文科数学 衡阳市2017年高三第一次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.已知,若A,B,C三点共线,则实数k的值为(  )

A4

B﹣4

C

D

正确答案

C

解析

因为A,B,C三点共线,所以平行,即.
【分值】5

考查方向

证明A,B,C三点共线,只需证明向量共线.

解题思路

由A,B,C三点共线,向量平行,且有一个公共点B,则两面三向量满足..

易错点

三点共线的条件.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设集合A={x|﹣2≤x≤3},B={x|x+1>0},则集合A∩B等于(  )

A{x|﹣2≤x≤﹣1}

B{x|﹣2≤x<﹣1}

C{x|﹣1<x≤3}

D{x|1<x≤3}

正确答案

C

解析

∵集合A={x|-2≤x≤3},

B={x|x+1>0}={x|x>-1},∴A∩B={x|-1<x≤3}.故选C

考查方向

集合间的交集运算(用Venn图表示)考点的理解.

解题思路

利用一元一次不等式化简集合B,再利用交集的运算即可得出.

易错点

交集的运算时错误

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.复数满足,则在复平面内,复数对应的点位于(  )

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

C

解析

,对应的点为(-1,-3).故选C.

考查方向

灵活运用复数的除法,及与复平面对应的点.

解题思路

由复数的除法,分子分母同乘分母的共轭复数,再利用复数的乘法求得.

易错点

复数的乘法,除法.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.春节前,某市一过江大桥上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的6秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以6秒内间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过3秒的概率是(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

设通电x秒后第一串彩灯闪亮,y秒后第二串彩灯闪亮,依题意得0≤x≤4,0≤y≤4,又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒,即|x-y|≤2,(如图)

,

.

所以两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率P==

考查方向

几何概型的定义及计算等考点的理解

解题思路

两串彩灯同时亮,作为两个量构建几何图形,根据面记算概率,

易错点

几何概型的确定及计算.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4+a9=24,则S9=(  )

A36

B72

C144

D70

正确答案

B

解析

∵{an}为等差数列,设首项为a1,公差为d,

∴a2+a4+a9=3a1+12d=24,即a1+4d=8,

∵S9=9a1+

d=9×(a1+4d)=9×8=72,

故选B

另解:a2+a4+a9=3a5=24 a5=8

s9=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5=72

考查方向

考查了等差数列的通项公式和前n项和公式,用到了方程思想和整体代入思想.

解题思路

利用等差数列的通项公式将a2+a4+a9用a1和d表示,再将s9用a1和d表示,从中寻找关系解决.利用等差数列的性质.

易错点

解二元一次方程组的解.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.已知函数f(x)=3cos(﹣ωx)(ω>0),函数f(x)相邻两个零点之间的绝对值为,则下列为函数f(x)的单调递减区间的是(  )

A[0,]

B[,π]

C[]

D[]

正确答案

C

解析

由函数f(x)=3cos(﹣ωx)(ω>0),函数 f(x)相邻两个零点之间的绝对值为,可得函数f(x)=3cos(﹣ωx)=3cos(ωx﹣),令,求得,结合选项,故选C

考查方向

诱导公式及余弦函数的图象的单调区间

解题思路

由条件利用诱导公式,余弦函数的单调性,求得函数f(x)的单调递减区间.

易错点

诱导公式及余弦函数的单调性.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.设不等式4x﹣m(4x+2x+1)≥0对于任意的x∈[0,1]恒成立,则实数m的取值范围是(  )

A(﹣∞,]

B[]

C[]

D[,+∞)

正确答案

A

解析

由4x﹣m(4x+2x+1)≥0,

得m(4x+2x+1)≤4x,即m≤,,,则 ,所以,则,故选A.

考查方向

指数函数的综合题.分离变量法,利用配方法求函数的最值.

解题思路

把已知不等式变形,分离参数m,然后结合指数式的值域,利用配方求得.

易错点

分离变量法,恒成立问题.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为(  )

A10+

B10+

C6+2+

D6++

正确答案

C

解析

由三视图可知,如图SABC=2,SABE=1,SACD=,SBCDE=3,另AE=DE=,,故SADE=,故表面积为C.

考查方向

空间几何体的三视图、表面积,空间想象能力.

解题思路

由三视图可知,该几何体是:底面是上、下底分别为1与2、高是2的直角梯形,高是2的四棱锥,且一条侧棱与底面垂直.

易错点

三视图还原几何体

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于C的渐近线的直线交C于点P.若PF1⊥PF2,则C的离心率为(  )

A

B

C2

D

正确答案

D

解析

双曲线的渐近线,因为所以过F2作平行于渐近线的直线,因为PF1⊥PF2,故直线PF1的方程为,联立方程组可得点P的坐标为,因为P在双曲线上,所以,即,又因,整理得,因为,所以,故选D.

