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1.已知集合,若,则( )
正确答案
解析
由得,所以,所以,所以.故选D.
考查方向
解题思路
1.先根据求出a,b的值;2.然后求出
易错点
不知道是什么意思,导致选错。
知识点
2.已知复数,(为虚数单位),若为纯虚数,则实数的值为( )
正确答案
解析
由题意可得,,因为为纯虚数,所以,所以.故选C.
考查方向
解题思路
1.先利用复数的运算法则化简复数; 2.根据纯虚数的概念即可得到方程后解方程即得答案。
易错点
1:不理解纯虚数是什么; 2复数运算出错。
知识点
3.执行如图所示的程序框图,若输入的的值为,则输出的的值为( )
正确答案
解析
执行程序框图,第一次,第二次,第三次,第四次,第五次,所以输出的.故选D.
考查方向
解题思路
根据给出的程序框图循环执行,后满足条件跳出循环即可。
易错点
1.无法确定程序结束的条件导致出错;2.不将程序运行完成就退出程序导致出错。
知识点
5.已知具有线性相关关系的两个变量之间的一组数据如下:
且回归直线方程为,根据模型预报当时,的预测值为( )
正确答案
解析
由题意可得,,,因为回归直线一定过样本点的中心,所以,解得.当时,的预测值为.故选D.
考查方向
解题思路
1.先求出样本点的中心;2.然后带入求出回归直线后令即可得到答案。
易错点
1.不理解回归直线部分的基础知识,导致不知道该干什么;2.数据计算出错。
知识点
6.函数的图象大致是( )
正确答案
解析
由题意可得,,所以为偶函数,的图象关于轴对称,可排除答案A、C;当时,,可排除D.故选B.
考查方向
解题思路
1.根据函数的解析式确定其奇偶性,排除A,C;2.利用图像知当时,排除D,即可得到答案。
易错点
1.不会利用图形中的信息;2.不知道该用函数的什么性质去解决。
知识点
4.设R,则“”是“” 的( )
正确答案
解析
由题意可得,“”等价于“或”,即“” ,所以“”是“” 的必要不充分条件.故选B.
考查方向
解题思路
先将题中的结论化简为,2.利用充分必要条件的定义即可求解出答案。
易错点
1.不会转化题中的结论;2.充分必要条件的大小关系弄混,错选A。
知识点
7.已知函数,则的值为( )
正确答案
解析
由题意可得,,所以,所以.故选A.
考查方向
解题思路
1.先判断所在范围后带入解析式得到;2.利用指数恒等式求出答案。
易错点
1.不会指数恒等式如何求;2.不会判断所在的范围导致无法带入解析式。
知识点
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( )
正确答案
解析
由三视图可知,该几何体是底面半径为,高为的圆锥.设其外接球的半径为,则,解得,所以该几何体外接球的表面积为.故选D.
考查方向
解题思路
1.先由题中给出的三视图判断出其直观图;2.利用图中给出的数据求其外接球的半径和表面积。
易错点
1.空间想象能力较弱,无法正确判断出其直观图的形状;2.对于几何体与球的切接问题不会处理。
知识点
10.对于两个平面向量,定义它们的一种运算:(其中为向量的夹角),则关于这种运算的以下结论中,不恒成立的是( )
正确答案
解析
因为,所以,选项A恒成立.当,时,,所以或,所以;当或时,恒成立,选项B恒成立.
,选项D恒成立.当时,,选项C不恒成立.故选C
考查方向
解题思路
.根据题中给出的运算公式分别带入选项逐个判断正误。
易错点
1.不会利用题中给出的新定义;2.对于新定义和我们学过的知识如何如何结合存在障碍。
知识点
9.已知函数是定义在R上的可导函数,为其导函数,若对于任意实数,都有,其中为自然对数的底数,则( )
正确答案
解析
构造函数R,的导函数.因为,,所以,在R上是减函数,所以,所以.故选A.
考查方向
解题思路
1.先构造函数R,后用导数判断其单调性;2.利用函数的单调性比较的大小关系。
易错点
1.不会利用题中给出的导数的等式构造函数;2.不知道选项中给出的两个数什么关系。
知识点
11.函数的定义域为________.
正确答案
解析
由题意可得,整理得,所以函数的定义域为.
考查方向
解题思路
1.根据函数有意义,得到不等式组;2.解题中给出的不等式组即可。
易错点
1.解不等式时注意不到真数大于0;2.对于集合间取交集并集不清楚。
知识点
15.抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点.若在点处的切线平行于的一条渐近线,则________.
正确答案
.
