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4.甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的个红球和
个白球,现从两盒中随机各取一个球,则至少有一个红球的概率为 ▲ .
正确答案
解析
试验发生的总事件数是3×3=9,
从两盒中随机各取一个球,则没有红球的种数只有1种,
故现从两盒中随机各取一个球,则至少有一个红球的概率为
故答案为.
考查方向
解题思路
先求出试验发生的总事件数是3×3=9,再求出从两盒中随机各取一个球,则没有红球的种数只有1种,根据对立事件的概率公式计算即可.
易错点
注意区分互斥事件和对立事件的区别,两者的联系在于,对立事件属于一种特殊的互斥事件。它们的区别可以通过定义看出来
5.已知一组数据的方差是
,则数据
的标准差为 ▲ .
正确答案
解析
∵一组数据的方差是
,
∴一组新数据的方差是
.
标准差=.
故答案为.
考查方向
解题思路
利用两组数据之间的关系,可求出标准差.
易错点
在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.
6.已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线与圆
相交于A,B两点,若|AB|=2,则该双曲线的离心率为 ▲ .
正确答案
3
解析
由题意知,双曲线过第一、三象限的渐近线方程为,取AB中点为M,如图所示,
由勾股定理,可知圆心C(3,0),到M的距离,
∴
双曲线的离心率,
故答案为3.
考查方向
解题思路
双曲线的渐近线方程为:,取AB中点为M,圆心C到M的距离
,
,双曲线的离心率
,即可求得双曲线的离心率.
易错点
无
7. 已知是等差数列,
是其前
项和.若
,则
的值是 ▲ .
正确答案
20
解析
∵是等差数列,
是其前n项和,
,
∴
解得,
∴.
故答案为20.
考查方向
解题思路
利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出的值.
易错点
等差、等比数列各自有一些重要公式和性质(略),这些公式和性质是解题的根本,用错了公式和性质,自然就失去了方向。解决这类问题的一个基本出发点就是考虑问题要全面,把各种可能性都考虑进去,认为正确的命题给予证明,认为不正确的命题举出反例予以说明。
8.已知函数的图象如图所示,则
的解析式为 ▲ .
正确答案
解析
由图可知,,解得
,
,即T=12,
则
,
∴
由
得,
,
∴.
考查方向
解题思路
由函数图象得到,解方程组得到A,b的值,再由图象得到周期,代入周期公式求得ω,再由
求得
的值.
易错点
解此类题前两步一般不会错。但在求时,多数学生由于点的位置取得不当,致使求得的
值不好取舍。
9.三棱锥中,
平面
,则该三棱锥外接球的表面积为 ▲ .
正确答案
解析
平面ABC,
,
∴平面PAC,PB是三棱锥P-ABC的外接球直径;
∵中,
,
,
∴,可得外接球半径
,
∴外接球的表面积.
故答案为.
考查方向
解题思路
根据题意,证出平面PAC,PB是三棱锥P-ABC的外接球直径.利用勾股定理结合题中数据算出
,得外接球半径,从而得到所求外接球的表面积.
易错点
无
10.若周期为
,
的值为 ▲ .
正确答案
解析
由的周期为
,可得
,
即,
解得,
.
考查方向
解题思路
首先利用周期公式可得,再根据两角和的正切公式可求出
,利用二倍角公式化简可得结果。
易错点
无
1.复数其中i为虚数单位,则z的实部是 ▲ .
正确答案
5
解析
因为,
故复数z的实部为5.
考查方向
解题思路
把复数z利用乘法运算化为z=a+bi的形式.
易错点
深刻理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、辐角、辐角主值、共轭复数的概念和得数的几何表示——复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点(a、b)及向量 是一一对应的,在对概念的理解时要善于利用数形结合的思想,如纯虚数与虚轴上的点对应,实数与实轴上的点对应,复数的模表示复数对应的点到原点的距离.
2. 在平面直角坐标系xOy中,双曲线的焦距是 ▲ .
