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文科数学 太原市2017年高三第四次月考
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文科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2、简答题
13
14
15
16
17
18
19
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单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2.设集合，，则

A

B

C

D

正确答案

C

解析

先化简集合A={x|2B= ()

考查方向

本题主要考查交集的运算, 二次不等式的解法

解题思路

先化简集合A，然后再求交集。

易错点

二次不等式的解法， 交集的运算

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4.已知数列，则

A1

B4

C-4

D5

正确答案

C

解析

=4;=-1;=-5;=-4=1;=5,……，数列以6为周期，1，5，4，-1，-5，-4；所以，2016=6，所以。

考查方向

数列的递推关系式。数列的周期性运算。

解题思路

根据数列的特点，观察前若干项的规律，得到该数列是周期数列。即可求解

易错点

没有观察到数列的规律。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6.已知==2，且它们的夹角为，则＝

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解法(1).=+2ab=4+4+=12,所以| |=2.

解法(2). 可画图，直接求解.

考查方向

本题主要考查平面向量的数量积和向量模的运算.

解题思路

先将向量平方，结合题中的a与b的向量模以及它们的夹角，求出|+

易错点

在转化过程中忘记开方.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8.如右图所示的程序的输出结果为S=1320，则判断框中应填

A

B

C

D

正确答案

D

解析

s=1;s=1; s=1; s=1;l=9时不成立，所以选择D.

考查方向

本题主要考查程序框图的处理，本题主要考查判断框循环结构。

解题思路

直接按照题中的运行顺序，求出不同i循环数值下的s的值。再结合答案求解。

易错点

对循环结构的次数弄不清。对判断结构判断不准。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1.的值为

A

B

C

D

正确答案

B

解析

cos= cos= cos-

考查方向

三角函数的诱导公式，特殊三角函数值。

解题思路

直接由诱导公式化简，再由特殊三角函数求值。

易错点

三角函数的诱导公式应用不熟

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3.复数（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是

A

B

C

D

正确答案

B

解析

==2-2i,所以答案选B.

考查方向

本题考查复数的除法，及复数的相关概念.

解题思路

先化简复数得2-2i，即可求出。

易错点

化简后, 忽视中“共轭复数”而出错.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5.取一根长度为4m的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得的两段长度都不小于1.5m的

概率是

A

B

C

D

正确答案

A

解析

小于1.5的概率为，所以不小于1.5的概率=

考查方向

几何概率计算方法

解题思路

根据几何概型的特点，直接求解。

易错点

题意不清，导致计算错误。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7.给出下列命题：①； ②；

③；   ④

其中正确的命题是

A①②

B②③

C③④

D②④

正确答案

D

解析

①当c=0时不成立；②.满足不等式的性质，正确；③.例如:|1|>-2不能得出 1>4，不成立；④. 满足不等式的性质，正确；②④正确，所以选D.

考查方向

不等式的基本性质简单应用。

解题思路

利用不等式的基本性质判断，注意不等式的条件。

易错点

忽略不等式性质中的条件.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

10.已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是

A

B

C

D

正确答案

C

解析

画出直观图，直接计算v=.

考查方向

本题主要考查几何体的三视图，直观图的画法及几何体的体积运算。

解题思路

正确画出直观图，判断几何体的空间位置关系，找出计算体积的重要参量。

易错点

对三视图判断不准确，导致体积求错。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

11.气象意义上的春季进入夏季的标志为：“连续五天每天日平均温度不低于22℃”，现在甲.乙.丙三地连续五天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）：

甲地：五个数据的中位数是24，众数为22；

乙地：五个数据的中位数是27,平均数为24；

丙地：五个数据中有一个数据是30，平均数是24，方差为10.

则肯定进入夏季的地区有

A0个

B1个

C2个

D3个

正确答案

B

解析

甲地肯定进入夏季，因为众数为22°；所以22°至少出现两次，若有一天低于22°，中位数不可能为24°；丙地不一定进入夏季，设其它的四天温度数为10，其中成立；乙地不一定进入夏季，如：13，23，27，28，29。所以答案选B.

考查方向

本题主要考查众数，中位数，方差，平均数的应用, 解题时要注意审题, 熟练掌握基本概念基本方法。

解题思路

利用众数，中位数，方差，平均数的性质求解。

易错点

审题不清,方法选择不恰当。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

9.定义在R上的函数在上为增函数，且函数为偶函数，则

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由图象可知，f(4)= f(6-2); f(5)= f(6-1); f(7)= f(6+1); f(4)> f(5)= f(7),所以选项为B.

