文科数学 热门试卷

解法一：（1）证明：取的中点，连接，

∵平面，平面，

∴所以．

∵为正三角形，为的中点，

∴，

又∵平面，，

∴平面，

又∵平面，所以

正方形中，∵，∴，

又∵，

∴，故，

又∵，平面，

∴平面，

又∵平面，∴．

（Ⅱ）取中点，连接，则线段为点的运动轨迹．

理由如下

:

∵，平面，平面，

∴平面，

∴到平面的距离为．

所以

．

解法二：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，

正三棱柱中，平面平面，

平面平面，平面，

因为为正三角形，为的中点，

所以，从而平面，所以．

正方形中，因为，所以，

又因为，

所以，故，

又因为，平面，所以平面，

又因为平面，所以．

（2）取中点，连接，则线段为点的运动轨迹．理由如下．

设三棱锥的高为，

依题意

故．

因为分别为中点，故，又因为平面，平面，

所以平面，所以到平面的距离为．

解法一：（1）根据正弦定理，

等价于．

又因为在中，

．

故，

从而，

因为，所以，得，

因为，所以．

（2）由，可得，

因为，所以．

根据余弦定理，得，即．

在中，根据正弦定理有，

得．

因为，

故．

解法二：（1）同解法一．

（2）由，可得，

根据正弦定理，

可得．

取的中点，连接，

为边上的高，且，

由，得．

又在直角三角形中，，

，得．

所以．

解法一：

（1）记为事件“该新型窑炉烧制的产品为二等品”．

由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品为二等品的频率为，

故事件的概率估计值为．

（2）①先分析该窑炉烧制出的产品的综合指标值的平均数：

由直方图可知，综合指标值的平均数

．

该窑炉烧制出的产品的综合指标值的平均数的估计值，

故满足认购条件①．

②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：

由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为，，．

故件产品中，一、二、三等品的件数估计值分别为件，件，件．

一等品的销售总利润为元；

二等品的销售总利润为元；

三等品的销售总利润为元．……11分

故件产品的单件平均利润值的估计值为元，

有满足认购条件②，综上所述，该新型窑炉达到认购条件．

解法二：

（1）同解法一．

（2）①同解法一．

②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：

由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为，，．

故件产品的单件平均利润值的估计值为

      元，有满足认购条件②．

综上所述，该新型窑炉达到认购条件．

解法一：（1）因为，所以．

又因为，所以．

故椭圆的方程:．

（2）设直线的方程为，

代入椭圆的方程，得

设，则，解得，，

所以.

用替换，可得.

解得直线的斜率为，直线的斜率，

所以直线的方程为：①

直线的方程为：②

由①②两直线的交点的横坐标，

所以点在定直线上．

解法二：（1）依题意，，代入椭圆方程，得

因为，代入整理得．

又因为，所以．故椭圆:．

（2）证明：，

设，因为点在椭圆上，所以．

设 ，由于，，三点共线，所以．

又，所以．

所以，

即

整理得

因为，解得，所以点在定直线上．

解法三：（1）同解法一或解法二；

（2）设，直线的斜率分别为，

则，

又，所以．

又，则．所以．

设直线的方程为①

则直线的方程为②

则两直线的交点的横坐标．所以点在定直线上．

解：（1）由，可得，

故．

不是的极值点.

理由如下：．

记，则.

由，解得；由，解得，

所以在单调递减，在单调递增，

故，即在恒单调递增，

故不是的极值点．

（2）依题意，．

则．

①时，在恒成立，在恒成立，

所以在上先减后增，

故在上有极小值，无极大值，应舍去．

②时，在恒成立，在恒成立，

所以在上先减后增，

故在上有极小值，无极大值，应舍去．

③时，由得和，

因为，故有下列对应关系表：

 故，

记，

因为在上单调递减，

所以．

④当时，因为，故

故，

设，

记，

则，令得和（舍去），

故．

【试题简析】解：（1）当时，，

①当时，，

令 即，解得，

②当时，，

显然成立，所以，

③当时，，

令 即，解得，

综上所述，不等式的解集为．

（2）因为，

因为，有成立，

所以只需，

化简可得，解得，

所以的取值范围为．