正确答案
解析
根据题意可得,
,
,
焦距
.
考查方向
解题思路
根据双曲线的标准方程,可得a,b,再利用a,b,c之间的关系可求出c.
易错点
要注意区分椭圆a,b,c的关系和双曲线a,b,c关系的区别,不能混淆.
11.在平面直角坐标系中,点是由不等式组
所确定的平面区域内的动点,
是圆
的一条直径的两端点,则
的最小值为 ▲ .
正确答案
7
解析
∵M,N是圆x2+y2=1的一条直径的两端点,
∴设,则满足
1,
设,则
设,则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方,
作出不等式组对应的平面区域如图:
则原点到直线的距离最小,
此时,
则,
则
考查方向
解题思路
设出M,N,P的坐标,根据向量数量积的公式进行转化,利用数形结合转化为线性规划进行求解即可.
易错点
解线性规划问题的基本方法是图解法。当B>0时,动直线在y轴上的截距越大,目标函数
值越大,截距越小,目标函数值越小;反之,当B<0时,动直线
在y轴上截距越大,目标函数
值越小,截距越小,目标函数值越大。其中
的系数
的符号是解题的关键,也是同学们经常忽略的地方。
12.已知数列的首项为1,数列
为等比数列,且
,则
▲ .
正确答案
128
解析
∵数列为等比数列且
,
∴,
故答案为128.
考查方向
解题思路
由于数列为等比数列且
,可得
,代入即可得出答案.
易错点
等差、等比数列各自有一些重要公式和性质(略),这些公式和性质是解题的根本,用错了公式和性质,自然就失去了方向。
13.已知函数若对函数
,当
时总有三个零点,则a的取值范围为 ▲ .
正确答案
解析
函数函数
,当
时总有三个零点,即
与
,当
时总有三个交点,
如图:
可得:,解得
.
故答案为.
考查方向
解题思路
画出函数y=f(x)的图象与y=b的图象,利用已知条件判断a的范围即可.
易错点
与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨论奇偶性等等。在解决此类问题时,要注意分段函数是一个函数而不是几个函数,如果自变量取值不能确定,要对自变量取值进行分类讨论,同时还要关注分界点附近函数值变化情况
14.已知椭圆的离心率
,
是椭圆的左、右顶点,
是椭圆上不同于
的一点,直线
斜倾角分别为
,则
的最小值为 ▲ .
正确答案
1
解析
∵离心率
设,椭圆顶点
,
,
又,∴
∴
即,
∴.
当且仅当时取等号.
∴的最小值为1,
故答案为1.
考查方向
解题思路
利用椭圆的标准方程及其性质可得:,即
,由
,再利用基本不等式的性质即可得出
易错点
无
△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
15.求△ABC的面积;
16.若sinA:sinC=3:2,求AC边上的中线BD的长.
正确答案
解析
(1)由正弦定理得:;
则,因为
,所以
;
因为,所以
;
因为,所以
;
所以.
考查方向
解题思路
已知等式利用正弦定理化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形,根据sinA不为0求出cosB的值,即可确定出B的度数,利用平面向量数量积的运算可求ac的值,进而利用三角形面积公式即可计算得解.
易错点
无
正确答案
解析
(2)由正弦定理得:,由(1)得
,所以
;
由余弦定理得;
;
由余弦定理得 .
考查方向
解题思路
由正弦定理化简可得,结合
,可求a,c的值,根据余弦定理可得AC,故可得
,进而再利用余弦定理可得AC边上的中线BD的长.
易错点
正余弦定理的问题难度稍大,综合强,解题有一定的技巧,经常由于忽视条件,忽视隐含条件以及公式不熟练等出错.
19.一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地来养蜂、产蜜与售蜜,他在正方形的边
上分别取点
(不与正方形的顶点重合),连接
,使得
. 现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区,
部分规划为蜂巢区,
部分规划为蜂蜜交易区. 若蜂源植物生长区的投入约为
元/百米2,蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为
元/百米2,则这三个区域的总投入最少需要多少元?
