2016年高考真题文科数学 (山东卷)

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为 .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是

A56

B60

C120

D140

正确答案

解析

自习时间不少于22.5小时后三组，其频率和为（0.16+0.08+0.04）2.5=0.7，故人数为2000.7=140.

考查方向

本题考查频率分布直方图，频率估计，样本数据的收集、分析、判断与预测能力，难度较低。

解题思路

根据频率分布直方图求出范围内的累积频率即可.

易错点

频率分布直方图中的纵坐标是,不是频率.

知识点

收集数据的方法

题型：单选题

分值: 5分

7.已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是

A内切

B相交

C外切

D相离

正确答案

解析

圆M:化成标准形式

方法一：圆心到直线的距离为，由勾股定理得，解得，圆M与圆N的圆心距为圆M半径,圆N半径圆M与圆N相交。

方法二：直线斜率为-1，倾斜角为135°，可知，B点坐标为，即为圆N的圆心。圆心在圆M中，且半径为1，即两圆相交。

考查方向

本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，考查推理与计算能力，难度中等。

解题思路

先根据直线与圆相交求得圆的方程，然后根据圆心距的关系判断两圆的位置关系。

易错点

直线与圆的位置关系中点线距，圆与圆的关系中点点距。

知识点

轨迹方程的问题

题型：单选题

分值: 5分

1.设集合，则=

正确答案

解析

考查方向

本题考查集合的交集、补集运算，难度较低。

解题思路

先求出然后在全集的作用下求补集。

易错点

集合补集的理解，注意不要脱离全集的限制。

知识点

并集及其运算

题型：单选题

分值: 5分

2.若复数，其中i为虚数单位，则 =

A1+i

B1−i

C−1+i

D−1−i

正确答案

解析

，=1−i。

考查方向

本题考查复数的除法运算，共轭复数的意义，难度较低。

解题思路

结合复数的除法运算求解，然后求复数的共轭。

易错点

在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)(a－b)＝a2－b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误．

知识点

复数的代数表示法及其几何意义

题型：单选题

分值: 5分

4.若变量x，y满足则的最大值是

C10

D12

正确答案

解析

不等式组表示的可行域是以A(3,-1),B(0,-3),C(0,2)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大,故选C.

考查方向

本题考查非线性目标函数线性规划求最值问题，数形结合能力，难度中等.

解题思路

画出不等式组表示的平面区域,根据目标函数几何意义(本例理解为距离的平方)求解

易错点

线性规划问题的解题，首先要结合“直线定界，特殊点定域”的原则画好平面区域，然后结合目标函数的几何意义求最值，一般与截距、斜率、距离等问题有关。

知识点

指数函数的图像与性质

题型：单选题

分值: 5分

5.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为

正确答案

解析

由三视图可知，上面是半径为的半球，体积为，下面是底面积为1，高为1的四棱锥，体积，故选C

考查方向

本题考查根据三视图求体积，空间几何体的还原与计算，难度中等..

解题思路

根据三视图还原几何体,然后结合数据应用体积公式求解.

易错点

注意还原几何体时把握几何体的结构特征，本例中要注意球的直径是下面四棱锥底面对角线的一半，不是边长的一半。

知识点

二次函数的应用

题型：单选题

分值: 5分

6.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面相交”的

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

解析

直线a与直线b相交,则一定相交,若相交,则a,b可能相交，也可能平行,故选A.

考查方向

本题考查直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断，考查抽象与概括能力、推理能力，难度中等.

解题思路

根据充分条件与必要条件的判定推理,可结合周边事物举例分析.

易错点

注意立体几何中线面关系的分析,可结合周边事物推理分析.

知识点

二次函数的应用

题型：单选题

分值: 5分

8.中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A=

正确答案

解析

，,所以A=.