考查方向

本题主要考查抽象函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，数形结合的综合应用。

解题思路

先画出模拟图像，保证函数在上为增函数，再根据平移，作出关于y轴对称的函数图像，利用数形结合即可求解。

易错点

不能正确的画出抽象函数的图像，对抽象函数的性质理解不到位。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

12．已知圆的半径为2，PA，PB为圆的两条切线，A.B为切点（A与B不重合），则的最小值为

A

B

C

D

正确答案

C

解析

因为PA,PB为圆的两切线，所以APO,设∠APO=，AP=x，在RtAPO中，tan= ,==(x>0) ,设(t>0), =()+-12 ,所以答案选择C.

考查方向

本题主要考查直线与圆的位置关系。向量的数量积，三角函数，不等式等。

解题思路

首先将题中的数量积表示为直角三角形APO的边与角的关系式。再利用三角形的定义进行转化为，利用均值不等式求最小值。

易错点

本题容易在向量转化三角.再转化成不等式求最小值时出错。

简答题（综合题） 本大题共90分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 10分

海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进

口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

17.（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1）2,1,3  （2）

解析

(1).因为样本容量与总体中的个数的比是 ，所以样本中包含三个地区的数量分别为100=2；50=1；150=3. 所以这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量2,1,3.

(2). 设六件来自A,B,C三个地区的样品分别为,，则抽取的这两件商品构成的所有基本事件为:{}.{}.{}.{}{}.{}.{}.{}.{}.{}{}.{}.{}.{}.{}共15个，每个样品被抽到的机会均等，因此，这些基本是店出现是等可能的，记事件D: “抽取的这两件商品来自相同地区”。 则事件D包含的基本事件有: {}.{}.{}.{}共4个, 所以这两件商品来自相同地区的概率为.

考查方向

本题主要考查分层抽样，古典概型概率的计算

解题思路

(1). 首先确定样本容量与总体的个数比是, 从而得到样本中包含三个地区的个体数量。(2). 设六件来自A,B,C三个地区的样本分别是,, 写出抽取的这2件商品构成的所有基本事件数共计15，然后再写出抽取的这两件商品来自相同地区的事件数，用古典概型概率的计算公式即可求解。

易错点

在统计基本事件总数以及发生事件数时易出错。

1
题型：简答题
|
分值: 12分

18.已知数列中，，

求证：（1）是等比数列；（2）求的通项公式及前n项和.

正确答案

见解析

解析

（1）证明：

    ，

是以为首项，为公比的等比数列

（2）

考查方向

本题主要考查构造新数列的方法，以及数列的前项和的求法。

解题思路

(1).可以利用待定系数法，从证明的结论入手,,求出得证。

易错点

构造新数列的方法不得当，导致通项求错

1
题型：简答题
|
分值: 12分

20. 如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，

点D.E在线段AC上，且AD=DE=EC=1，PD=PC=2，点F在

线段AB上，且EF∥BC.

⑴证明：AB⊥平面PFE；

⑵若BC=，求四棱锥P-DFBC的体积.

正确答案

(1).见解析 (2).

解析

（1）

平面平面于平面

且平面

（2）=

又

考查方向

(1). 本题主要考查线面平行的性质，线面垂直的判定，椎体体积的计算

解题思路

(1). 根据相等的条件, 首先证出PE⊥AC, PE垂直于底面, 根据线段成比例, EF平行于BC, 可证出AB垂直EF, 再根据线垂直的五个条件即可证明线面垂直.

(2). 在确定椎体体积时, 可知PE=, 余下的就是确定底面四边形BCDE的面积了，可通过题中数据关系及位置关系，应用平面几何的思想，利用三角形ABC的面积减去三角形FAD的面积，求出面积底面积为，即可求得体积。

易错点

(1).在证明线面平行时，步骤不严密；(2).在计算体积时，底面的计算。

1
题型：简答题
|
分值: 12分

21.已知△ABC的外接圆半径为，且

⑴求角C；⑵求△ABC面积S的最大值.

正确答案

（1）         （2）

解析

(1).设三角形的外接圆半径为r。则r= ，由正弦定理得，a=2rsinA, b=2rsinB, 所以原等式可以转化为,,=,由余弦定理cosC== ，又C,所以C= .

