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文科数学 长沙市2017年高三第一次联合考试
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文科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2、填空题
13
14
15
16
3、简答题
17
18
19
20
21
22
23
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单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1．已知集合，，则（   ）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

集合P={x|1≤2x＜4}={x|0≤x＜2}，则P∩Q={1}．选：A．

考查方向

本题主要考查了指数不等式的求解与集合的运算。

解题思路

解指数不等式化简集合P，根据交集的运算求出答案

易错点

指数不等式的求解

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4．某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（   ）

A5

B6

C7

D8

正确答案

B

解析

由题意得：，乙组学生成绩由小到大排列后可得中位数，所以m=3，n=9，∴n﹣m=9﹣3=6．选：B。

考查方向

本题主要考查了茎叶图、平均数、中位数的性质。

解题思路

根据茎叶图、平均数、中位数的性质，列出方程组，求出m，n

易错点

茎叶图的识别

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6．执行右图所示的程序框图，则输出的值为(   )

A

B

C

D2

正确答案

D

解析

列举：当i=1时， a=﹣3，i=2；当i=2时， a=﹣，i=3；

当i=3时， a=，i=4；当i=4时， a=2，i=5；

当i=5时， a=﹣3，i=6；发现规律：a的值是以4为周期的循环，

由2016÷4=504，故当i=2017时，满足退出循环的条件，故输出的a值为2，

选：D。

考查方向

本题主要考查了程序框图。

解题思路

列举数据，分析循环中各变量值的变化情况，发现规律：a的值是以4为周期的循环

易错点

程序框图列举找规律。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8．如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图，则几何体的表面积为（   ）

A:.]

B

C

D

正确答案

D

解析

原几何体是底面半径是2、高为4的圆锥和棱长是4的正方体，

故几何体的体积是：π•22++6•42=4（+4）π+96，选：D。

考查方向

本题主要考查了三视图问题，表面积公式。

解题思路

判断原几何体是底面半径是2、高为4的圆锥和棱长是4的正方体，再求解

易错点

三视图的识别

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2．“”是“复数为纯虚数”的（   ）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B

解析

复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数⇔a=0且b≠0，

∴“a=0”是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的必要不充分条件，

选B．

考查方向

本题主要考查了复数的基本概念，以及必要条件、充分条件的判断。

解题思路

根据定义复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数，故a=0且b≠0，则“a=0”是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的必要不充分条件。

易错点

复数的基本概念。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3．若向量数量积·则向量与的夹角的取值范围是（   ）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

向量数量积•＜0，||||cos＜，＞＜0，可得cos＜，＞＜0，

所以＜，＞∈（，π]，选：C．

考查方向

本题主要考查了向量的数量积的应用，向量的夹角的求法。

解题思路

根据向量的数量积，转化求解向量的夹角的余弦

易错点

向量的夹角公式

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5．已知是数列的前项和，且，，则（   ）

A72

B88

C92

D98

正确答案

C

解析

Sn是数列{an}的前n项和，且Sn+1=Sn+an+3，得an+1=an+3，

所以数列{an}是公差为3的等差数列，

a4+a5=23，S8=4（a4+a5）=92．选：C。

考查方向

本题主要考查了等差数列的判断，等差数列的性质。

解题思路

先判断数列是等差数列，然后利用等差数列的性质求和

易错点

等差数列的判断，等差数列的性质的应用

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7．已知函数，则 (   )