考查方向

本题考查正、余弦定理边角统一，考查等价变形与化简能力，难度中等。

解题思路

根据正余弦定理边角统一，求出sinA,结合余弦定理得出sinA=cosA,可得解。

易错点

正弦定理边角统一，余弦定理特征。

知识点

正弦函数的单调性

题型：单选题

分值: 5分

9.已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)= —f(x)；当x＞时，f(x+)=f(x—).则f(6)=

A-2

B-1

正确答案

解析

当时，,所以当时，函数是周期为的周期函数，所以，又因为函数是奇函数，所以，故选D.

考查方向

本题考查了函数的周期性、奇偶性，灵活变换求得函数性质是解题的关键，难度中等.

解题思路

先通过求出函数周期1,将函数中的自变量化小,然后结合奇函数性质求值.

易错点

【易错点】满足：f(x＋a)＝f(x－a)，f(x＋a)＝-f(x)；的函数都是周期函数, 且Ｔ＝2a.

知识点

函数单调性的性质

题型：单选题

分值: 5分

10.若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是

Ay=sinx

By=lnx

Cy=ex

Dy=x3

正确答案

解析

当时，，，所以在函数图象存在两点使条件成立，故A正确；函数的导数值均非负，不符合题意，故选A.

考查方向

本题考查新定义问题、直线的位置关系，与其他知识交汇问题，考查计算推理能力，难度较高。

解题思路

通过导数验证函数图像上存在两点的导数值乘积等于-1

易错点

新定义问题的理解,注意本题实质上是检验函数图像上存在两点的导数值乘积等于-1.

知识点

函数的图象及变化

填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

11.执行右边的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为_______．

正确答案

解析

根据题目所给框图，当输入n=3时，依次执行程序为：，，不成立，，，不成立，，，成立，故输出的S的值为1。

考查方向

本题考查循环结构程序框图的运算识别，考查抽象、推理运算能力，难度较低。

解题思路

根据循环结构逐一运算,直到满足输出条件终止循环,输出结果.

易错点

循环的终止条件和控制循环变量求解

知识点

顺序结构

题型：填空题

分值: 5分

12.观察下列等式：

；

……

照此规律，_________．

正确答案

解析

由题干中各等式左端各项分母相同的情况下，等式右端两整数的乘积恰好为左端最后一数分子中数字的一半与其数字加1的乘积，所以

。

考查方向

本题考查归纳推理，考查考生的观察推理猜想能力，难度中等。

解题思路

由题干中各等式左端各项分母的特点及等式右端所表现出来的规律经过归纳推理即得

易错点

注意等式左边最后一数的分子的数字与等式右边两个整数的关系。

知识点

正弦函数的单调性

题型：填空题

分值: 5分

13.已知向量a=(1,–1)，b=(6,–4)．若a⊥(ta+b)，则实数t的值为________．

正确答案

-5

解析

由已知条件可得，又因可得，即，即得t=-5.

考查方向

考查向量的垂直关系，数量积的坐标运算，考查等价转化以及推理运算能力，难度中等。

解题思路

根据两向量垂直,数量积为0结合数量积的坐标运算得出t为变量的方程,得解.

易错点

向量垂直的一般处理思路是两向量的数量积为0。

知识点

向量的加法及其几何意义

题型：填空题

分值: 5分

14.已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．

正确答案

解析

由已知易得，，所以，，由，得离心率或（舍去），所以离心率为2.

考查方向

双曲线的性质，离心率的求法，推理分析与计算求解能力，难度中等。

解题思路

根据双曲线的性质设出A、B点的坐标涉及到的两个线段的长度表示出来，结合题给等量关系求解。

易错点

注意双曲线离心率的取值范围e>1。

知识点

双曲线的几何性质

题型：填空题

分值: 5分

15.已知函数f(x)=其中m>0．若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是_______．

正确答案

解析

由题意画出函数图像为下图时才符合，要满足存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根应解得，即.

考查方向

本题考查函数方程，函数图像，函数零点与方程的根问题、由图形的不确定性引起的分类讨论，难度较高。

解题思路

画出分段函数f（x）的图像，然后在同一坐标系下画出直线y=b，通过平移可以得到m的范围。

易错点

函数与方程问题的求解多结合图像求解，能够准确画出函数的图像是解决本题的关键.[来源:

知识点

分式不等式的解法

简答题（综合题）本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

①若，则奖励玩具一个；

②若，则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶.