解析
由题意可知,双曲线的右焦点为,渐近线方程为.抛物线的焦点为 .设点的坐标为,则,所以,所以.由得,所以在点处的切线的斜率为,所以,代入可得.
考查方向
解题思路
1.先根据题中给出的方程求出题中需要的基本量;2.设出点M的坐标后利用斜率相等求出,后利用在点处的切线平行于的一条渐近线再得到一个方程,联立解出答案即可。
易错点
1.不会利用导数的几何意义表示切线的斜率;2.找不到题中给出的条件。
知识点
14.某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料.已知生产吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产吨甲、乙产品可获利润分别为万元、万元,则该企业每天可获得最大利润为________万元.
正确答案
.
解析
设每天生产甲、乙产品分别为吨、吨,每天所获利润为万元,则满足约束条件,目标函数.作出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当直线经过点时,取得最大值为.所以该企业每天可获得最大利润为万元.
考查方向
解题思路
1.设出变量后列出变量满足的约束条件和目标函数;2.做出可行域,然后求目标函数的最值即可。
易错点
1.不会根据题意设变量表示题中的约束条件;2.不会利用线性规划求目标函数的最值。
知识点
12.若直线过圆的圆心,则的最大值为________.
正确答案
.
解析
圆可化为,其圆心为,代入直线方程得.因为,所以,当且仅当,即等号成立.所以的最大值为.
考查方向
解题思路
1.先将圆的方程化为标准方程,导出圆心;2.将圆心坐标带入直线方程得到等式,后利用基本不等式求解即可。
易错点
不会将与题中要求的建立联系;
知识点
13.设△的内角的对边分别为,若,则________.
正确答案
.
解析
由得,,由正弦定理得,,因为,所以.由余弦定理得,因为,所以.
考查方向
解题思路
1.先根据正弦定理将角间的关系转化为边;2.利用余弦定理求出c边即可。
易错点
不会将题中的条件转化为边;
知识点
某市为庆祝北京夺得年冬奥会举办权,围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动.组织方从参加活动的群众中随机抽取名群众,按他们的年龄分组:第组,第组,第组,第组,第组,得到的频率分布直方图如图所示
16.若电视台记者要从抽取的群众中选人进行采访,估计被采访人恰好在第组或第组的概率;
17.已知第组群众中男性有名,组织方要从第组中随机抽取名群众组成志愿者服务队,求至少有名女性群众的概率.
正确答案
(Ⅰ).
解析
(Ⅰ)设第组的频率为,则由题意可知,.
被采访人恰好在第组或第组的频率为.
∴估计被采访人恰好在第组或第组的概率为
考查方向
解题思路
根据题中给出的频率分布直方图求出第(1)问的答案;
易错点
列基本事件的个数时多数或少数。
正确答案
(Ⅱ).
解析
(Ⅱ)第组的人数为.
∴第组中共有名群众,其中女性群众共名.
记第组中的名男性群众分别为,名女性群众分别为,
从第组中随机抽取名群众组成志愿者服务队包含共个基本事件.
至少有一名女性群众包含
共个基本事件.
∴从第组中随机抽取名群众组成志愿者服务队,至少有名女性群众的概率为.
考查方向
解题思路
求出各组中的群众人数,后数出所有的基本事件的个数和事件 至少有一名女性群众所包含的基本事件的个数相除即可。
易错点
列基本事件的个数时多数或少数。
已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为.
18.求的值;
19.将函数的图象向左平移个单位,再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象,若函数在区间上存在零点,求实数的取值范围.
正确答案
(Ⅰ).
解析
(Ⅰ)原函数可化为
.
∵函数的相邻两条对称轴之间的距离为,
∴的最小正周期为.
∴,∴.
∴的值为.
考查方向
解题思路
.先根据三角恒等变换将函数化简为后利用周期求出;
易错点
化简函数出错;
正确答案
(Ⅱ).
解析
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,将函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象,再将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.…………9分
∴.
∵,∴.
∵函数在区间上存在零点,∴.
∴实数的取值范围为.
考查方向
解题思路
根据图像变换求出函数,后转化为两个函数图像的交点即可得到k的取值范围。
易错点
化简函数出错;
已知函数.
24.当时,求的极值;
25.当时,讨论的单调性;
26.若对于任意的都有,求实数的取值范围.
正确答案
(Ⅰ)当时,取得极小值为,无极大值.
解析
(Ⅰ)当时,,定义域为,
的导函数.
当时,,在上是减函数;
当时,,在上是增函数.
∴当时,取得极小值为,无极大值.
考查方向
解题思路
直接求导,判断导数的正负后即可得到极值;
易错点
无
正确答案
(Ⅱ)当时,在上是减函数,在上是增函数;
当时,在上是减函数;
当时,在上是减函数,在上是增函数.