A1

B

C

D

正确答案

B

解析

∵函数f（x）=，

∴f（﹣2017）=f（2017）=f(2017-4)=...=f（1）=e．选：B．

考查方向

本题主要考查了分段函数值的求解。

解题思路

根据函数性质得f（﹣2017）=f（2017）=f（1），求出结果

易错点

利用函数性质

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

9．已知抛物线上一点到焦点的距离与其到对称轴的距离之比为9：4，且，则点到原点的距离为（   ）

A

B

C4

D8

正确答案

B

解析

设点A的坐标为（x1，y1），抛物线y2=2x的准线方程为x=﹣，

∵点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，

∴点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，则，

∵y12=2x1，∴解得y1=或y1=2，∵|AF|＞2，

∴y1=2，A（2，2）．∴A点到原点的距离为：=2，

选：B．

考查方向

本题主要考查了抛物线性质和定义的应用。

解题思路

设点A的坐标，求出抛物线的准线方程，结合抛物线的定义建立方程关系进行求解

易错点

抛物线性质和定义运用

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

10．函数的图像大致为（   ）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

令=0，则x=2，故函数只有唯一的零点2，故排除B，C，D，

选：A．

考查方向

本题主要考查了函数的图象，函数的零点。

解题思路

根据函数的零点个数，利用排除法，得函数图象

易错点

函数的零点

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

11．圆锥的母线长为L，过顶点的最大截面的面积为，则圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是（   ）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

过圆锥顶点的截面面积是最大值为，其中L为圆锥母线长，就是两条母线夹角为90°时的截面面积，此时底面弦长为：L，所以L≤2r，因为L＞r，所以＜1．

选D．

考查方向

本题主要考查了圆锥的截面问题。

解题思路

由条件判断出过圆锥顶点的截面面积是最大值为时就是两条母线夹角为90°时的截面面积，求出底面弦长，然后推出与底面半径的关系，得到的范围．

易错点

判断过圆锥顶点的截面面积是最大值为时两条母线的位置。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

12．已知函数，且，则当时，的取值范围是（    ）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

∵f（x）=x+sinx（x∈R），∴f（x）是奇函数，

由f'（x）=1﹣cosx≥0，∴函数单调递增

∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，

∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）=f[﹣（x2﹣4x+1）]，

∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1），即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0，

∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1，∵y≥1，

∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．

的几何意义为动点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率的取值范围．

设k=，（k＞0）则y=kx+k，即kx﹣y+k=0．

当直线和圆相切是，圆心到直线的距离d=，

即8k2﹣6k=0，解得k=．此时直线斜率最大．

当直线kx﹣y+k=0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，

此时3k﹣1+k=0，即4k=1，解得k=，

∴，    选：A．

考查方向

本题主要考查了函数奇偶性和单调性，直线和圆的位置关系的应用，以及数形结合的思想。

解题思路

先判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，转化为直线和圆的位置关系，利用数形结合和的几何意义得到结论

易错点

函数奇偶性和单调性转化不等式以及数形结合的思想。

填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

15．某工厂制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该工厂每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该工厂每星期漆工最多有1300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，试根据以上条件，生产一个星期能获得的最大利润为       元．

正确答案

21000

解析

设每天生产桌子x张，椅子y张，利润总额为p，目标函数为：p=15x+20y

则作出可行域：把直线l：3x+4y=0向右上方平移至l'的位置时，直线经过可行域上的点B，此时p=15x+20y取最大值，解方程得B的坐标为（200，900）．

p=15×200+20×900=21000．

考查方向

本题主要考查了用线性规划解决实际问题中的最值问题。

解题思路

设每天生产桌子x张，椅子y张，利润总额为P千元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数P═15x+20y，利用线性规划找到最优解

易错点

抽象约束条件，作出可行域

1
题型：填空题
|
分值: 5分

16．设，是双曲线（，）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为       ．

正确答案

解析

取PF2的中点A，则∵，

∴2•=0，∴，

∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．

由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，

∴|PF2|=，|PF1|=．

△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，

∴（）2+（）2=4c2，    解得e=．

考查方向

本题主要考查了向量数量积的化简，双曲线的定义以及双曲线的简单性质的应用。

解题思路

取PF2的中点A，由条件可得，由OA是△PF1F2的中位线，得到PF1⊥PF2，根据双曲线的定义求出|PF1|和|PF2|的值，进而在△PF1F2中，由勾股定理可得e．

