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1.已知全集,
,则
( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
8.已知函数在
恰有4个零点,则正整数
的值为( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
9.函数的最大值是( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
4.在正项等比数列中,
,则
的值是( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
3.向量,
,且
∥
,则
( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
7.已知满足
,则目标函数
的最小值是( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
6.定义运算,若函数
在
上单调递减,则实数
的取值范围是( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
10.在中,若
,则
的形状是( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
11.设、
都是非零向量,下列四个条件中,一定能使
成立的是( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
12.已知,现给出如下结论:
①;
②;
③;
④.
其中正确结论的序号为( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
5.已知且
,函数
在同一坐标系中的图象可能是( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
2.已知直线m、n和平面α,在下列给定的四个结论中,m∥n的一个必要但不充分条件是( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
13.已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆),根据图中标出的数据,这个几何体的体积是_______
正确答案
解析
根据三视图可知,该几何体是组合体:一个长方体与一个半圆柱.根据图中数据得到其体积为,答案为
.
知识点
14.若直线与幂函数
的图象相切于点
,则直线
的方程为 _______
正确答案
解析
由已知,在幂函数
的图象上,即
,
,
.
由导数的几何意义,切线的斜率为,所以,由直线方程的点斜式得直线
的方程为
.
知识点
15.已知函数是
上的奇函数,且
的图象关于直线
对称,当
时,
,则
_______
正确答案
-1
解析
∵的图象关于直线
对称,∴
,
又是
上的奇函数,∴
,
∴,即4为
的周期,
∴.
由时,
,得
,
由,得
,
∴,
故答案为.
知识点
16.若对任意,
,(
、
)有唯一确定的
与之对应,称
为关于
、
的二元函数。现定义满足下列性质的二元函数
为关于实数
、
的广义“距离”:
(1)非负性:,当且仅当
时取等号;
(2)对称性:;
(3)三角形不等式:对任意的实数z均成立。
今给出四个二元函数:
①;
②
③;
④.
能够成为关于的、
的广义“距离”的函数的所有序号是 _______
正确答案
①
解析
①对于函数:满足非负性:
,当且仅当
时取等号;满足对称性:
;
∵,对任意的实数
均成立,因此满足三角形不等式:
.可知
能够成为关于的
、
的广义“距离”的函数.
②,但是不仅
时取等号,
也成立,因此不满足新定义:关于的
、
的广义“距离”的函数;
③,若
成立,则
不一定成立,即不满足对称性;
④同理不满足对称性.
综上可知:只有①满足新定义,能够成为关于的、
的广义“距离”的函数.故答案为①.
知识点
20.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点。
(1)求证:B1D1∥平面A1BD;
(2)求证:MD⊥AC;
(3)试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D。
正确答案
(1)由直四棱柱概念,
得BB1//DD1,
∴四边形BB1D1D是平行四边形,
∴B1D1∥BD.
而BD⊂平面A1BD,B1D1⊄平面A1BD,
∴B1D1∥平面A1BD.
(2)∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴BB1⊥AC.
又∵BD⊥AC,且BD∩BB1=B,
∴AC⊥平面BB1D1D.
而MD⊂平面BB1D1D,
∴MD⊥AC.
(3)当点M为棱BB1的中点时,取DC的中点N,D1C1的中点N1,
连接NN1交DC1于O,连接OM,如图所示.
∵N是DC的中点,BD=BC,
∴BN⊥DC.
又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线,
而平面ABCD⊥平面DCC1D1,
∴BN⊥平面DCC1D1.
又可证得,O是NN1的中点,
∴BM∥ON且BM=ON,
即四边形BMON是平行四边形,
∴BN∥OM,
∴OM⊥平面CC1D1D,
因为OM⊂面DMC1,
所以平面DMC1⊥平面CC1D1D.
解析
(1)由直四棱柱概念,得BB1//DD1,
得到四边形BB1D1D是平行四边形,
从而B1D1∥BD,由直线与平面平行的判定定理即得证.
(2)注意到BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,推出BB1⊥AC.
又BD⊥AC,即得AC⊥平面BB1D1D.而MD⊂平面BB1D1D,故得证.
(3)分析预见当点M为棱BB1的中点时,符合题意.
此时取DC的中点N,D1C1的中点N1,
连接NN1交DC1于O,连接OM,
证得BN⊥DC.
又DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线,
而平面ABCD⊥平面DCC1D1,
推出BN⊥平面DCC1D1.
又可证得,O是NN1的中点,
由四边形BMON是平行四边形,
得出OM⊥平面CC1D1D,得证.
知识点
21.某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为元,并且每件商品需向总店交
元的管理费,预计当每件商品的售价为
元时,一年的销售量为
万件。
(1)求该连锁分店一年的利润(万元)与每件商品的售价
的函数关系式
;
(2)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润最大,并求出
的最大值。
正确答案
(1)由题意,该连锁分店一年的利润(万元)与售价
的函数关系式为
.
(2),
,
令,得
或
,
因为,,
所以,.
①当时,
,
,
是单调递减函数.
故
②当,即
时,
时,
;
时,
在
上单调递增;
在上单调递减,
故
答:当每件商品的售价为7元时,
该连锁分店一年的利润最大,
最大值为万元;
当每件商品的售价为
元时,
该连锁分店一年的利润最大,最大值为
万元.
解析
(1)由题意,该连锁分店一年的利润(万元)与售价
的函数关系式为
.
(2)通过确定,
求导数得到,
令,求得驻点,
根据,
.讨论
① 当时,
②当,
时,
数值的正负,求得最大值.
知识点
22.已知函数在
上是增函数,
上是减函数。
(1)求函数的解析式;
(2)若时,
恒成立,求实数m的取值范围;
(3)是否存在实数b,使得方程在区间
上恰有两个相异实数根,若存在,求出b的范围,若不存在说明理由。
正确答案
(1)
依题意得,所以
,
从而
(2)
令,
得或
(舍去),
所以
(3)设,
即,
.
又,
令,得
;
令,得
.
所以函数的增区间
,减区间
.
要使方程有两个相异实根,则有
,
解得
解析
(1)求导数,求驻点,根据驻点函数值为0,
得到的方程,进一步得到函数解析式.
(2)通过求导数、求驻点及驻点的唯一性,
得到函数的最值,
使
(3)构造函数,
即,
.
利用导数法,研究函数的单调区间,
得增区间,减区间
.
从而要使方程有两个相异实根,
须有,得解.
知识点
19.已知等比数列为递增数列,且
,
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)令,不等式
的解集为
,求所有
的和
正确答案
(Ⅰ)设的首项为
,公比为
,
所以,
解得
又因为,
所以
则,
,
解得(舍)或
所以
(Ⅱ)则,
当为偶数,
,即
,不成立
当为奇数,
,即
,
因为,所以
组成首项为
,公比为
的等比数列,
则所有的和
解析
(Ⅰ)设的首项为
,公比为
,
依题意可建立其方程组,不难求得.
(Ⅱ)根据,
要注意分n为偶数, 为奇数,加以讨论,
明确是首项为
,公比为
的等比数列,
利用等比数列的求和公式,计算得到所有的和.
知识点
17.已知函数(
)的最小正周期为
(Ⅰ)求函数的单调增区间;
(Ⅱ)将函数的图象向左平移
个单位,再向上平移
个单位,得到函数
的图象.求
在区间
上零点的个数
正确答案
(Ⅰ)由题意得
由周期为,得
.得
由正弦函数的单调增区间得
,得
所以函数的单调增区间
.
(Ⅱ)将函数的图象向左平移
个单位,再向上平移1个单位,
得到的图象,所以
令,得:
或
所以函数在每个周期上恰有两个零点,
恰为
个周期,故
在
上有
个零点
解析
(Ⅰ)由题意得,首先化简函数.
得到.根据复合函数的单调性及正弦函数的单调增区间得
函数的单调增区间
.
(Ⅱ)根据“左加右减,上加下减”,得到,根据
得到
或
函数在每个周期上恰有两个零点,
恰为
个周期,故
在
上有
个零点.
知识点
18.在中,角
对边分别是
,且满足
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,
的面积为
;求
正确答案
(Ⅰ)由余弦定理得
代入得
,
∴,
∵,
∴
(Ⅱ)
解得:
解析
(Ⅰ)由余弦定理确定得到, 根据角的范围
,即得
.
解题的关键是对余弦定理得熟练掌握及数学式子的变形能力.
(Ⅱ)根据三角形面积、余弦定理,建立的方程组
,求得
.