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1.设全集,集合
,集合
,则
正确答案
解析
因为全集,集合
,集合
,
,所以
.
考查方向
解题思路
本题先算,再算
.
易错点
补集的运算.
2.设,其中
是实数,则
正确答案
解析
因为,所以
,即
,得
,所以
考查方向
解题思路
本题先求,得
,再求
.
易错点
复数求模
7.已知函数
,则函数
的图象是
正确答案
解析
当时,
,当
时,
,所以选D
考查方向
解题思路
本题先求当时,
,当
时,
,
由表达式确定函数的图像.
易错点
分类讨论的思想
9.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为
正确答案
解析
由程序框图知:算法的功能是求和,可得,
不满足条件,执行循环体,
,
不满足条件,执行循环体,
不满足条件,执行循环体,
不满足条件,执行循环体,
满足条件,结束循环,输出
的值为9
考查方向
解题思路
本题先由程序框图知:算法的功能是求和,根据的条件,求出最后结果.
易错点
结束循环的条件的确定.
12.若函数在
上单调递增,则实数
的取值范围是
正确答案
解析
因为函数在
上单调递增,所以
在
上恒成立,因为
在
上恒成立,所以
在
上恒成立,所以
,设
所以
因为
,所以
所以
所以
在
上恒成立,即
在
上单调递减,所以
,即
考查方向
解题思路
本题先求导数,分离参数
,构造新的函数
利用导数求出函数的最值即可.
易错点
构造新函数容易出错.
3.已知双曲线(
)的渐近线方程为
, 则双曲线
的离心率为
正确答案
解析
因为双曲线(
)的渐近线方程渐近线方程为
, 所以
,则设
,又因为
则
,故
,即
.
考查方向
解题思路
本题先根据双曲线的标准方程的渐近线方程求得,进而求得
,得
易错点
双曲线中的关系.
4.袋中有大小,形状相同的红球,黑球各一个,现有放回地随机摸取3次,每次摸出一个球. 若摸到红球得2分,摸到黑球得1分,则3次摸球所得总分为5分的概率是
正确答案
解析
记摸到黑球为1,摸到红球为2,所以3次摸球的结果共有如下8种可能:,其中得分为5的情况有3种:
,所以3次摸球得分为5的概率
.
考查方向
解题思路
先列举,再找满足条件的
,利用公式求
.
易错点
列举满足条件情况容易漏.
5.已知角的顶点与原点重合, 始边与
轴正半轴重合, 终边过点
, 则
正确答案
解析
因为角的终边过点
,有任意角三角函数的定义得
,所以
,
,所以
,
.
考查方向
解题思路
本题先求,再求
,
,由
,得
.
易错点
二倍角的正切公式
6.已知菱形的边长为
,
, 则
正确答案
解析
因为菱形ABCD的边长为2,,所以
,
,所以
.
考查方向
解题思路
本题先求,
再求
,得
.
易错点
向量的数量积公式.
8.曲线上存在点
满足约束条件
,则实数
的最大值为
正确答案
解析
考查方向
解题思路
本题先画出图像,找出满足条件的部分,代入点求结果.
易错点
有图像找满足条件的部分.
10.若将函数的图象向右平移
个单
位,所得图象关于
轴对称,则
的最小正值是( ).
正确答案
解析
函数的图象向右平移
个单
位,所得图象
图象关于
轴对称,可得
,即
,当
时,
的最小正值是
.
考查方向
解题思路
本题利用两角和的正弦函数对解析式进行化简,由图象关于
轴对称,求出
,最后确定
的最小正值是
.
易错点
函数的图像变换
11.如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某三棱锥[来源:学.科.网]的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积是
正确答案
解析
由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,其外接球相当于以俯视图为底面的三棱柱的外接球,底面三角形的外接球半径,球心到底面的距离
,故球的半径
满足,
,故球的表面积
.
考查方向
解题思路
本题先由一个以俯视图为底面的三棱锥,其外接球相当于以俯视图为底面的三棱柱的外接球,再求底面三角形的外接球半径,由球的半径
满足,
,得球的表面积
.
易错点
由三视图还原成三棱柱,再到三棱柱的外接球,
15.设分别是圆
和椭圆
上的点,则
两点间的最大
距离是 .
正确答案
解析
圆心到椭圆上的点
的距离
当且仅当
时取等号.
考查方向
解题思路
本题先求出,再
.
易错点
椭圆的参数方程设法.