易错点

向量数量积的化简，双曲线的定义以及双曲线的简单性质的应用。

1
题型：填空题
|
分值: 5分

13．数列的前n项和为      ．

正确答案

解析

Sn==1+3+5+7+…+（2n﹣1）+（）

=+=

考查方向

本题主要考查了等差数列，等比数列求和公式。

解题思路

将数列分组为1+3+5+7+…+（2n﹣1）与（），再分别利用等差数列，等比数列求和公式计算

易错点

分组求和

1
题型：填空题
|
分值: 5分

14．已知为三角形中的最小角，则函数的值域为       ．

正确答案

解析

=2sin（x+）+1，

x为三角形中的最小内角，∴ 0＜x≤，即＜x+≤，

∴≤sin（x+）≤1，  +1≤2sin（x+）+1≤3，

函数的值域[，3]

考查方向

本题主要考查了辅助角公式的应用，正弦函数的图象的性质。

解题思路

用辅助角公式化简=2sin（x+）+1，由x为三角形中的最小内角，求出x的范围，再求y的范围

易错点

辅助角公式的应用，正弦函数的图象的性质。

简答题（综合题） 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知△ABC的面积为S，且

17.求的值；

18.若，，求△ABC的面积S．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

2

解析

由得．设△ABC的角A,B,C所对应的边分别为．则有，故．

考查方向

本题考查了向量的数量积以及正弦定理面积公式

解题思路

利用三角形的面积以及向量的数量积，转化求解A的正切函数值

易错点

向量的数量积

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

12

解析

由上题中知，则．

可得．

由可得，

故．

考查方向

本题考查了两角和与差的三角函数，正弦定理。

解题思路

利用两角和与差的三角函数结合正弦定理公式转化求解三角形的面积。

易错点

两角和与差的三角函数，正弦定理公式。

1
题型：简答题
|
分值: 12分

某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售．该店统计了近10天的饮品销量，如图所示：设为每天饮品的销量，为该店每天的利润．

19.求关于的表达式；

20.从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

考查方向

本题考查了频率分布直方图的应用

解题思路

利用频率分布直方图，列出函数的关系式。

易错点

频率分布直方图的应用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由上题可知：日销售量不少于20杯时，日利润不少于96元．日销售量为20杯时，日利润为96元，日销售量为21杯时，日利润为97元．从条形图可以看出，销量为20杯的有3天，销量为21杯的有2天．………………………………………………8分

销量为20杯的3天，记为，，，销量为21杯的2天，记为，，从这5天中任取2天，包括，，，，，，，，，，共10种情况．………………………………………………………………10分

其中选出的2天销量都为21天的情况只有1种，故其概率为．……………12分

考查方向

本题考查了古典概率的求法

解题思路

记销量为20杯的3天为a，b，c，，记为销量为21杯的2天A，B，从这5天中任取2天，列出事件情况，求解概率。

易错点

列举事件的个数

1
题型：简答题
|
分值: 12分

在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与ADEF是边长均为的正方形，四边形ABGF是直角梯形，，且。

21.求证：平面BCG面EHG；

22.若，求四棱锥G－BCEF的体积．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

连接BH，由可知

；；

，

可得，从而．………………………………………3分

∵， ∴，

又∵，∴，∴，∴，

∵，∴．…………………………………………6分

考查方向

本题考查了面面垂直的证明

解题思路

连接BH，证HG⊥GB，从而CB⊥平面ABGF，进而CB⊥HG，再证明HG⊥平面BCG，从而平面EHG⊥平面BCG。

易错点

面面垂直的证明

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

过B作AF的平行线交于FG的延长线于点P，连接AP，FB交于点O．过G作，

则，………………………8分

可得四边形BCEF的面积，……10分

故．…………………12分

考查方向

本题考查了四棱锥的体积的求法

解题思路

过B作AF的平行线交于FG的延长线于点P，连接AP、FB交于点O，过G作GK⊥FB于K，由此能求出四棱锥G﹣BCEF的体积。

易错点

四棱锥的体积的求法

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知椭圆C：的离心率为，过.左焦点F且垂直于长轴的弦长为．

