文科数学 热门试卷

解：（Ⅰ）某同学被抽到的概率为

设有名男同学，则，男、女同学的人数分别为

（Ⅱ）把名男同学和名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有共种，其中有一名女同学的有种

选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为

（Ⅲ），

，

（1）证明：因为侧面均为正方形，

所以,

所以平面，三棱柱是直三棱柱．　　

因为平面，所以，　　　　　　　　

又因为，为中点，所以．             

因为,所以平面．      

（2）

证明：连结，交于点，连结，

因为为正方形，所以为中点，

又为中点，所以为中位线，

所以，          

因为平面，平面，

所以平面．

（3）解： 因为侧面，均为正方形， ，

所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系．

设，则．

，                       

设平面的法向量为，则有

，， ，

取，得．                         

又因为平面，所以平面的法向量为，

，                    

因为二面角是钝角，

所以，二面角的余弦值为．            

解：①

当时，，当时，

∴在上单调减，在上单调增

∴                                      

②                        

若在上单调增，则在上恒成立

恒成立

令，，则，

∴                                        

若在上单调减，则在上恒成立

综上，的取值范围是：               

③恒成立

当时，不等式显然成立

当时，

在时恒成立                        

令，即求的最小值

设，，，

且A、B两点在的图象上，又∵，，故

∴，故

即实数的取值范围为

解：（1）由题知     

又

 点E的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，

E的轨迹方程为                   

（2）设，PQ的中点为

将直线与联立得

，即  ①

又

依题意有，整理得    ②  

由①②可得，

设O到直线的距离为，则

当时，的面积取最大值1，此时，

直线方程为