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在等比数列中,公比
,若
与
的等差中项为5,则
( )
正确答案
解析
由题意得 ,选C....
在复平面内,复数对应的点位于( )
正确答案
解析
,对应的点位于第四象限,选D.
已知函数,则
的值为( )
正确答案
解析
,选C.
完成下列两项调查:①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户,调查社会购买能力的某项指标;②从某公司的15名技术员工中选出3名调查工作负担情况,宜采用的抽样方法依次是( )
正确答案
解析
试题分析:根据题意,由于①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户,调查社会购买能力的某项指标;个体差异比较大,故选择分层抽样,对于从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况,由于总体较少,则可知抽样方法为简单随机抽样,故答案为B
,
,则
( )
正确答案
解析
,选A.
已知向量,
,若向量
的夹角为
,则实数
( )
正确答案
一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积为,那么这个正三棱柱的底面边长是( )
正确答案
解析
由题意得 ,所以
,选C.
设变量满足约束条件
,则目标函数
的最大值为( )
正确答案
解析
可行域为一个三角形ABC及其内部,其中 ,则直线过点C时取最大值11,选B.
某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
正确答案
解析
几何体为一个四棱锥去掉半个圆锥,四棱锥的高为2,底面为正方形,边长为2;圆锥的高为2,底面半径为1,所以体积为 ,选B.
如图是计算的程序框图,则图中的①,②处分分别为( )
正确答案
解析
按A则为计算 ; 按B则为计算
; 按C则为计算
; 按 D则为计算
;所以选D.
直线过抛物线的焦点,与该抛物线及其准线的交点依次为
,若
,
,则
( )
正确答案
解析
设 在准线的射影为
,则由
得
过作 垂线,垂足为
,则
因此 ,即
,选B....
若函数与函数
有两个公切线,则实数
的取值范围是( )
正确答案
解析
设公切线在若函数与函数
的切点为
则由 得
,化简得
有两个不同的正根, 令
,则
,当
时,
;当
时,
,因此
,从而
,选D.
已知,则
__________.
正确答案
解析
设数列中,
,
,
,
,则数列
的通项公式为
__________.
正确答案
解析
因为 ,所以数列
为以
为首项,2为公比的等比数列,即
圆被直线
所截得的两段弧弧长之比为1:2,则
__________.
正确答案
解析
,由题意得劣弧所对圆心角为
,所对弦长为
,所以圆心到直线距离
已知为定义在
上的奇函数,当
时,
,则当
时,
__________.
正确答案
解析
当时,
已知函数.
(1)求的最小正周期及单调递减区间;
(2)在中,
分别是角
的对边,若
,
,且
的面积为
,求
外接圆的半径.
正确答案
(1)最小正周期,单调递减区间为
.(2)
解析
(I)函数,...
故最小正周期;
令解得:
,
故函数的单调递减区间为.
(II)由,可得
,又
,所以
,
所以,从而
.由
,
由余弦定理有:,
∴,由正弦定理有:
.
某校高二年级进行了百科知识大赛,为了了解高二年级900名同学的比赛情况,现在甲、乙两个班级各随机抽取了10名同学的成绩,比赛成绩满分为100分,80分以上可获得二等奖,90分以上可以获得一等奖,已知抽取的两个班学生的成绩(单位:分)数据的茎叶图如图1所示:
(1)比较两组数据的分散程度(只需要给出结论),并求出甲组数据的频率分布直方图如图2中所示的值;
(2)现从两组数据中获奖的学生里分别随机抽取一人接受采访,求被抽中的甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率.
正确答案
(1)甲组数据更集中,乙组数据更分散,=0.05,
=0.02, =0.01.(2)
解析
试题分析:(1)根据数据集中程度确定分散程度,利用频率等于频数除以总数得对应区间概率,再除以组距得值;(2)甲班获奖4人,乙班获奖5人,所以总事件数为
,其中甲班学生成绩高于乙班学生成绩的事件数有9个(枚举法),最后根据古典概型概率求法求概率
(I)由茎叶图可知,甲组数据更集中,乙组数据更分散=0.05,
=0.02, =0.01.
