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4.若,则
()
正确答案
解析
.故答案D
考查方向
解题思路
先利用正弦的二倍角公式变形,然后除以1,将1用同角三角函数关系式代换,利用齐次式化简,可求出所求.
易错点
(1)1的变换;(2)运算出错.
8.已知四棱锥,它的底面是边长为2的正方形,其俯视图如图所示,侧视图为直角三角形,则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为()
正确答案
解析
由题意,画出该四棱锥的直观图如图所示,
PO⊥平面ABCD,则PO⊥AB,PO⊥CD,
又AB⊥BC,CD⊥BC,∴AB⊥平面PBC,CD⊥平面PBC,侧面ABP和PCD为直角三角形,因为△PBC为直角三角形,∴侧面存在三个直角三角形,故答案C.
考查方向
解题思路
由俯视图判断出平面ABCD,由线面垂直的定义,判定定理判断出侧面中直角三角形的个数.
易错点
AB⊥平面PBC,CD⊥平面PBC的判断.
9.执行如图所示的程序框图,则输出结果的值为()
正确答案
解析
由程序框图知:算法的功能是求,
跳出循环的n值为
,故答案选C.
考查方向
解题思路
算法的功能是求的值,根据条件确定跳出循环的
值,利用余弦函数的周期性求输出S的值.
易错点
(1)算法的功能搞错;(2)周期运算错.
1.已知全集,集合
,
,则
正确答案
解析
集合
,
,故选A.
考查方向
解题思路
解一元二不等式求得M,求函数的值域得到N,根据补集定义求得,再根据两个集合的交集的定义求得
.
易错点
(1)一元二次不等式的求解出错;(2)的运算出错.
2.若复数满足
,则
的虚部为()
正确答案
解析
由得
即
,故z的虚部为
,故选C.
考查方向
解题思路
根据复数的有关概念进行运算即可.
易错点
运算过程
3.设实数满足不等式组
,若
,则
的最大值为()
正确答案
解析
作出不等式对应的平面区域,由z=x+2y,得,平移直线
,由平移可知当直线
经过点A时,直线
的截距最大,由
得
即
此时z的最大值为
,故答案C.
考查方向
解题思路
作出不等式对应的平面区域,利用线性规划知识,通过平移即可求出z的最大值.
易错点
平面区域的画法.
5.若,则“
”是“直线
与
平行”的()
正确答案
解析
由得
,若
与
平行,则直线斜率相等或斜率不存在,解得
或
,则“
”是直线
与
平行的充分不必要条件.故选A.
考查方向
解题思路
根据直线平行的等价条件求出,利用充分和必要条件的定义进行判断即可.
易错点
判断直线平行忽略斜率不存在.
6.已知双曲线的左、右焦点分别为
,以
为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为
,则此双曲线的方程为()
正确答案
解析
点(3,4)在以
为直径的圆上,
可得
…①又点
在双曲线的渐近线
上,
…②,由①②联解得
可得双曲线的方程为
,故答案C.
考查方向
解题思路
根据题意列出关于的方程组,解出
即可求出双曲线方程.
易错点
运算过程出错.
7.设是奇函数,则使
的
的取值范围是()
正确答案
解析
依题意得即
,又
解得:
,故答案A.
考查方向
解题思路
首先由奇函数的定义得到的解析式的关系式(解析按f(0)=0)求出
,然后根据对数的单调性解之.
易错点
如果用求字母
容易出错.
10.甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是()
正确答案
解析
由题意知本题需要分组解决,∵对于7个台阶上每一个只站一人有A73种;
若有一个台阶有2人另一个是1人共有C31A72种,∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A73+C31A72=336种.
考查方向
解题思路
由题意知本题需要分组解决,第一类对于7个台阶上每一个只站一人,
第二类若有一个台阶有2人另一个是1人,根据分类计数原理知得到共有不同的站法种数.
易错点
分类重复或遗漏.
12.设的三边长分别为
,
,若
,
,
,
,
,则
的最大值为()
正确答案
解析
为常数列,
,又
当时,
当
时,
…
即
为常数,
当
时,
即
,则由基本不等式可得
,由余弦定理可得
即即
即解得
,即
的最大值为
,故答案B.
考查方向
解题思路
根据数列的递推关系得到为常数,然后利用余弦定理及基本不等式即可得到结论.
易错点
(1)推理出错;(2)运算出错.
11.在中,
,
是斜边
上的两个动点,且
,则
的取值范围为()
正确答案
解析
以C点为坐标原点,CA为轴建立平面坐标系,则
所在直线的方程为:
设
且
不妨设
,
,
时有最小值4,当
或
时有最大值6,
的取值范围为
.故答案D.