考查方向

双曲线的简单性质.

解题思路

设P(x,y)通过联立直线PF2 的方程,直线PF1的方程及双曲线方程,计算即可.

易错点

齐次式求双曲线的离心率.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心,设函数g(x)=x3x2+3x﹣,则g()+g()+…+g()=(  )

A2013

B2014

C2015

D2016

正确答案

B

解析

由已知g(x)=x2﹣x+3, g’’(x)=2x+1,令g’’(x)=0,得 x=,因为g()=1,所以g(x)的对称中心为(,1),则g(1-x)+g(x)=2,因为+=+,所以g()+g()+…+g()=1007 x [g()+g(]=1007 x2=2014,故选B.

考查方向

利用导数研究函数性质,函数值求和.

解题思路

由题求出g(x),g’’(x)令g’’(x)=0,并求出对称中心,利用对称性求出结果.

易错点

利用导数研究函数的性质.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.某程序框图如图所示,若输出的S=120,则判断框内应填入(  )

Ak>4?

Bk>5?

Ck>6?

Dk>7?

正确答案

B

解析

第一次执行循环,k=2,S=4,不满足,第二次执行循环,k=3,S=11,继续执行循环体,k=4,S=26,不满足,继续执行k=5,S=57,继续执行k=6,S=120,符合题意,因此判断框的条件k>5?,故选B.

考查方向

程序框图的应用.

解题思路

根据框图,分别代入k=2,k=3,直到k=6符合,很容易选出答案.

易错点

循环结构的条件判断.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(x+2)=f(x),当x∈(0,1]时,f(x)=1﹣2|x﹣|,则函数g(x)=f(f(x))﹣x在区间内不同的零点个数是(  )

A5

B6

C7

D9

正确答案

A

解析

函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(x+2)=f(x),即有函数是关于原点对称,周期为2,当x∈(0,1]时,f(x)=1﹣2|x﹣|,即有当x∈[-1,0)时,f(x)=-1+2|x+|,由图象的平移可得在区间[-2,2]内的函数的图象,进而得到y=f(f(x))的图象,作出的图象,可得它们有5个交点,故选A

考查方向

函数的零点,函数的图象,周期性.

解题思路

由题意,可得函数f(x)的图象关于原点对称,为周期为2的函数,求得一个周期的解析式和图象,由图象平移可得[-2,2]的图象,得到y=f(f(x))的图象,作出的图象,由图可得到零点的个数.

易错点

函数的周期性的图象.

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

14.已知变量满足约束条件,则的最大值是   

正确答案

9

解析

作出可行域,

由不由z表示为直线在轴上的截距的2倍,由图可知当该直线经过交点A时,截距最大,z取得最大值;由解得A(1,4),所以z=1+2x4=9

考查方向

简单的线性规划.

解题思路

作出可行域,很容易看出在A点取得最大值.

易错点

线性可行域求目标函数的最值.

1
题型:填空题
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分值: 5分

16.已知椭圆,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点,若= 

正确答案

 .

解析

由已知e= ,所以a=2b,所以a= c,b= .椭圆方程 =1变为 x 2 +3y 2 =c 2 .设A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),又 =3 ,

所以(cx 1 ,-y 1 )=3(x 2 -c,y 2 ),所以 所以

  +3 =c 2 ,①    +3 =c 2 ,②

①-9×②,得 (x 1 +3x 2 )(x 1 -3x 2 )+3(y 1 +3y 2 )(y 1 -3y 2 )=-8c 2 ,所以 ×4c(x 1 -3x 2)=-8c 2 ,

所以x 1 -3x 2 =- c,所以x 1 = c,x 2 = c.从而y 1 =- c,y 2 = c,
所以A ,B ,故k= .

考查方向

直线与椭圆的位置关系

解题思路

由离心率设出椭圆的标准方程,再设出两点坐标代入椭圆方程,再利用根与系数的关系,得出一元二次方程.

易错点

设而不求的应用.

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.若命题“存在x∈R,使得2x2﹣3ax+9<0成立”为假命题,则实数a的取值范围是  ___

正确答案

[﹣2,2]

解析

“存在x∈R,使2x2-3ax+9<0”是假命题,

则其否定为真命题,即是说“∀x∈R,都有2x2-3ax+9≥0”,根据一元二次不等式解的讨论,

可知△=9a2-72≤0,

∴-2≤a≤2

考查方向

存在命题的否定,不等式恒成立问题.转化思想以及计算能力.

解题思路

原命题为假命题,则其否定为真命题,得出∀x∈R,都有2x2-3ax+9≥0,再由△≤0,求得a.