23.求椭圆C的标准方程；

24.点为椭圆C的长轴上的一个动点，过点且斜率为的直线交椭圆C于A、B两点，证明：为定值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由，可得椭圆方程．…………………4分

考查方向

本题考查了椭圆的离心率及通径

解题思路

根据离心率及通径构造方程组，求得a，b

易错点

通径的计算

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

设的方程为，代入并整理得：

．………………………………………………………6分

设，则，

同理．……………………………………………………………………8分

则 

所以，|PA|2＋|PB|2是定值．……………………………………………………………12分

考查方向

本题考查了直线与椭圆位置关系，圆锥曲线中定点定值问题

解题思路

直线与椭圆联立，根据韦达定理，弦长公式，采用设而不求法，证明|PA|2+|PB|2为定值。

易错点

圆锥曲线的计算，设而不求思想

1
题型：简答题
|
分值: 10分

选修4—5：不等式选讲

设函数．

30.当时，求不等式的解集；

31.若不等式，在上恒成立，求的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵，

，

故解集为．……………5分

考查方向

本题考查了绝对值不等式的解法

解题思路

分三类讨论两个绝对值的符号，解三个不等式组。

易错点

绝对值不等式的解法

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

在上恒成立在上恒成立

在上恒成立，

故的范围为．……………10分

考查方向

本题考查了函数的恒成立问题

解题思路

去绝对值转化为函数的最值问题。

易错点

函数的恒成立问题

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知函数，.

25.当时，求函数在处的切线方程；

26.令，求函数的极值；

27.若，正实数满足，证明：．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

当时，，则，所以切点为，

又，则切线斜率，

故切线方程为，即.………………………………………3分

考查方向

本题考查了利用导数研究曲线的切线方程

解题思路

求导数，得斜率，写方程

易错点

函数的导数

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，函数无极值；当时，函数有极大值

解析

，

则，……………………………………4分

当时，∵，∴.

∴在上是递增函数，函数无极值点，………………………………5分

当时，，

令得.

∴当时，；当时，.

因此在上是增函数，在上是减函数. ……………………………7分

∴时，有极大值.

综上，当时，函数无极值；

当时，函数有极大值.……………………………………8分

考查方向

本题考查了利用导数研究函数的极值

解题思路

求导数，然后通过研究不等式的解集讨论原函数的单调性，确定函数的极值。

易错点

分类讨论的思想

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

证明：当时，，.

由，即，

从而

令，则由得：，

可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

∴，∴，

∵，，∴成立. ………………………………………12分

考查方向

本题考查了利用导数证明单调性进一步研究不等式问题

解题思路

结合已知条件构造函数，利用导数证明单调性进一步研究不等式。

易错点

利用导数证明单调性

1
题型：简答题
|
分值: 10分

选修：坐标系与参数方程

已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．若直线与圆相交于不同的两点，．

28.写出圆的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；

29.若弦长，求直线的斜率．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

，圆心为，半径为

解析

（1）由，得.

将，代入可得，配方，得：

，所以圆心为，半径为.…………………………5分

考查方向

本题考查了极坐标化为直角坐标，圆的标准方程

解题思路

利用极坐标化为直角坐标的方法，写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径。

易错点

极坐标化为直角坐标

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

或

解析

由直线的参数方程知直线过定点，则由题意，知直线的斜率一定存在．

设直线的方程为的方程为．因为，所以，

解得或.………………………………………………………………10分

考查方向

本题考查了点到直线距离公式

解题思路

点到直线距离公式得方程求解。

易错点

点到直线距离公式的运用

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