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2.已知复数(其中i是虚数单位),则复数z所对应的点位于复平面的第()象限。
正确答案
四
解析
,对应的点的坐标是
,在第四象限。
知识点
3.如图是一个算法的流程图,若输入x的值为2,则输出y的值是________.
正确答案
-
解析
略。
知识点
11.在平面直角坐标系中,设直线
与圆
交于
两点,
为坐标原点,若圆上一点
满足
,则
()
正确答案
2
解析
即:,整理化简得:
,即
过点
作
的垂线交
于
,又圆心到直线的距离为
,所以
,所以,
.
知识点
5.设函数f(x)=cos(2x+φ),则“f(x)为奇函数”是“φ=”的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件.
正确答案
必要不充分
解析
略。
知识点
10.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
若
的面积为
,则
的最小值为_________.
正确答案
4
解析
考查正(余)弦定理及三角形面积公式,基本不等式等知识。
知识点
4.某班全体学生参加口语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是________.
正确答案
50
解析
由频率分布直方图,低于60分的频率为(0.01+0.005)×20=0.3.所以该班学生人数为=50.
知识点
7.与正方体各面都相切的球,它的表面积与正方体表面积之比为________.
正确答案
π:6
解析
正方体的棱长与球的直径相等.
知识点
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为________.
正确答案
4
解析
设公差为d,则
即又a4=a1+3d,由线性规划可知a1=1,d=1时,a4取最大值4.
知识点
9.已知函数y=sinωx(ω>0)在区间[0,]上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,则ω的
取值集合为()
正确答案
解析
即
,其中k
Z,则k=
或k=
或k=1.
知识点
6.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的5个小球,这些小球除标注数字外完全相同.现从中随机取2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是__________.
正确答案
解析
基本事件为(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5),其中和为3或6的有3个,因而有P=.
知识点
13.已知是定义在
上的奇函数,且当
时,
,函数
,且对
,
,使得
,则实数
的取值范围是()
正确答案
解析
由已知得,,由条件知,
解得,
知识点
1.集合M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则M∩N=________.
正确答案
(1,2]
解析
∵M=(1,+∞),N=[-2,2],∴M∩N=(1,2].
知识点
12.若关于x的方程=kx+1-2k(k为实数)有三个实数解,则这三个实数解的和为()
正确答案
6
解析
两个函数的图象均关于点(2,0)对称.
知识点
14.若实数x,y满足,则x的取值范围是()
正确答案
{0}[4,20].
解析
令,则a2+b2=x,已知条件即a2+b2-4a-2b=0(a≥0,b≥0)得(a-2)2+(b-1)2=5(a≥0,b≥0)得以(2,1)为圆心,
为半径,过原点的圆满足a≥0,b≥0的点.即图中及原点.x为相应点与原点距离的平方,x∈{0}∪[4,20].
知识点
16.如图,在三棱柱中,侧棱与底面垂直,
,
,点
分别为
和
的中点.
(1)求证:平面平面
;
(2)求证:平面
.
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:在中,
在中,
.
,即
为等腰三角形.
又点为
的中点,
.
又四边形
为正方形,
为
的中点,
,
平面
,
平面
平面
(2)证明:连接
由题意知,点分别为
和
的中点,
.
又平面
,
平面
,
平面
.
知识点
17.一个圆柱形圆木的底面半径为1m,长为10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形ABCD(如图所示,其中O为圆心,C、D在半圆上),设∠BOC=θ,木梁的体积为V(m3),表面积为S(m2).
(1)求V关于θ的函数表达式;
(2)求体积V的最大值;
(3)当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?请说明理由.
正确答案
见解析。
解析
(1)梯形ABCD的面积
SABCD=·sinθ=sinθcosθ+sinθ,
体积V(θ)=10(sinθcosθ+sinθ),.
(2)V′(θ)=10(2cos2θ+cosθ-1)
=10(2cosθ-1)(cosθ+1).
令V′(θ)=0,得cosθ=,或cosθ=-1.
∵,∴cosθ=
,∴θ=
.
当时,
<cosθ<1,V′(θ)>0,V(θ)为增函数;
当时,0<cosθ<
,V′(θ)<0,V(θ)为减函数.
∴当θ=时,体积V最大,最大值为
.
(3)木梁的侧面积
S侧=(AB+2BC+CD)·10=20,
.
S=2SABCD+S侧=2(sinθcosθ+sinθ)+20(cosθ+2sin+1),
.
设g(θ)=cosθ+2sin+1,
.
∵g(θ)=-2sin2+2sin
+2,
∴当sin=
,即θ=
时,g(θ)最大.
又由(2)知θ=时,sinθcosθ+sinθ取得最大值,
∴θ=时,木梁的表面积S最大.
综上,当木梁的体积V最大时,其表面积S也最大.
知识点
18.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
经过点
,椭圆的离心率
,
、
分别是椭圆的左、右焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两直线与椭圆
分别交于相异两点
、
.
①若直线过坐标原点
,试求
外接圆的方程;
②若的平分线与
轴平行,试探究直线
的斜率
是否为定值?若是,请给予证明;若不是,请说明理由.
正确答案
见解析。
解析
(1)由,
,得
,故椭圆方程为
又椭圆过点,则
,解得
,所以椭圆的方程为
(2)①记的外接圆的圆心为
.因为
,所以
的中垂线方程为
,
又由,
,得
的中点为
,而
,
所以的中垂线方程为
,由
,得
所以圆T的半径为,
故的外接圆的方程为
……
(说明:该圆的一般式方程为)
②设直线的斜率为
,
,
,由题直线
与
的斜率互为相反数,
直线的斜率为
.联立直线
与椭圆方程:
,整理得
,得
,
所以,整理得
,
又
=,所以
为定值
知识点
20.已知数列{}、{
}满足:
.
(1)求;
(2)证明:是等差数列,并求数列
的通项公式;
(3)设,求实数a为何值时
恒成立.
正确答案
见解析。
解析
(1)
∵∴
.
(2)∵∴
.
∴数列{}是以-4为首项,-1为公差的等差数列.
∴∴
.
(3).
∴,
∴.
由条件可知恒成立即可满足条件设
,
a=1时,恒成立,a>1时,由二次函数的性质知不可能成立.
a<l时,对称轴,f(n)在
为单调递减函数.
,
∴,∴a<1时
恒成立.
综上知:a≤1时,恒成立.
知识点
15.在平面直角坐标系中,设角
的始边与
轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点
,将射线
按顺时针方向旋转
后与单位圆交于点
.记
,其中角
为锐角.
(1)求函数的值域;
(2)设的角
所对的边分别为
,若
,且
,
,求
.
正确答案
见解析。
解析
(1)由题意,得,
所以=
,
因为,所以
,故
.
(2)因为,又
,所以
,
在中,由余弦定理得
,即
,
解得或
.
知识点
19.设函数
(1)当时,求函数
的极值;
(2)当时,讨论函数
的单调性.
(3)若对任意及任意
,恒有
成立,求实数
的取值范围.
正确答案
见解析。
解析
(1)函数的定义域为.当
时,
当
时,
单调递减;当
时,
单调递增
,无极大值.
(2)
当,即
时,
在定义域上是减函数;
当,即
时,令
得
或
令
得
当,即
时,令
得
或
令
得
综上,当时,
在
上是减函数;当
时,
在
和
单调递减,在
上单调递增;当
时,
在
和
单调递减,在
上单调递增;
(3)由(Ⅱ)知,当时,
在
上单减,
是最大值,
是最小值.
,而
经整理得
,由
得
,所以