易错点

存在命题的否定,不等式恒成立问题.

1
题型:填空题
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分值: 5分

15.已知m、n是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题,其中所有正确命题的序号是___________.

①若m∥β,n∥β,m、nα,则α∥β .

②若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,nγ,则m⊥n .

③若m⊥α,α⊥β,m∥n,则n∥β .

④若n∥α,n∥β,α∩β=m,那么m∥n .

正确答案

②④

解析

因为利用线面的位置关系可知,那么

①     若m∥β,n∥β,m、nα,则α∥β;错误

②若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,nγ,则m⊥n;成立

③若m⊥α,α⊥β,m∥n,则n∥β或nβ;错误.

④若n∥α,n∥β,α∩β=m,那么m∥n;成立

考查方向

平面与平面平行(垂直)的判定与性质定理的应用.

解题思路

利用直线与平面平行的判断定理,平面与平面平行(垂直)的判定与性质定理,对选项逐一判断即可.

易错点

平面与平面平行(垂直)的判定与性质定理的运用

简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

如图,已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点A是椭圆C上任意一点,且△AF1F2的周长为2(+1)

24.求椭圆C的标准方程;

25.若动点B在直线l:y=上,且OA⊥OB,点O到直线AB的距离为d(A,B),求证:d(A,B)为定值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

=1.

解析

解:由题意可得: =,a2=b2+c2,2a+2c=2

解得a=,c=b=1.

∴椭圆C的标准方程为=1.

考查方向

椭圆的简单性质

解题思路

由题意,离心率及△AF1F2的周长,a2=b2+c2,联立关于a,b,c的两个方程解方程,求出a,b,c.

易错点

△AF1F2的周长为2a+2c

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

1

解析

证明:设A(x0,y0),B

∵OA⊥OB,∴=0.∴x1=﹣

①若x1≠x0,kAB=,直线AB的方程为:y﹣=(x﹣x1),

x+(x1﹣x0)y+﹣x1y0=0,

∴d(A,B)=

∴[d(A,B)]2==

∴[d(A,B)]2===1,

∴d(A,B)=1,为定值.

②若x1=x0,设直线OA的方程为:y=kx,则B,A

代入椭圆方程可得: +=1,解得k=

∴直线AB的方程为:x=±1,点O到直线AB的距离d(A,B)=1.

综上可得:d(A,B)为定值1.

考查方向

定值问题,分类讨论代入椭圆方程解方程,化简整理

解题思路

设A(x0,y0),B,∵OA⊥OB,∴=0.∴x1=﹣

分类讨论,①若x1≠x0 ,②若x1=x0,代入椭圆方程解出K即可得出.

易错点

椭圆方程与直线方程联立,求定值问题.

1
题型:简答题
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分值: 12分

设数列{an}是等差数列,数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=(bn﹣1)且a2=b1,a5=b2

17.求数列{an}和{bn}的通项公式;

18.设cn=an•bn,设Tn为{cn}的前n项和,求Tn

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

an=2n﹣1,bn=3n

解析

∵数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=(bn﹣1),

∴b1=S1=,解得b1=3.

当n≥2时,bn=Sn﹣Sn﹣1=

化为bn=3bn﹣1

∴数列{bn}为等比数列,

∵a2=b1=3,a5=b2=9.

设等差数列{an}的公差为d.

,解得d=2,a1=1.

∴an=2n﹣1.

综上可得:an=2n﹣1,

考查方向

及已知二项求数列的通项公式.

解题思路

由Sn=(bn﹣1),利用,求出bn 由a2=b1=3,a5=b2=9,列两个关于a1,d的二元一次方程组,求出an.

易错点

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(Ⅱ)cn=an•bn=(2n﹣1)•3n

∴Tn=3+3×32+5×33+…+(2n﹣3)•3n﹣1+(2n﹣1)•3n

3Tn=32+3×33+…+(2n﹣3)•3n+(2n﹣1)•3n+1

∴﹣2Tn=3+2×32+2×33+…+2×3n﹣(2n﹣1)•3n+1

=﹣(2n﹣1)•3n+1﹣3=(2﹣2n)•3n+1﹣6.

考查方向

错位相减法求数列的和

解题思路

cn=an•bn=(2n﹣1)•3n.利用错位相减法求数列的和

易错点

错位相减法求数列的和

1
题型:简答题
|
分值: 12分

从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高.据测量,被测学生身高全部介于155cm到195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160);第二组[160,165);…;第八组[190,195].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.

19.估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上(含180cm)的人数;

20.求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图;

21.若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人,记他们的身高分别为x、y,求满足“|x﹣y|≤5”的事件的概率.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

144

解析

由频率分布直方图得:

前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,

后三组频率为1﹣0.82=0.18,人数为0.18×50=9,

∴这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上(含180cm)的人数为800×0.18=144.