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.

16.求小亮获得玩具的概率；

17.请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）

解析

（Ⅰ）设获得玩具记为事件A，获得水杯记为事件B，获得一瓶饮料记为事件C

转盘转动两次后获得的数据记为,则基本事件空间为

共16种，事件A为，共5种

故小亮获得玩具的概率

考查方向

本题考查古典概率基本事件的列举与概率运算，应用概率进行决策，考查列举运算推理分析能力，难度较低。

解题思路

事件A包含的基本事件共有五个，即，计算即得；

易错点

古典概型中基本事件空间的列举，对事件发生情况的分析，互斥事件概率的求解。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）小亮获得水杯比获得饮料的概率大

解析

(Ⅱ)事件B为共6种

故小亮获得水杯的概率，获得饮料的概率。

因为，所以小亮获得水杯比获得饮料的概率大。

考查方向

本题考查古典概率基本事件的列举与概率运算，应用概率进行决策，考查列举运算推理分析能力，难度较低。

解题思路

事件B包含的基本事件共有6个，事件C包含的基本事件共有5个，计算并比较即可；

易错点

古典概型中基本事件空间的列举，对事件发生情况的分析，互斥事件概率的求解。

题型：简答题

分值: 12分

20.在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；

（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.

正确答案

（Ⅰ）证明：因，所以与确定一个平面，连接，因为为的中点，所以；同理可得，又因为，所以平面，因为平面，。

（Ⅱ）设的中点为，连，在中，是的中点，所以，又，所以；在中，是的中点，所以，又，所以平面平面，因为平面，所以平面。

解析

（Ⅰ）证明：因，所以与确定一个平面，连接，因为为的中点，所以；同理可得，又因为，所以平面，因为平面，。

（Ⅱ）设的中点为，连，在中，是的中点，所以，又，所以；在中，是的中点，所以，又，所以平面平面，因为平面，所以平面。

考查方向

考查空间的垂直以及平行关系的判定与转化，考查空间推理能力，难度中等。

解题思路

（Ⅰ）根据，知与确定一个平面，连接，得到，，从而平面，证得.

（Ⅱ）设的中点为，连，在，中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平面平面，进一步得到平面.

易错点

空间垂直与平行的判定定理的条件分析和步骤的完整性。

知识点

平行关系的综合应用

题型：简答题

分值: 12分

已知数列的前n项和，是等差数列，且.

21.求数列的通项公式；

22.令.求数列的前n项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；

解析

（Ⅰ）

得：

也符合

由

解得：

考查方向

本题考查数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法，考查数列中求通项和数列求和的计算技巧，难度中等。

解题思路

根据和与通项的关系，以及等差数列的通项公式特征利用方程思想求解；（2）先求出{Cn}的通项，结合乘公比错位相减法求和。

易错点

错位相减法：适合等差数列与等比数列的积数列的求和，写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）.

解析

（Ⅱ）

得：

考查方向

本题考查数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法，考查数列中求通项和数列求和的计算技巧，难度中等。

解题思路

根据和与通项的关系，以及等差数列的通项公式特征利用方程思想求解；（2）先求出{Cn}的通项，结合乘公比错位相减法求和。

易错点

题型：简答题

分值: 13分

设f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，a∈R.

23.令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；

24.已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）当a≤0时，单调递增区间为（0,+∞）；当a＞0时，单调递增区间为（0, ）, 单调递减区间为（,+∞）

解析

(Ⅰ)定义域（0,+∞）

g(x)=f’(x)= lnx+1-2ax+2a-1，g’(x)=-2a

①当a≤0时，g’(x)＞0恒成立，g(x)在（0,+∞）上单调递增

②当a＞0时，令g’(x)=0，得x=

g(x)在（0, ）上单调递增, 在（,+∞）上单调递减

综上所述，当a≤0时，单调递增区间为（0,+∞）

当a＞0时，单调递增区间为（0, ）, 单调递减区间为（,+∞）

考查方向

本题考查函数的导数，导数应用求函数单调性，函数极值，含参数范围的求解，考查分类讨论思想以及逻辑推理与运算能力，难度较高。

解题思路

(Ⅰ)求导数可得，从而，讨论当时，当时的两种情况即得.

