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1.若,则
( )
正确答案
解析
易知,故
,选择D选项。
考查方向
解题思路
先化简,再求值。
易错点
化简过程中容易出错。
知识点
2.( )
正确答案
解析
由半角公式知,选择D选项。
考查方向
解题思路
直接利用辅助角公式即可求值。
易错点
对半角公式不熟悉导致出错。
知识点
6.执行如图所示的程序框图,则输出的( )
正确答案
解析
当i=1时,s=2,i=2<3,当i=2时,s=6,i=3不大于3,继续循环,此时s=15,i=4>3,终止循环,输出S值,所以本题选择B选项。
考查方向
解题思路
根据输入的值,逐一进行判断即可求解。
易错点
对循环终止条件判断失误导致出错。
知识点
7.从内随机取两个数
,则使
的概率为( )
正确答案
解析
依据题意画出图如下所示,则满足条件的概率为,故选择D选项。
考查方向
解题思路
依据题意画出图,根据几何度量即可求解。
易错点
不知选择哪种几何度量导致出错。
知识点
8.公比不为的等比数列
中,且
成等差数列.若
,则
( )
正确答案
解析
由成等差数列知
,即
,所以
,解得
,由.公比不为
知
,又因为
,所以
,故
,选择B选项。
考查方向
解题思路
先根据已知条件求出首项和公比,再求和。
易错点
相关知识点不熟悉导致出错。
知识点
3.已知集合,
,则
( )
正确答案
解析
由知
,故
所以
,选择A选项。
考查方向
解题思路
先求集合B,再求交集。
易错点
忽略对数函数的定义域导致出错。
知识点
4.设函数,则
( )
正确答案
解析
由-2<0知知,故选择C选项。
考查方向
解题思路
根据自变量的取值范围,代入相应的解析式即可求值。
易错点
忽略分段函数的定义域导致出错。
知识点
5.若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆的焦点和顶点,则该双曲线方程为( )
正确答案
解析
易知椭圆的焦点为(±1,0),顶点为(0,±1)和,依题意知双曲线焦点在x轴上,所以
,其方程为
,故选择A选项。
考查方向
解题思路
根据题意求出双曲线的顶点、焦点,再利用定义求出其方程。
易错点
对双曲线及抛物线的定义混淆导致出错。
知识点
9.函数的图象大致为( )
正确答案
解析
易知该函数为偶函数,排除A,C当x趋近于正无穷大时,函数值大于零,排除D,故选择B选项。
考查方向
解题思路
根据函数的定义域、单调性、奇偶性进行判断。
易错点
相关知识点不熟悉导致出错。
知识点
10.已知函数在区间
内单调递增,则
的最大值是( )
正确答案
解析
,由
知
,该范围为函数的单调递增区间,因为
在区间
内单调递增,所以
,解得
,故选择A选项。
考查方向
解题思路
由A∩B=A知,进而求得实数m的值。
易错点
相关知识点不熟悉导致出错。
知识点
11.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某四面体的三视图,则该四面体的体积为( )
正确答案
解析
易知,该四面体的原图为,如下图所示,故其体积为
,故选择C选项。
考查方向
解题思路
先由三视图还原几何体,再根据几何体的形状求其体积。
易错点
不能由三视图还原原图导致出错。
知识点
12.已知数列满足
,则
( )
正确答案
解析
由知
,而
,所以
,归纳可得
,所以
故
,故选择C选项。
考查方向
解题思路
由求数列
的通项公式,再利用错位相减法求和。
易错点
不能求出的通项公式导致本题后面没法求和。
知识点
16.设点在圆
上,点
在抛物线
上,则
的最小值为_____.
正确答案
解析
试题分析:设C为圆心,依题意知,设
,则
,当
时
,所以
,故此题答案为
。
考查方向
解题思路
将长的最值问题转化为抛物线上点到圆心距离的最值问题,进而求出最小值。
易错点
相关知识不清楚导致出错。
知识点
13.在正六边形中,若
,则
____.
正确答案
解析
试题分析:依题意可知,所以
,故此题答案为
。
考查方向
解题思路
直接运用向量的运算律进行计算。
易错点
对向量的运算率不熟悉导致出错。
知识点
14.若、
满足约束条件
,则
的最大值为_______.
正确答案
解析
试题分析:画出可行域,如下图所示,作出直线,在可行域内平移该直线,由图可知当直线经过点A(4,4)时目标函数取得最大值,其最大值为2×4+3×4=20,故此题答案为20。
考查方向
解题思路
画出可行域,作出直线,在可行域内平移该直线即可求出目标函数的最大值。
易错点
不能准确画出可行域导致出错。
知识点
15.已知三棱锥内接于球
,
,当三棱锥
的三个侧面的面积之和最大时,球
的表面积为______.
正确答案
解析
试题分析:根据题意可知当三条侧棱互相垂直时三个侧面积之和最大,此时球的直径为以
为边的正方体的体对角线长,所以球的半径
,所以
,故此题答案为
。
考查方向
解题思路
根据题意可知当三条侧棱互相垂直时侧面积之和最大,进而求出球的表面积。
易错点
不知何时三个侧面积之和最大导致出错。
知识点
17.在中,角
的对边分别为
,满足
.
(1)求;
(2)若的面积为
,求
的最小值.
