• 文科数学 常州市2016年高三期末试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1.函数y 的定义域是______________________;

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2.设是虚数单位,若复数满足,则复数的模=___________;

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3.“”是“直线和直线平行”的___________条件;(选“充分不必要” “必要不充分”  “充要” “既不充分也不必要”填空)

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4.若样本数据的标准差为,则数据的标准差为___________;

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5.阅读下面的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为___________;

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6.已知等差数列的公差为,若成等比数列,那么等于      ___________;

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7.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球中有黄球的概率为___________

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8.圆锥的侧面展开图是圆心角为π,面积为2π的扇形,则圆锥的体积是___________

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9.已知,则=___________

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10.已知双曲线 的一条渐近线过点 ,且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上,则双曲线的方程为___________

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11.已知菱形的边长为2,,点分别在边上,,若,则的值为___________

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12.如果函数在区间上单调递减,则mn的最大值为___________

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13.已知函数,则方程恰有两个不同的实根时,实数a

取值范围是___________

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14.已知圆O:,点M(1,0)圆内定点,过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD,求弦长AC长的取值范围___________

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简答题(综合题) 本大题共90分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15. 在中,

(1)求的值;

(2)若点D边上,,求的长。

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16.在四棱锥PABCD中,PC⊥平面ABCDDCABDC=2,AB=4,BC=2,∠CBA=30°.

(1)求证:ACPB

(2)若PC=2,点M是棱PB上的点,且CM∥平面PAD,求BM的长。

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17. 某油库的设计容量为30万吨,年初储量为10万吨,从年初起计划每月购进石油 万吨,以满足区域内和区域外的需求,若区域内每月用石油1万吨,区域外前个月的需求量(万吨)与的函数关系为 ,并且前4个月,区域外的需求量为20万吨.

(1)试写出第个月石油调出后,油库内储油量(万吨)与的函数关系式;

(2)要使16个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且每月石油调出后,油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定的取值范围.

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18. 平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别是,以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程;

(2)过椭圆上一动点的直线,过F2x轴垂直的直线记为,右准线记为

①设直线与直线相交于点M,直线与直线相交于点N,证明恒为定值,并求此定值。

②若连接并延长与直线相交于点Q,椭圆的右顶点A,设直线PA的斜率为,直线QA的斜率为,求的取值范围.

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19. 设数列的前项和,且当时,

(1)求证:数列是等比数列,并求数列的通项公式;

(2)令,记数列的前项和为.设是整数,问是否存在正整数,使等式成立?若存在,求出和相应的值;若不存在,说明理由.

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20.已知为实常数,函数.

(1)讨论函数的单调性;

(2)若函数有两个不同的零点

①求实数的取值范围;

②求证:.

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