(2).S====

=

=

=+=sin2A-cos2A+1

=1+(2A-)，因为A, 2A-,,令2A-= ，解得A=,所以当A=时，△ABC面积S取得最大值1+,

考查方向

本题主要考查解三角形中的正弦定理，余弦定理的应用，三角函数的恒等变换，三角函数重要性质。

解题思路

(1). 将题中的边角混合关系通过正弦定理转化成边的关系，再根据边的关系的特点，利用余弦定理求出角；（2）.由 S=，先讲面积转成角度的关系，再将角A角B进行统一, 接下来利用三角恒等变换转化“一角一函数”的结构，即1+(2A-)，结合角A的范围以及三角函数图像求出面积的最大值。

易错点

解三角形中的正弦定理，余弦定理的综合应用，三角恒等变形以及三角函数的重要性质。

1
题型：简答题
|
分值: 20分

填空题

13.若实数x,y满足约束条件，则x-3y的最小值为        .

14.若命题“”为假命题，则实数的取值范围是        .

15.设，则按照从小到大的顺序依次排列为        .

16.平行四边形ABCD中，，，沿BD将△ABD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为        .

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

-9

解析

由约束条件做出可行域，如图，联立 解得B(3,4),化目标函数z=x-3y为y=，由图可知，当直线y=过点B时，z有最大值，z=3-3

考查方向

本题考查简单线性规划，考查数形结合的解题思想。

解题思路

由约束条件作出可行域。化目标函数为直线方程的斜截式；数形结合得到最优解。联立方程组，求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数即得答案。

易错点

可行域画的不正确，目标函数转化有错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

[-2,2]

解析

由题意可知，对x,恒成立，即判别式,解得 [-2,2]

考查方向

全称命题与特称命题，二次不等式解法

解题思路

特称命题的否定为全称命题，假命题的否定为真命题。所以对x,恒成立，即可由二次不等式求解。

易错点

全程命题与特称命题的关系不清楚，二次不等式解法有错误。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

c

解析

因为=2<< ,所以c

考查方向

本题主要考查指数函数，对数函数的单调性。

易错点

不能正确的处理

第(4)小题正确答案及相关解析

正确答案

6

解析

如图，设AB=DC=x；BD=y,因为,所以 ,又平面ABD⊥平面BCD，易得折后的三棱锥中，AB⊥BC，所以外接球的球心为AC中点O,而=2 ,所以外接球的半径为 ，外接球表面积为4=6.

考查方向

本题主要考查立体几何中的折展，球与几何体的切接问题。

解题思路

首先理清平面图形的数量关系与位置关系, 然后画出立体图形, 论证四面体的外接球的球心所在的位置，进而求出外接球的体积。

易错点

折展前后的位置关系与数量关系的论证，以及球与几何体切接的处理方法。

1
题型：简答题
|
分值: 12分

19. 下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据:

⑴在给定坐标系中，画出上表数据的散点图；

⑵根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的回归方程；

⑶已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据⑵求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤.

参考公式：，.

正确答案

(1)见解析. （2）     （3）20.35

解析

(1).解：如图。

 (2)., , , ,回归方程中的系数b==0.7 , ,所以线性回归方程为

(3). 由(2)求出的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低吨标准煤.

考查方向

本题主要考查线性回归方程，两个变量之间的关系除了函数关系还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值获得对这两个变量之间整体关系的了解。

解题思路

(1). 把所给的四队数据写成对应的坐标。在坐标系中描出来, 得到散点图.(2). 根据所给的这种数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据。代入求系数b的公式求得结果，再把样本中心代入求出a的值，得到线性回归方程；(3). 根据上一问所求得的线性回归方程。把x=100代入线性回归方程。既可估计生产100吨甲产品的生产能耗。

易错点

不理解回归方程中系数的算法，导致计算出错。

1
题型：简答题
|
分值: 12分

22.已知函数，若在上的最小值记为.

⑴求；⑵证明：当时，恒有.

正确答案

(1).   (2).略

解析

（1）.

（2）ⅰ）当时，    

恒成立

ⅱ）当时，

恒成立

ⅲ）当时

，

恒成立

综合ⅰ）.ⅱ）.ⅲ）可知，对于，恒成立。

考查方向

(1). 本题主要考查学生利用导数解决最值问题的相关知识的掌握情况。(2). 利用导数的相关知识，结合分类讨论, 证明有关恒成立的问题。

解题思路

(1). 分类讨论利用导数确定函数的单调性。即可求出函数的最小值。

(2).设函数分类讨论，可以证明对于，恒成立。

易错点

分类讨论，导数相关知识的应用。

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