正确答案
(1);(2)
解析
试题分析:本题属于正余弦定理及三角形的面积公式的综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关的知识,即可解决本题,解析如下:
(Ⅰ)由正弦定理,可得
∴,
∴,
∴,故
;
(Ⅱ)由已知,所以
,
由余弦定理
∴,
∴(当且仅当
时取等号).
∴的最小值为
.
考查方向
解题思路
(1)直接利用正弦定理化边为角,进而求出角C的余弦值,从而求出C;
(2)利用三角形的面积公式及均值不等式即可求出c的最小值.
易错点
相关知识点不熟容易处错。
知识点
20.已知抛物线的焦点为
,直线
过点
交抛物线
于
两点,且以
为直径的圆
与直线
相切于点
.
(1)求的方程;
(2)若圆与直线
相切于点
,求直线
的方程和圆
的方程.
正确答案
(1);(2)直线:
;圆:
.
解析
试题分析:本题属于直线与圆锥曲线的综合应用问题,属于拔高题,不容易得分,解析如下:
(Ⅰ)设,则
,
又∵以为直径的圆
与直线
相切,
∴,故
,
∴抛物线的方程为
.
(Ⅱ)设直线的方程为
,代入
中,化简整理得
,
∴,
∴,
∴圆心的坐标为
,
∵圆与直线
相切于点
,
∴,
∴,解得
,
此时直线的
方程为
,即
,
圆心
,半径
,
圆的方程为
.
考查方向
解题思路
(1)利用相关知识求抛物线方程;
(2)联立方程组,综合利用题中条件即可求解.
易错点
对题中条件的处理容易出错。
知识点
18. 如图,在四棱锥中,
是边长为
的正三角形,
,
为棱
的中点.
(1)求证:;
(2)若平面平面
,
,求点
到平面
的距离.
正确答案
(1)见证明;(2)
解析
试题分析:本题属于立体几何的综合应用问题,属于中档题,只要掌握相关立体几何的知识,即可解决本题,解析如下:
证明:取中点
,连接
、
∴,
∵
∴
∵、
平面
,
、
平面
∴平面平面
∵平面
∴平面
(Ⅱ)∵平面平面
,
∴平面
∵平面
∴平面平面
∴在中,过
作
交
延长线于
点,则
的长为点
到平面
的距离,
设点到
的距离为
,
则有,即
∴,即点
到平面
的距离为
考查方向
解题思路
(1)直接利用线面平行的判定定理进行证明;
(2)利用作出高,再利用体积公式即可求解.
易错点
相关定理不熟容易处错。
知识点
19.在一次数学考试中,数学课代表将他们班名同学的考试成绩按如下方式进行统计得到如下频数分布表(满分为
分).
(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图;
(2)估计该班学生数学成绩的中位数和平均值;
(3)若按照学生成绩在区间内,分别认定不及格,及格,优良三个等次,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为
的样本.计算:从该样本中任意抽取
名学生,至少有一名学生成绩属于及格等次的概率.
正确答案
(1)见解析;(2);(3)
.
解析
试题分析:本题属于用样本估计总体与古典概型综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关的知识,即可解决本题,解析如下:
(Ⅰ)
(Ⅱ)由频率分布直方图可得该班学生数学成绩的中位数为70;
该班学生数学成绩的平均值为
(Ⅲ)由题可得在抽取的5个样本中属于不及格、及格、优良三个等次的个数分别为1、3、1,对应编号分别为、
、
、
、
,
从中任意抽取2名学生的情况有、
、
、
、
、
、
、
、
、
,共10种,
其中至少有一名学生成绩属于及格等次的情况有9种
∴至少有一名学生成绩属于及格等次的概率为
考查方向
解题思路
(1)由表中数据直接绘制直方图;
(2)利用频率分布直方图求中位数和平均值;
(3)用样本的频率代替概率,利用古典概型求概率.
易错点
相关知识点不熟容易处错。
知识点
22.选修4-1:几何证明选讲
如图,点在圆
上,
、
的延长线交于点
,
交于点
,
.
(1)证明:弧弧
;
(2)若,求
的长.
正确答案
(1)见解析;(2).
解析
试题分析:本题属于圆的综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关圆的知识,即可解决本题,解析如下:
(Ⅰ)证明:∵
∴
∵
∴
∵,
∴,又
∴
∴
∴.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,又
∴
∴
又∵,
,
∴.
考查方向
解题思路
(1)利用圆的割线的性质及角的关系即可得证;
(2)利用三角形司相似即可求DF的长.
易错点
相关定理不熟悉导致本题失分。
知识点
21.设函数,曲线
在点
处的切线方程为
.
(1)求的解析式;
(2)证明:.
正确答案
(1);(2)见解析.
解析
试题分析:本题属于导数的综合应用问题,属于拔高题,不容易得分,解析如下:
(Ⅰ)∵ ,
∴ ,即
又点在切线
上,
∴,即
∴的解析式为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
又∵在
内单调递增,
且
∴存在使得
.
当时,
,当
时,
∴.
由得
∴.
综上,对任意,
.
考查方向
解题思路
(1)直接利用导数的几何意义即可求出函数的解析式;
(2)先判断函数的单调性,再利用导数证明.
易错点
第二问对题中所给条件不知如何下手导致失分。