考查方向
解题思路
通过建立直角坐标系求出直线AB所在的直线方程,设出M,N的坐标,将
求出范围.
易错点
(1)坐标系的建立;(2)的取值范围.
13.抛物线的焦点坐标是.
正确答案
解析
抛物线的标准方程为
所以抛物线的焦点坐标为:
.
考查方向
解题思路
利用抛物线方程直接求解抛物线的焦点坐标即可.
易错点
对于p容易求错.
14.已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开图是半圆,则该圆锥的体积为.
正确答案
解析
一个圆锥的母线长为,它的侧面展开图为半圆,
圆的弧长为:,即圆锥的底面周长为:
,设圆锥的底面半径是
,则得到
,
解得:,这个圆锥的底面半径是
,∴圆锥的高为
,所以圆锥的体积为:
.
考查方向
解题思路
根据已知条件求出圆锥的半径和高,然后根据圆锥的体积公式求出体积.
易错点
运算过程出现错误.
15.设中,角
所对的边分别为
,若
,
,
,则
的面积
.
正确答案
解析
由正弦定理
得:
,
.
考查方向
解题思路
由A与B的度数,以及,利用正弦定理求出
的值,以及C的度数,再利用三角形面积即可求出S.
易错点
运算的值.
16.已知函数,函数
恰有三个不同的零点,则实数
的取值范围是.
正确答案
解析
∵函数恰有三个不同的零点,
在
上有一个零点,在
上有两个零点;
解得
.故答案
.
考查方向
易错点
对的限制遗漏.
在各项均为正数的等比数列中,
,且
成等差数列.
17.求等比数列的通项公式;
18.若数列满足
,求数列
的前
项和
的最大值.
正确答案
解析
设数列的公比为
,
.因为
成等差数列,所以
,则
,所以
,解得
或
(舍去).
又,所以数列
的通项公式
.
考查方向
解题思路
建立关于的方程组,求出
,根据等比数列的通项公式求出
.
易错点
解方程组出错
正确答案
25
解析
,则
,
,故数列
是首项为2,公差为-2的等差数列,所以
,
所以当时,
的最大值为25.
考查方向
解题思路
首先算出,然后根据等差数列前
项和求出
,根据二次函数求出
的最大值.
易错点
忽略用二次函数求最值.
设,点
在
轴上,点
在
轴上,且
,
.
23.当点在
轴上运动时,求点
的轨迹
的方程;
24.设点是轨迹
上的动点,点
在
轴上,圆
内切于
,求
的面积的最小值.
正确答案
解析
设,由
,得点
为线段
的中点,
∴,
,∴
,
.
由,得
.所以动点
的轨迹
的方程为
.
考查方向
解题思路
设,由
,得点
为线段
的中点,
∴,
,根据
求出点M的轨迹方程.
易错点
A,B的坐标表示.
正确答案
8
解析
设,
,
,且
,
∴直线的方程为
,整理得:
.
∵圆内切于
,可得
与圆相切,∴
,
注意到,化简得:
,
同理可得:,
因此,是方程
的两个不相等的实数根.
根据根与系数的关系,化简整理可得,
由此可得的面积为
,
∴当时,即当
时,
的面积的最小值为8.
考查方向
解题思路
设P(x0,y0),R(0,b),N(0,c),且b>c,可得PR直线的方程为:(y0-b)x-x0y+x0b=0,由直线PR、PN与题中的圆相切,运用距离公式算出(x0-2)b2+2y0b-x0=0、(x0-2)c2+2y0c-x0=0,可得b、c是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两个根,运用根与系数的关系算出|b-c|关于x的式子,再代入计算△PRN的面积可得面积S关于x的表达式,最后利用基本不等式即可求出△PRN的面积的最小值.
易错点
转化容易出错.
一家医药研究所,从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物,经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为
.现已进入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物,如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,则称该组为“甲类组”.
19.求一个试用组为“甲类组”的概率;
20.观察3个试用组,用表示这3个试用组中“甲类组”的个数,求
的分布列和数学期望.
正确答案
解析
设表示事件“一个试用组中,服用甲种抗病毒药物有效的有
人”,
;
表示事件“一个试用组中,服用乙种抗病毒药物有效的有
人”,
.
依题意有,
,
,
,所求的概率为
.
考查方向
解题思路
设表示事件“一个试用组中,服用甲种抗病毒药物有效的有
人”,
;
表示事件“一个试用组中,服用乙种抗病毒药物有效的有
人”,
.一个试用组为“甲类组”的概率
,由此能求出结果.
