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1.
正确答案
2.已知集合,
,则
正确答案
3.函数的图像大致为
正确答案
4.已知向量,
满足
,
,则
正确答案
5.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为
正确答案
6.双曲线的离心率为
,则其渐近线方程为
正确答案
7.在中,
,
,
,则
正确答案
8.为计算,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入
正确答案
9.在正方体中,
为棱
的中点,则异面直线
与
所成角的正切值为
正确答案
10.若在
是减函数,则
的最大值是
正确答案
11.已知,
是椭圆
的两个焦点,
是
上的一点,若
,且
,则
的离心率为
正确答案
12.已知是定义域为
的奇函数,满足
.若
,则
正确答案
13.曲线在点
处的切线方程为__________.
正确答案
y=2x–2
14.若满足约束条件
则
的最大值为__________.
正确答案
9
15.已知,则
__________.
正确答案
16.已知圆锥的顶点为,母线
,
互相垂直,
与圆锥底面所成角为
,若
的面积为
,则该圆锥的体积为__________.
正确答案
8π
17.(12分)
记为等差数列
的前
项和,已知
,
.
(1)求的通项公式;
(2)求,并求
的最小值.
正确答案
(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=–15.
由a1=–7得d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n–9.
(2)由(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16.
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为–16.
18.(12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了与时间变量
的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量
的值依次为
)建立模型①:
;根据2010年至2016年的数据(时间变量
的值依次为
)建立模型②:
.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
正确答案
(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=–30.4+13.5×19=226.1(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=99+17.5×9=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19.(12分)
如图,在三棱锥中,
,
,
为
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)若点在棱
上,且
,求点
到平面
的距离.
正确答案
(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=.
连结OB.因为AB=BC=,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=
=2.
由知,OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC==2,CM=
=
,∠ACB=45°.
所以OM=,CH=
=
.
所以点C到平面POM的距离为.
20.(12分)
设抛物线的焦点为
,过
且斜率为
的直线
与
交于
,
两点,
.
(1)求的方程;
(2)求过点,
且与
的准线相切的圆的方程.
正确答案
(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x–1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由得
.
,故
.
所以.
由题设知,解得k=–1(舍去),k=1.
因此l的方程为y=x–1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为
,即
.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
解得
或
因此所求圆的方程为
或
.
21.(12分)
已知函数.
(1)若,求
的单调区间;
(2)证明:只有一个零点.
正确答案
(1)当a=3时,f(x)=,f ′(x)=
.
令f ′(x)=0解得x=或x=
.
当x∈(–∞,)∪(
,+∞)时,f ′(x)>0;
当x∈(,
)时,f ′(x)<0.
故f(x)在(–∞,),(
,+∞)单调递增,在(
,
)单调递减.
(2)由于,所以
等价于
.
设=
,则g ′(x)=
≥0,仅当x=0时g ′(x)=0,所以g(x)在(–∞,+∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.
又f(3a–1)=,f(3a+1)=
,故f(x)有一个零点.
综上,f(x)只有一个零点.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),直线
的参数方程为
(
为参数).
(1)求和
的直角坐标方程;
(2)若曲线截直线
所得线段的中点坐标为
,求
的斜率.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设函数.
(1)当时,求不等式
的解集;
(2)若,求
的取值范围.
正确答案
(1)曲线的直角坐标方程为
.
当时,
的直角坐标方程为
,
当时,
的直角坐标方程为
.
(2)将的参数方程代入
的直角坐标方程,整理得关于
的方程
.①
因为曲线截直线
所得线段的中点
在
内,所以①有两个解,设为
,
,则
.
又由①得,故
,于是直线
的斜率
.
正确答案
(1)当时,
可得的解集为
.
(2)等价于
.
而,且当
时等号成立.故
等价于
.
由可得
或
,所以
的取值范围是