13.等比数列的前
项和为
,若
,则公比
________.
正确答案
-1
解析
因为是等比数列,所以当
时,
,解得
不满足题意,当
时,
,
,因为
,所以
,因为
,所以
,解得
考查方向
解题思路
本题代入公式求出.
易错点
等比数列的前项求和公式使用的条件.
14.已知函数,若
,则
.
正确答案
0
解析
由题意知,因为
,所以
0
考查方向
解题思路
本题由,所以
0.
易错点
对数的运算
16.已知锐角△的内角
,
,
的对边分别为
,
,
,若
,
,则△
的周长的取值范围是 .
正确答案
解析
已知,由余弦定理得:
,整理得
,所以
因为
所以
,由正弦定理得:
,△
的周长:
,因为所以
因此
,故△
的周长的取值范围是
考查方向
解题思路
本题先求出,再求出
得
.
易错点
边化角公式的使用,
已知点是抛物线
上相异两点,且满足
.
23.若直线经过点
,求
的值;
24.是否存在直线,使得线段
的中垂线交
轴于点
, 且
? 若存
在,求直线的方程;若不存在,说明理由.
正确答案
解析
法1:①若直线的斜率不存在,则直线
方程为
.
联立方程组 解得
或
即,
. ………………………………………………………………1分
所以. ………………………………………………………………2分
②若直线的斜率存在,设直线
的方程为
,
联立方程组 消去
得
,
故,方程无解. …………………………………………3分
所以.
法2:因为直线过抛物线
的焦点
,根据抛物线
的定义得,
,
, …………………………………………………………2分
所以. …………………………………………3分
考查方向
解题思路
本问按直线有无斜率分类讨论,联立方程组求解 .
易错点
抛物线的性质.
正确答案
直线不存在
解析
假设存在直线符合题意,
设直线
的方程为
,
联立方程组 消去
得
,(*)
故,……………………………………………………………4分
所以.
所以. …………………………………………………………5分
所以.
…………………………………………………………6分
因为.
所以的中点为
.
所以的中垂线方程为
=
,即
. …………………7分
令, 得
.
所以点的坐标为
. ……………………………………………………………8分
所以点到直线
的距离
.
因为,………………………………………………………9分
所以 .
解得. ………………………………………………………………10分
当时,
;当
时,
.
把和
分别代入(*)式检验, 得
,不符合题意. …………………11分
所以直线不存在.
……………………………………………………………12分
考查方向
解题思路
假设存在直线符合题意,
设直线
的方程为
,再
求解,最后讨论检验是否成立.得出直线
不存在.
易错点
中垂线的应用.
在三棱锥中, △
是等边三角形, ∠
∠
.
21.求证: ⊥
;
22.若,
,求三棱锥
的体积.
正确答案
⊥
解析
因为是等边三角形, ∠
∠
,
所以≌
, 可得
. …………1分
如图, 取中点
, 连结
,
,[来源:Zxxk.Com]
则,
, ……………………3
分
因为
所以平面
, ………………………………………………………………4分
因为平面
,
所以. ……………………………………………………………5分
考查方向
解题思路
先证平面
, 再由线面垂直的性质证明
.
易错点
直线与平面垂直的判定
正确答案
解析
因为 ≌
,
所以,
. ………………………………………………………6分
由已知
,在Rt
中,
,
………………………………………………8分
因为,
,
,
所以. ……………………………………………………………9分
因为,
,
所以的面积
. ……………………10分
因为三棱锥的体积等于三棱锥
的体积,
所以三棱锥的体积
. ………………12分
考查方向
解题思路
求出底面面积,高
转化求出
.
易错点
棱锥求体积公式应用注意等积原理.
等差数列中,
,
.
17.求数列的通项公式;
18.记表示不超过
的最大整数,如
,
. 令
,
求数列的前2000项和.
正确答案
.
解析
由,
,得
……………………2分
解得,
, …………………………………………4分
所以. ………………………………………………………………5分
考查方向
解题思路
本题先由,解得
,
,所以
易错点
等差数列的通项公式
正确答案
5445
解析
, …………………………………………6分
当时,
; …………………………………………7分
当时,
; …………………………………………8分
当时,
; …………………………………………9分
当时,
. ………………………………………10分
所以数列的前2000项和为
. ……12分
考查方向
解题思路
由,数列
的前2000项和为
.
易错点
等差数列的性质
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用前卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级;在75微克/立方米以上的空气质量为超标.为了解甲, 乙两座城市年的空气质量情况,从全年
每天的PM2.5监测数据中随机抽取20天的数据作为样本,监测值如以下茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).