(II)由茎叶图知:甲班获奖4人,乙班获奖5人,所以.
如图,为圆
的直径,点
在圆
上,
,矩形
所在平面和圆
所在的平面互相垂直,已知
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)设几何体、
的体积分别为
,求
的值.
正确答案
(1)见解析(2)4
解析
(I)由于直径所对圆周角为直角,故,由于
平面
,故
,所以
平面
,由此得到平面
平面
.(2)过作
,根据面面垂直的性质定理可知
平面
,由此可求得两个几何体的体积,进而求得体积比.
试题解析:
(Ⅰ)证明:如图,∵平面平面
,
,平面
平面
,
∴平面
.
∵平面
,∴
,
又∵为圆
的直径,∴
,∴
平面
.
∵平面
,∴平面
平面
.
【注】也可证明平面
.
(Ⅱ)几何体是四棱锥、
是三棱锥,...
过点作,交
于
.
∵平面平面
,∴
平面
.
则,
.
因此,.
已知点、
,动点
满足
,设动点
的轨迹为曲线
,将曲线
上所有点的纵坐标变为原来的一半,横坐标不变,得到曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)是曲线
上两点,且
,
为坐标原点,求
面积的最大值.
正确答案
(1)(2)
面积的最大值为1.
解析
(1)由直接法,即利用坐标表示条件,并化简可得
,再根据伸缩变换得曲线E的方程为
.(2)设直线
方程为:
,由点到直线距离公式可得三角形高
,由三角形面积公式可得
,利用直线方程与椭圆方程联立方程,结合韦达定理及弦长公式可得
,代入消元可得
一元二次函数,利用二次函数性质求最值.
(I)设,
由伸缩变换得:,即曲线E的方程为
.
(II)设,
,直线
方程为:
,
联立得
,故
,
由 ,得
,
故原点到直线
的距离
,∴
,
令,则
,又
,
当.
当斜率不存在时,不存在,综合上述可得
面积的最大值为1.
点睛:解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
已知函数,其中
.
(1)设是
的导函数,求函数
的极值;
(2)是否存在常数,使得
在
恒成立,且
在
有唯一解,若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
正确答案
(1)极大值 ,没有极小值(2)
解析
(1)求导数可得,再求导数
,即得函数
的极值(2)因为
在
单减,结合零点存在定理可得存在
,
,且
,又
在
有唯一解,所以
,解得
,从而
.
(I) ,
在
单增;在
单减,
极大值 ,没有极小值
(II)由(1)知: ,且
在
单减,且
时
则必然存在 ,使得
在
单增,
单减;
且,即
①...
此时:当 时,由题意知:只需要找实数
使得
将①式带入知:
得到 ,从而
.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,曲线的方程为
,点
.
(1)以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,
点的极坐标化为直角坐标;
(2)设为曲线
上一动点,以
为对角线的矩形
的一边垂直于轴,求矩形
周长的最小值,及此时
点的直角坐标.
正确答案
(1),R(2,2).(2)矩形的最小周长为4,点
.
解析
(1)由,
可化极坐标方程为直角坐标方程;(2)要求矩形
周长的最小值,必须把周长用一个参数表示出来,为此设
,则有
,且
,
,由正弦函数的性质可得最小值及
值.
(1)由于则曲线
的方程为
,转化成
点的极坐标转化成直角坐标为:
;
(2)设根据题意,得到
。则:
,所以
当,
,矩形的最小周长为4,点
.
教师点评
极坐标方程与直角坐标方程的互化,椭圆的参数方程,正弦函数的性质.
选修4-5:不等式选讲
设函数的最小值是
.
(1)求的值;
(2)若,是否存在正实数
满足
?并说明理由.
正确答案
(1)(2)不存在
解析
(1)根据绝对值定义将函数化为分段函数形式,结合图像可得,解得
的值;(2)先利用基本不等式求
最值:
,而
,即
,因此
,因此不存在.
(I)因为,所以
.
(II)
,
,矛盾.
所以不存在正实数满足条件.