

解：∵

又，可得

∴，解得

∴

考查方向

本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，平面向量数量积的运算，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

解题思路

利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得），结合范围可得，利用特殊角的三角函数值可求θ的值，进而利用三角形面积公式，平面向量数量积的运算即可计算得解．

易错点

正弦定理.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

解：∵，

又

∴

又∵（当且仅当b=c时取等号），

∴bc的最大值为16

考查方向

本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，平面向量数量积的运算，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

解题思路

利用平面向量数量积的运算，余弦定理可得，进而利用基本不等式即可计算得解bc的最大值．

易错点

平面向量数量积的运算、余弦定理．

1
题型：简答题
|
分值: 12分
false

25.根据以上数据完成以下2×2列联表：

26.根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？

0.40

27.如果从喜欢运动的女志愿者中（其中恰有4人会外语），抽取2名负责翻译工作，则抽出的志愿者中2人都能胜任翻译工作的概率是多少？
参考公式：，其中．
参考数据：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

解：见下表

考查方向

本题考查独立性检验的列联表、假设性判断，计算量较大，但这种问题的解答原理比较简单，属于基础题．

解题思路

根据的已知数据，填满2×2列联表．

易错点

统计整理数据.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

解：假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得，

所以不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关

考查方向

本题考查独立性检验的列联表、假设性判断，计算量较大，但这种问题的解答原理比较简单，属于基础题．

解题思路

先假设是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得观测值，把求得的观测值同临界值进行比较，得到不能在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关．

易错点

独立性检验的应用．

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

0.25

第(4)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

解：喜欢运动的女志愿者有6人，

设分别为A、B、C、D、E、F，其中A、B、C、D懂得医疗救护，

则从这6人中任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种取法，

其中两人都懂得医疗救护的有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种．

设“抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作”为事件A

则

考查方向

本题考查了古典概型的概率公式，考查学生的计算能力，属于基础题．

解题思路

列出所有的基本事件，由古典概型求概率．

易错点

古典概型概率的计算.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

在等比数列中，公比，等差数列满足，，

18.求数列与的通项公式；

19.记，求数列的前项和．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

解：设等差数列的公差为d，由已知得：

，，，

即，解得，∴

所以

考查方向

题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

解题思路

利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．

易错点

等差、等比数列的通项公式．

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

解：由题意得：

考查方向

题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

解题思路

利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

易错点

等差、等比数列的求和.

1
题型：简答题
|
分值: 13分

22.若线段上存在一点,使得直线//平面，试确定点的位置，并给出证明；

23.在第（I）问的条件下，求三棱锥的体积.

24.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

当M为线段PC的中点时，直线PA∥平面MBD．

证明：如图：取线段PC的中点M，连接MD，MB，连接AC、BD相交于点O，连接OM，

∵ABCD是菱形，∴O为AC的中点，又M为PC的中点，

∴OM∥PA，

∵OM⊂平面MBD，PA⊄平面MBD，

∴PA∥平面MBD.

考查方向

本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．

解题思路

取线段PC的中点M，连接MD，MB，连接AC、BD相交于点O，连接OM，由三角形中位线定理可得OM∥PA，再由线面平行的判定可得PA∥平面MBD；

易错点

直线与平面平行的判定．

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

解：∵PA=PD，取AD中点N，∴PN⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，

∴PN⊥平面ABCD，

∵∠APD=90°，AD=2，PN=1

又M为PC的中点，∴M到平面ABCD的距离

∵ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，

∴

考查方向

本题考查了利用等积法求多面体的体积，是中档题．

解题思路

由PA=PD，取AD中点N，可得PN⊥AD，由面面垂直的性质可得PN⊥平面ABCD，求出M到平面ABCD的距离，然后利用等积法求得三棱锥C-DMB的体积．

易错点

棱柱、棱锥、棱台的体积.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

1
题型：简答题
|
分值: 10分

在直角坐标系中，已知直线的参数方程为 (t为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.直线与曲线交于,两点.

30.求的长；

31.若点的极坐标为，求中点到的距离.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

解：曲线C的极坐标方程为，∴

即

直线的参数方程为 (t为参数），即：

整理得：，则，

∴

考查方向

本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用，考查了数形结合方法\推理能力，属于中档题．

解题思路

曲线C的极坐标方程为，利用倍角公式可得，再利用互化公式即可得出普通方程．直线l的参数方程为（t为参数），化为标准形式：

代入前式可得普通方程，，利用即可求出.

易错点

简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

点P的极坐标为，化为直角坐标P（0,1）

AB中点M对应的参数，∴

点M到P的距离d=1.

考查方向

本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用，考查了数形结合方法、推理能力，属于中档题．

解题思路

点P的极坐标为，化为直角坐标P（0,1）AB中点M对应的参数，∴，可得点M到P的距离.

易错点

简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

1
题型：简答题
|
分值: 10分

选修4—5：不等式选讲

已知，且.

32.若恒成立，求的取值范围；

33.若恒成立，求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

解：∵，且，则由基本不等式得

当且仅当时等号成立，由恒成立，∴

考查方向

本题考查了绝对值不等式的解法，分段函数知识，考查运算能力，转化思想以及分类讨论思想，是一道中档题．

解题思路

由基本不等式可得；

易错点

基本不等式.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

解：∵

∴

故要使恒成立，则

当时，不等式化为：

当时，不等式化为：

当时，不等式化为：

故的取值范围为

考查方向

本题考查了绝对值不等式的解法，分段函数知识，考查运算能力，转化思想以及分类讨论思想，是一道中档题．

解题思路

问题转化为|2x-1|-|x+1|≤4，去绝对值化为不等式，解不等式可得

易错点

函数恒成立问题

1
题型：简答题
|
分值: 12分

记表示，中的最大值，如．已知函数，．

28.设，求函数在上零点的个数；

29.试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

解：设

令，递增；令，递减

∴，即

设，结合与在上的图像可知，这两个函数的图像在上有两个焦点，即在上零点的个数为2.

考查方向

本题考查了函数的零点的个数判定，属于难题．

解题思路

利用导数求出的单调区间及最值，结合图象即可判定；

易错点

导数在最大值、最小值问题中的应用.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

解：假设存在，使得对恒成立

则，对恒成立

即，对恒成立

令，递增，令，递减

∴

故当，对恒成立

当时，在上递减

∴

故当时，对恒成立

由①②得，

故存在实数，使得对恒成立

且的取值范围为

考查方向

本题考查了函数不等式恒成立时，参数取值范围的求解方法，属于难题．

解题思路

构造函数

对该函数在的最大值进行分类求解，只需最大值小于0即可．

易错点

利用导数研究函数的单调性．

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