解析
(Ⅱ)当时,的定义域为,的导函数为.
由得,,.
(1)当时,在上是减函数,在上是增函数,在上是减函数;
(2)当时,在上是减函数;
(3)当时,在上是减函数,在上是增函数,
在上是减函数.
综上所述,
当时,在上是减函数,在上是增函数;
当时,在上是减函数;
当时,在上是减函数,在上是增函数.
考查方向
解题思路
求导后分类讨论导数的正负后确定函数的单调区间;
易错点
在求函数的单调性时,不会确定分类的标准;
正确答案
(Ⅲ).
解析
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,在上是减函数.
∴.
∵对于任意的都有,
∴对任意恒成立,
∴对任意恒成立.
当时,,∴.
∴实数的取值范围为.
考查方向
解题思路
先根据第(2)问放缩后构造不等式后分类参数即可求解。
易错点
不会放缩
如图,在三棱柱中,,点分别是的中点,,.
20.求证:平面;
21.求证:平面⊥平面.
正确答案
(Ⅰ)略.
解析
(Ⅰ)连接,交于点,连接.
在三棱柱中,
四边形是平行四边形,为的中点.
又∵是的中点,∴.
又∵平面,平面,
∴平面.
考查方向
解题思路
先根据题中给出的条件证明后利用线面平行的判定定理即可证明;
易错点
不会从图中找与直线平行的直线;
正确答案
(Ⅱ)略.
解析
(Ⅱ)∵,,∴△为正三角形,∴.
∵,,∴△为正三角形.
∵为的中点,∴,.
∵为的中点,为的中点,,∴.
∵,∴,∴
∵平面,平面,,
∴平面.
∵平面,
∴平面⊥平面.
考查方向
解题思路
先证明平面,后利用面面垂直的判定定理证明即可。
易错点
找不到哪条线垂直于那个平面导致根本没有思路。
已知等比数列的前项和为,,且成等差数列.
22.求数列的通项公式;
23.设数列满足,求满足方程的正整数的值.
正确答案
(Ⅰ),N.
解析
(Ⅰ)设等比数列的公比为.
∵ 成等差数列,∴.
∴,解得或(舍去)
∴=.
∴数列的通项公式为,N.
考查方向
解题思路
先根据题中给出的条件成等差数列求出公比q,后即可得到通项公式;
易错点
对于题中给出的条件成等差数列不会转化;
正确答案
(Ⅱ).
解析
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,∴.
∵数列满足,∴. …………7分
∴.
∴.
由得,.
∴满足方程的正整数的值为.
考查方向
解题思路
1.先根据题中给出的条件成等差数列求出公比q,后即可得到通项公式;2.先根据第(1)问求出,后利用列项相消法求和后即可得到答案。
易错点
1.对于题中给出的条件成等差数列不会转化;2.利用列项相消法求和求不对。
已知椭圆的离心率为,它的四个顶点构成的四边形的面积为.
27.求椭圆的方程;
28.设椭圆的右焦点为,过作两条互相垂直的直线,直线与椭圆交于两点,直线与直线交于点.
(i)求证:线段的中点在直线上;
(ii)求的取值范围.
正确答案
(Ⅰ).
解析
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,则由题意可知.
∵椭圆四个顶点构成的四边形的面积为,∴.
由得.
∴椭圆的方程为.
考查方向
解题思路
直接根据椭圆的基本量直接带入求解即可;
易错点
在运算时算数出错;
正确答案
(Ⅱ)(i)略;(ii).
解析
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知,椭圆的方程为,它的右焦点为.
(1)当直线的斜率不存在时,直线的方程为,直线的方程为,此时线段的中点为,点的坐标为,直线的方程为,线段的中点在直线上.
(2)当直线的斜率存在时,若直线的斜率为,则直线的方程为,与不相交,所以直线的斜率不为.设直线的方程为,则直线的方程为.
设两点的坐标分别为,线段的中点为.
由得.
判别式,
.
则,.
由得点的坐标为,∴直线的斜率为,
∴直线的方程为.∴,
∴线段的中点在直线上.
(ii)(1)当直线的斜率不存在时,由得,.
∴,此时.
(2)由(i)知直线的斜率不为,所以当直线的斜率存在且不为时,
,.
.
令,
则∵,∴,,∴.
此时.∴的取值范围为.
考查方向
易错点
不会构造函数,导致无法入手。
【解题思路
第(1)小问先求出线段的中点为,然后求直线ON的方程带入即可。
第(2)问先求,构造函数后求函数的值域即可。