易错点
运算出错.
正确答案
分布列见解析,
解析
的可能值为0,1,2,3,
,
,
,
其分布列为
∵,∴数学期望
.
考查方向
解题思路
的可能值为0,1,2,3,且
,由此能求出
的分布列和数学期望.
易错点
数据处理出错.
在四棱锥中,
,
,
,
,
分别为
的中点,
.
21.求证:平面平面
;
22.设,若平面
与平面
所成锐二面角
,求
的取值范围.
正确答案
见解析
解析
∵,
,
,
分别为
的中点,∴
为矩形,
.
∵,∴
,又
,∴
.
∵,∴
面
,
面
,∴平面
平面
.
考查方向
解题思路
通过证明平面
,利用平面与平面垂直的判定定理证明平面
平面BEF.
易错点
证明ABFD为矩形.
正确答案
解析
∵,∴
,又
,
,∴
,
又,所以
面
,
.
建系为
轴,
为
轴,
为
轴,
,
,
,
,
,
平面法向量
,平面
法向量
,
,可得
.
考查方向
解题思路
建立空间直角坐标系,根据坐标求出二面角的余弦用表示,然后令
,通过解不等式求出
的取值范围.
易错点
(1)二面角余弦的值;(2)求的取值范围.
设函数,
,
.
25.若,求
的递增区间;
26.若在
上单调递增,求
的取值范围;
27.记,求证:
.
正确答案
解析
当,
,
,
令得
,∴
的递增区间为
.
考查方向
解题思路
求令
得函数的单调递增区间.
易错点
由解出
的取值范围.
正确答案
解析
∵在
上恒成立,∴
在
上恒成立.∴
在
上恒成立.∵
,∴
,∴
.
考查方向
解题思路
由分离参数
,转化为求函数的最值.
易错点
求最值容易出错.
正确答案
见解析
解析
∵
.
设,则
,令
,得
,则
在
单调递减;令
,得
,则
在
单调递增,∴
,
∴.
考查方向
解题思路
∵
,转化为求
的最小值.
易错点
放缩出错.
选修4-4:坐标系与参数方程
直线的参数方程为
,曲线
的极坐标方程
.
30.写出直线的普通方程与曲线
直角坐标方程;
31.设直线与曲线
相交于两点
,若点
为
,求
.
正确答案
;C:
解析
由直线的参数方程为
,消去
可得
,由曲线
的极坐标方程
可得
,即
.
考查方向
解题思路
由直线的参数方程为
,消去
可得
,由曲线
的极坐标方程
及
可得.
易错点
运算出错.
正确答案
解析
将直线的参数方程代入曲线
,得
.
设两点在直线
中对应的参数分别为
,
则,
.
∴.
∴的值为
.
考查方向
解题思路
将直线的参数方程代入曲线
,得
.
设两点在直线
中对应的参数分别为
,利用根与系数的关系、参数的意义即可得出.
易错点
将直线的参数方程代入曲线
运算出错.
选修4-1:几何证明选讲
如图,直线为圆的切线,切点为
,点
在圆上,
的角平分线
交圆于点
,
垂直
交圆于点
.
28.证明:;
29.设圆的半径为1,,延长
交
于点
,求
外接圆的半径.
正确答案
见解析
解析
如图,连接,交
于点
.
由弦切角定理得,.而
,故
,
.
又因为,所以
为直径,则
,由勾股定理可得
.
考查方向
解题思路
连接DE,交BC于点G.通过弦切角定理,得∠ABE=∠BCE,然后利用勾股定理可得DB=DC.
易错点
证明由,故
,
.
正确答案
解析
由(1)知,,
,故
是
的中垂线,所以
.
设的中点为
,连接
,则
.从而
,所以
,故
外接圆的半径等于
.
考查方向
解题思路
由28可得DG是BC的中垂线,即可求得BG的长度.设DE的中点为O,连结BO求得∠BOG=60°,通过导角,可得CF⊥BF,即可求得Rt△BCF外接圆的半径.
易错点
证明CF⊥BF.
选修4-5:不等式选讲
设实数满足
.
32.若,求
的取值范围;
33.若,且
,求
的最大值.
正确答案
(-1,1)
解析
由得
,即
.
所以可化为
,即
,解得
.
所以的取值范围
.
考查方向
解题思路
由条件可得,利用绝对值不等式的解法求出
的取值范围.
易错点
由得
,即
忽略或想不到.
正确答案
27
解析
因为,所以
,
当且仅当时,等号成立,故
的最大值为27.
考查方向
解题思路
因为,
所以
,利用基本不等式求得它的最大值.
易错点
和
的利用.