文科数学 热门试卷

（I）由频率分布直方图知第1组，第2组和第3组的频率

分别是0．02，0．02和0．06，
则m×（0．02＋0．02＋0．06）＝20，

解得m＝200．

由直方图可知，中位数n位于[70，80），则0．02＋0．02＋0．06＋0．22＋0．04（n－70）＝0．5，

解得n＝74．5．

（II）设第i组的频率和频数分别为pi和xi，由图知，

p1＝0．02，p2＝0．02，p3＝0．06，p4＝0．22，p5＝0．40，p6＝0．18，p7＝0．10，

则由xi＝200×pi，可得

x1＝4，x2＝4，x3＝12，x4＝44，x5＝80，x6＝36，x7＝20，

故该校学生测试平均成绩是

＝74＜74．5，

所以学校应该适当增加体育活动时间．

（I）由正弦定理得sinCsinB＝sinBcosC，

又sinB≠0，所以sinC＝cosC，C＝45°．

因为bcosC＝3，所以b＝3 ．

（II）因为S＝acsinB＝，csinB＝3，所以a＝7．

据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝25，所以c＝5．

（I）证明：

因为PA⊥ 底面ABCD，所以PA⊥ CD，

因为∠ PCD＝90°，所以PC⊥ CD，

所以CD⊥ 平面PAC，

所以CD⊥ AC．

（II）因为PA＝AB＝AC＝2，E为PC的中点，

所以AE⊥ PC，AE＝．

由（I）知AE⊥ CD，

所以AE⊥ 平面PCD．

作CF⊥ DE，交DE于点F，

则CF⊥ AE，则CF⊥ 平面EAD．

因为BC∥ AD，所以点B与点C到平面EAD的距离相等，

CF即为点C到平面EAD的距离．

在Rt△ ECD中，CF＝＝．

所以，点B到平面EAD的距离为．

（I）设  l：x＝my－2，

代入y2＝2px，

得y2－2pmy＋4p＝0．（*）

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，

则x1x2＝＝4．

因为＝12，

所以x1x2＋y1y2＝12，

即4＋4p＝12，

得p＝2，

抛物线的方程为y2＝4x．

（II）由（I）（*）化为y2－4my＋8＝0．

y1＋y2＝4m，y1y2＝8．

设AB的中点为M，

则|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m（y1＋y2）－4＝4m2－4， ①

又|AB|＝| y1－y2|＝，              ②

由①②得（1＋m2）（16m2－32） ＝（4m2－4）2，

解得m2＝3，m＝±．

所以，直线l的方程为x＋y+2＝0，或x－y+2＝0．

22．（1）证明：因为BD＝CD，所以∠BCD＝∠CBD．

因为CE是圆的切线，所以∠ECD＝∠CBD．

所以∠ECD＝∠BCD，所以∠BCE＝2∠ECD．

因为∠EAC＝∠BCE，所以∠EAC＝2∠ECD．               

（2）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC＝AB．

因为BC＝BE，所以∠BEC＝∠BCE＝∠EAC，所以AC＝EC．

由切割线定理得EC2＝AE•BE，即AB2＝AE•（AE－AB），即

AB2＋2 AB－4＝0，解得AB＝－1．                      

 23．（1）由ρ＝2（cosθ＋sinθ），得ρ2＝2（ρcosθ＋ρsinθ），

即x2＋y2＝2x＋2y，即（x－1） 2＋（y－1） 2＝2．

l的参数方程为（t为参数, t∈R）              

（2）将代入（x－1） 2＋（y－1） 2＝2得t2－t－1＝0，

解得，则

|EA|＋|EB|＝| t1|＋| t2|＝|t1－t2|＝．                 

 24．（1）

当x∈（－∞，0]时，f（x）单调递减，

当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，

所以当x＝0时，f（x）的最小值a＝1．                    

（2）由（1）知m2＋n2＝1，由m2＋n2≥2mn，得mn≤，

则，当且仅当时取等号．

所以的最小值为．