文科数学常州市2016年高三期末试卷

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填空题本大题共14小题，每小题5分，共70分。把答案填写在题中横线上。

3．“”是“直线和直线平行”的___________条件；（选“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”填空）

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5．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为___________；

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8．圆锥的侧面展开图是圆心角为π，面积为2π的扇形，则圆锥的体积是___________

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10．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为___________

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1．函数y＝的定义域是______________________；

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2．设是虚数单位，若复数满足，则复数的模=___________；

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4.若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为___________；

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6.已知等差数列的公差为，若成等比数列，那么等于 ___________；

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7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为___________

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9．已知，则=___________

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11．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，若，则的值为___________

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12．如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为___________

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13．已知函数,则方程恰有两个不同的实根时，实数a的

取值范围是___________

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14．已知圆O：，点M（1，0）圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD，求弦长AC长的取值范围___________

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简答题（综合题）本大题共90分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．在中，，

（1）求的值；

（2）若点D在边上，，求的长。

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16．在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝2，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝30°．

（1）求证：AC⊥PB；

（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长。

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19. 设数列的前项和，，，且当时，．

（1）求证:数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．

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20．已知为实常数，函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个不同的零点；

①求实数的取值范围；

②求证：.

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17. 某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．

（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；

（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．

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18. 平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆上一动点的直线，过F2与x轴垂直的直线记为，右准线记为；

①设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值。

②若连接并延长与直线相交于点Q，椭圆的右顶点A，设直线PA的斜率为，直线QA的斜率为，求的取值范围．

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