正确答案
解析
设阴影部分面积为,三个区域的总投入为
.
则,从而只要求
的最小值.
设,则
.
因为,所以
,所以
,
即,解得
,即
取得最小值为
,
从而三个区域的总投入的最小值约为
元.
考查方向
解题思路
设阴影部分面积为S,三个区域的总投入为T.设,由解三角形可得
,运用两角和的正切公式和基本不等式,即可得到所求最小值.
易错点
函数模型可以处理生活中很多实际问题,所以成为考查重点,但由于审题、建模等出现问题,常常出现不该出现的错误
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且 ,
.
17.直线DE∥平面A1C1F;
18.平面平面
.
正确答案
见解析
解析
证明:为中点,
为
的中位线
又为棱柱,
,又
平面
,且
平面
;
考查方向
解题思路
通过证明DE∥AC,进而DE∥A1C1,据此可得直线DE∥平面1
易错点
空间平行关系的证明往往作为解答题中的第(1)问,而两条直线的平行式证明空间平行关系的基础,在证明空间平行关系时往往出现以下问题:(1)不能灵活运用平面几何中的相关结论,尤其是利用中位线、比例线段等来构造线线平行关系;(2)不能利用几何体或几何图形的结构特征将空间问题灵活转化为平面内的问题,然后再利用平面几何中的结论构造平行关系
正确答案
见解析
解析
为直棱柱,
平面
,又
且,
平面
平面
,
又,
平面
又平面
,
又,
,且
平面
平面
,又
平面
平面
.
考查方向
解题思路
通过证明结合题目已知条件
,进而可得平面
平面
.
易错点
空间垂直关系的证明与利用是空间线面关系的重点,在判断、证明空间垂直关系时,往往出现以下问题:(1)忽视特殊平面图形中的一些垂直关系,导致证明没有思路。(2)忽视已知条件中线段的长度之间的关系,不能通过计算找出线线的垂直关系
在平面直角坐标系中,已知椭圆
的左顶点为
,右焦点为
,
为椭圆
上两点,圆
.
20.若轴,且满足直线
与圆
相切,求圆
的方程;
21.若圆的半径为
,点
满足
,求直线
被圆
截得弦长的最大值.
正确答案
解析
(1)因为椭圆的方程为
,所以
,
.
因为轴,所以
,而直线
与圆
相切,
根据对称性,可取,
则直线的方程为
,
即.
由圆与直线
相切,得
,
所以圆的方程为
.
考查方向
解题思路
由题意方程求出P的坐标,得到直线PA的方程,由点到直线的距离公式求出圆的半径,则圆的方程可求;
易错点
无
正确答案
解析
(2)易知,圆的方程为
.
①当轴时,
,
所以,
此时得直线被圆
截得的弦长为
.
②当与
轴不垂直时,设直线
的方程为
,
,
首先由,得
,
即,
所以 (*).
联立,消去
,得
,
将代入(*)式,得
. 由于圆心
到直线
的距离为
,
所以直线被圆
截得的弦长为
,
故当时,
有最大值为
.
综上,因为,所以直线
被圆
截得的弦长的最大值为
.
考查方向
解题思路
由已知求得圆的方程,当PQ⊥x轴时,由求出OP的斜率,可得P的坐标,由对称性得到Q的坐标,则直线PQ被圆O截得弦长可求;当PQ与x轴不垂直时,设直线PQ的方程为y=kx+b,由
,得到P,Q横坐标的和与积的关系,联立直线方程和椭圆方程可得k与b的关系,再由垂径定理求得弦长最大值,综合两种情况求得直线PQ被圆O截得弦长的最大值
易错点
解决直线与圆锥曲线位置关系时,常规的方法是设出直线方程,然后与圆锥曲线方程联立,转化为方程的根与系数间的关系问题求解,因此应注意以下几个问题①所设直线的斜率是否存在,②消元后的方程是否为一元二次方程,③一元二次方程是否有实根
已知函数(
).