易错点

在 (a，b)内的可导函数f(x)，若f′(x)>0，则f(x)是增函数；若 f′(x)<0，则f(x)是减函数；在x0的左右侧，若f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；若f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值；注意分类讨论的准确性。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）(,+∞)

解析

(Ⅱ)∵f(x)在x=1处取得极大值，∴g(1)=0

ln1+1-2a+2a-1=0在a取任何值时恒成立

① 当a≤0时，g(x)在（0,+∞）上单调递增

即x(0.1)时，g(x)＜0；x(1,+∞)时，g(x) ＞0

此时f(x)在x=1处取得极小值，不符合题意

② 当a＞0时，g(x)在（0, ）上单调递增, 在（,+∞）上单调递减

只需令＜1，即a＞

综上所述，a的取值范围为(,+∞)

考查方向

本题考查函数的导数，导数应用求函数单调性，函数极值，含参数范围的求解，考查分类讨论思想以及逻辑推理与运算能力，难度较高。

解题思路

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，.分以下情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，综合即得.

易错点

题型：简答题

分值: 12分

.设 .

18.求得单调递增区间；

19.把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)[-+kπ，+kπ] ()

解析

（Ⅰ）f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)

=2sinx-( sinx+ cosx-2 sinxcosx)

=-cos2x+ sin2x-1

=sin2x-cos2x+-1

=2(sin2x-cos2x) +-1

=2sin(2x-) +-1

-+2kπ≤2x-≤+2kπ()，-+ kπ≤x≤+ kπ()

所以单调递增区间为[-+kπ，+kπ] ()

考查方向

考查正弦型函数的单调区间，图像变换以及函数求值，考查学生三角恒等变换与推理运算能力，难度中等。

解题思路

化简函数并计算即可得出函数的单调区间

易错点

三角恒等变换中公式的特点、符号、以及变形应用，三角函数图像变换的途径分析。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)

解析

(Ⅱ)经变换g(x)=2 sinx+-1，g()=

考查方向

考查正弦型函数的单调区间，图像变换以及函数求值，考查学生三角恒等变换与推理运算能力，难度中等。

解题思路

函数平移计算

易错点

三角恒等变换中公式的特点、符号、以及变形应用，三角函数图像变换的途径分析。

题型：简答题

分值: 14分

已知椭圆C:（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2.

25.求椭圆C的方程；

26.过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.

(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值.

(ii)求直线AB的斜率的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)

解析

（Ⅰ）由题意得，解得

所以椭圆的方程为。

考查方向

本题考查椭圆的方程以及性质、直线的斜率、直线与椭圆的位置关系，直线斜率的最值问题，考查逻辑思维与运算能力，难度较高。

解题思路

（1）根据椭圆中的性质关系应用待定系数法求方程；

易错点

圆锥曲线中的定值问题

(1)利用特殊情况确定定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)(i)定值为-3 (ii)

解析

(Ⅱ)（i）设直线

因为点为直线与轴的交点，所以，

因为点为线段的中点，

所以，得

所以点，所以

故为定值。

（ii）直线与椭圆方程联立

得：，

所以

，

所以

直线与椭圆方程联立

得，

所以

因为点在椭圆上，所以，得

将②代入①得恒成立，

所以，所以，所以（当且仅当时取“=”）

所以当时，的最小值为。

考查方向

本题考查椭圆的方程以及性质、直线的斜率、直线与椭圆的位置关系，直线斜率的最值问题，考查逻辑思维与运算能力，难度较高。

解题思路

（2）应用坐标法结合中点坐标公式求定值，将直线与椭圆联立根据韦达定理利用设而不求的方法求出直线斜率，然后应用基本不等式求最值。

易错点

圆锥曲线中的定值问题(2)直接推理、计算，在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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