考查方向

频率分布直方图.

解题思路

由频率分布直方图得前五组频率,再求后三组频率,人数,再求这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上(含180cm)的人数

易错点

所有频率之和为1.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

4;0.08;

解析

由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04,人数为0.04×50=2,

设第六组人数为m,则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m,

又m+2=2(7﹣m),解得m=4,所以第六组人数为4,

第七组人数为3,频率分别等于0.08,0.06.分别等于0.016,0.012.其完整的频率分布直方图如图.

考查方向

频率分布直方图的补全

解题思路

由频率分布直方图得第八组频率,人数,很容易求出第六组,第七组的数据.

易错点

频率分布直方图的纵坐标为

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

由上题知身高在[180,185)内的人数为4,设为a、b、c、d,

身高在[190,195]内的人数为2,设为A、B,若x,y∈[180,185)时,有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6种情况;

若x,y∈[190,195]时,有AB共1种情况;

若x,y分别在[180,185)和[190,195]内时,有aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB,共8种情况.所以基本事件总数为6+1+8=15,

事件“|x﹣y|≤5”所包含的基本事件个数有6+1=7,

∴P(|x﹣y|≤5)=

考查方向

古典概型的求法.

解题思路

由(2)知身高在[180,185),[190,195]分别为4,2人,

易错点

枚举法列出基本事件

1
题型:简答题
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分值: 12分

在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,△ABC是边长为2的正三角形,侧面BB1C1C是矩形,D、E分别是线段BB1、AC1的中点.

22.求证:DE∥平面A1B1C1

23.若平面ABC⊥平面BB1C1C,BB1=4,求三棱锥A﹣DCE的体积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

证明:取棱A1C1的中点F,连接EF、B1F

则由EF是△AA1C1的中位线得EF∥AA1,EF=AA1

又DB1∥AA1,DB1=AA1

所以EF∥DB1,EF=DB1

故四边形DEFB1是平行四边形,从而DE∥B1F

所以DE∥平面A1B1C1

考查方向

由线线平行证明线面平行.

解题思路

取棱A1C1的中点F,连接EF、B1F,则由条件四边形DEFB1是平行四边形,从而DE∥B1F,进而证明线面平行.

易错点

由平行四边形的性质证明线线平行

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解:因为E是AC1的中点,所以VA﹣DCE=VD﹣ACE=

过A作AH⊥BC交BC于H

因为平面平面ABC⊥平面BB1C1C,所以AH⊥平面BB1C1C,

所以==

所以VA﹣DCE=VD﹣ACE==

考查方向

求几何体的体积

解题思路

过A作AH⊥BC交BC于H,由面面垂直得AH⊥平面BB1C1C,即AH为高,所以很容易求出结果.

易错点

寻找几何体的高.

1
题型:简答题
|
分值: 10分

已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是(t是参数)

28.将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;

29.若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(x﹣2)2+y2=4.

解析

∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2

∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为:

ρ2=4ρcosθ,

∴x2+y2=4x,

∴(x﹣2)2+y2=4.

考查方向

极坐标方程与直角坐标方程之间的互化.

解题思路

左右同乘ρ,再将ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,分别代入.

易错点

极坐标方程与直角坐标方程之间的互化.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

代入圆的方程(x﹣2)2+y2=4得:

(tcosα﹣1)2+(tsinα)2=4,

化简得t2﹣2tcosα﹣3=0.

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2

∴|AB|=|t1﹣t2|==

∵|AB|=

=

∴cos

∵α∈[0,π),

∴直线的倾斜角

考查方向

参数方程,根与系数的关系.

解题思路

将参数方程代入圆的方程中,化为一元二次方程,再利用根与系数的关系,得到关于角的方程,再利用角的范围而求得.

易错点

根据角的范围解三角方程

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知函数

26.若函数在区间上为增函数,求的取值范围;

27.当且时,不等式上恒成立,求的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

因为,

,又函数在区间上为增函数,

所以当时,恒成立,

所以,即的取值范围为.

考查方向

恒成立问题,由函数的单调增区间,在此区间导数恒大于等于0.

解题思路

由函数分离参数,由单调区间知恒成立,即.

易错点

分离参数,函数恒成立问题

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

【答案】3

解析

【解析】当时,,故不等式,

对任意恒成立,

,

上单调递增,

因为,

所以存在使,

即当时,,即,

时,,即,

所以上单调递减,在上单调递增.

,即,

所以,

因为.

所以的最大值为3.

考查方向

利用导数求函数的性质,求单调区间,最值.

解题思路

分离参数,再去分母构造新的函数,求导数求函数的性质.

易错点

利用导数求函数的性质

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