19.从甲, 乙两城市共采集的40个数据样本中,从PM2.5日均值在范围内随机取2天数据,求取到2天的PM2.5均超标的概率;
20.以这20天的PM2.5日均值数据来估计一年的空气质量情况,则甲, 乙两城市一年(按365天计算)中分别约有多少天空气质量达到一级或二级.
正确答案
解析
从甲, 乙两城市共采集的40个数据样本中,PM2.5日均值在内的共有6天,而PM2.5日均值为超标(大于75微克/立方米)的有3天.记PM2.5日均值超标的3天为
,不超标的3天为
,则从这6天中随机取2天,共有如下15种结果(不记顺序):
,
,
……………………2分[来源:Zxxk.Com]
其中,抽出2天的PM2.5均超标的情况有3种:.…4分
由古典概型知,抽到2天的PM2.5均超标的概率. ……………………6分
考查方向
解题思路
本题先列出,
,
其中,抽出2天的PM2.5均超标的情况有3种:
.
.
易错点
等可能事件的列举.
正确答案
【答案】,
解析
各抽取的20天样本数据中,甲城市有15天达到一级或二级;……………………7分
乙城市有16天达到一级或二级. …………………………………………8分
由样本估计总体知,甲, 乙两城市一年(按365天计算)中空气质量达到一级或二级的天数分别约为:
,
.……………………12分
考查方向
解题思路
本题先算出甲城市有15天达到一级或二级, 乙城市有16天达到一级或二级.再求出
,
易错点
概率的应用.
选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点,
轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线
的参数方程为
为参数
, 曲线
的极坐标方程为
.
27.求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
28.设直线与曲线C相交于
两点, 当
变化时, 求
的最小值.
正确答案
解析
由消去
得
, ……………………1分
所以直线的普通方程为
. ……………………2分
由, 得
, ……………………3分
把代入上式, 得
,
所以曲线C的直角坐标方程为. …………………………………………5分
考查方向
解题思路
先化为,得到
,化为
.
易错点
参数方程化成普通方程.
正确答案
4
解析
将直线l的参数方程代入, 得
, ………………6分
设A、B两点对应的参数分别为,
则,
, …………………………………………7分
所以 . ……9分
当时,
的最小值为4. …………………………………………10分
考查方向
解题思路
将直线l的参数方程代入, 得
,利用韦达定理,即可求
的最小值为4.
易错点
简单曲线的极坐标方程.
设函数. 若曲线
在点
处的切线方程为
(
为自然对数的底数).
25.求函数的单调区间;
26.若,试比较
与
的大小,并予以证明.
正确答案
函数的单调递减区间是
, 单调递增区间是
解析
函数的定义域为
.
. ………………………………………………………………1分
依题意得,即
……………………3分
所以. ………………………………………………………………4分
所以,
.
当时,
; 当
时,
.
所以函数的单调递减区间是
, 单调递增区间是
.………………6分
考查方向
解题思路
求出函数,解出导数
,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间.
易错点
导数的性质与应用
正确答案
当时,
(当且仅当
时取等号)
解析
当时,
.
等价于
,
也等价于. ………………………………………7分
不妨设,
设(
),
则. …………………………………………………………8分
当时,
,所以函数
在
上为增函数,
即, ……………………9分
故当时,
(当且仅当
时取等
号).
令,则
, …………………………………………10分
即(当且仅当
时取等号),……………11分
综上所述,当时,
(当且仅当
时取等号).
………………………………………………………………12分[来源:学。科。
考查方向
解题思路
求出,得到
即可.
易错点
不等式的成立条件.
选修4-5:不等式选讲
已知,不等式
的解集是
.
29.求的值;
30.若存在实数解,求实数
的取值范围
.
正确答案
解析
由|, 得
,即
. ……………………1分
当时,
. …………………………………………………………2分
因为不等式的解集是
所以 解得
…………………………………………………………3分
当时,
. …………………………………………………………4分
因为不等式的解集是
所以 无解. …………………………………………………………5分
所以
考查方向
解题思路
由|, 得
,即
,分类讨论
,得
易错点
绝对值不等式成立的条件.
正确答案
解析
因为………………7分
所以要使存在实数解,只需
. ………………8分
解得或
. ………………………………………………………9分
所以实数的取值范围是
. …………………………10分
考查方向
解题思路
先求即
,求出
.
易错点
绝对值不等式成立的条件.