22.若函数的最小值为
,求
的值;
23.设函数,试求
的单调区间;
24.试给出一个实数的值,使得函数
与
的图象有且只有一条公切线,并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由.
正确答案
解析
(1)由题意,得函数,所以
,
①当时,函数
在
上单调递增,此时无最小值,舍去;
②当时,由
,得
.
当,
,原函数单调递减;
,
,原函数单调递增.
所以时,函数
取最小值,即
,解得
.
考查方向
解题思路
函数整理为,求导,由题意可知,函数的最小值应在极值点处取得,令f′(x)=0,代入求解即可;
易错点
注意易忽略函数的定义域.
正确答案
①当时,函数
在
上单调递增;
②当时,函数
在
上单调递减;
③当时,函数
的增区间为
,减区间为
与
;
④当时,函数
的增区间为
,减区间为
与
解析
由题意,得,
则,
①当时,
,函数
在
上单调递增;
②当时,由
,得
或
,
(A)若,则
,此时
,函数
在
上单调递减;
(B)若,则
,
由,解得
,由
,解得
,
所以函数在
上单调递增,在
与
上单调递减;
(C)若,则
,
同理可得,函数在
上单调递增,在
与
上单调递减.
综上所述,的单调区间如下:①当
时,函数
在
上单调递增;
②当时,函数
在
上单调递减;
③当时,函数
的增区间为
,
减区间为与
;
④当时,函数
的增区间为
,
减区间为与
考查方向
解题思路
函数整理为g(x)=mlnx+mx2+(m2+2)x,求导得g′(x),对参数m进行分类讨论,逐一求出单调区间;
易错点
一个函数在某个区间上单调增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0,且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大(小)于0仅为该函数在此区间上单调增(减)的充分条件
正确答案
解析
符合题意.
理由如下:此时.
设函数与
上各有一点
,
,
则以点
为切点的切线方程为
,
以点
为切点的切线方程为
,
由两条切线重合,得 (*),
消去,整理得
,即
,
令,得
,
所以函数在
单调递减,在
单调递增,
又,所以函数
有唯一零点
,
从而方程组(*)有唯一解,即此时函数
与
的图象有且只有一条公切线.
故符合题意.
考查方向
解题思路
设出A,B的坐标,求出坐标间的关系,得到函数,通过讨论函数的单调性判断即可.
易错点
无
记.对数列
和
的子集T,若
,定义
;若
,定义
.例如:
时,
.现设
是公比为3的等比数列,且当
时,
.
25.求数列的通项公式;
26.对任意正整数,若
,求证:
;
27.设,求证:
.
正确答案
解析
(1)当时,
,因此
,从而
,
;
考查方向
解题思路
根据题意,由ST的定义,分析可得,计算可得
,进而可得的值,由等比数列通项公式即可得答案;
易错点
新定义问题要把定义一定要读懂,再根据定义求解问题.
正确答案
见解析
解析
(2)
考查方向
解题思路
根据题意,由ST的定义,分析可得,由等比数列的前n项和公式计算可得证明;;
易错点
无
正确答案
见解析
解析
设,
,则
,
,
,
,因此原题就等价于证明
.
由条件可知
.
① 若,则
,所以
.
② 若,由
可知
,
设中最大元素为
,
中最大元素为
,
若,则由第⑵小题,
,矛盾.
因为,所以
,所以
,
,
即.
综上所述,,因此
.
考查方向
解题思路
设,
,则
,进而分析可以将原命题转化为证明
,分2种情况进行讨论:①、若
,②、若
,可以证明得到
,即可得证明.
易错点
数列的通项公式与前n项和公式都是关于正整数n的函数,要善于用函数的观点认识和理解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点,有时即使考虑了n为正整数,但对于n为何值时,能够取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。