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文科数学 郑州市2017年高三第二次模拟考试
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文科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2、填空题
13
14
15
16
3、简答题
17
18
19
20
21
22
23
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单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1．若集合，，则“”是“”的(           )

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

，则

不能推出，是的充分不必要条件.

故答案A.

考查方向

本题考查了集合的运算和充分必要条件，高考必考类型题目.

解题思路

算出集合A和集合B,根据充分必要条件的知识进行判断.

易错点

对集合知识及充分必要条件不熟悉.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6．已知，且，函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列的前项和为，则的值为(           )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由题意知，又∵，

故答案A.

考查方向

本题考查了数列求和，涉及导数和曲线在某点切线的斜率以及裂项相消求和.

解题思路

由已知从而进而，然后由裂项相消求和可得.

易错点

不知怎么应用.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8．已知等比数列，且，则的值为(         )

A2

B4

C8

D16

正确答案

D

解析

=16，故答案A.

考查方向

本题考查了等比数列的性质.

解题思路

这样根据已知条件得出答案.

易错点

不会应用等比数列的性质.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

12．已知函数，且，则 (         )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

=,令

=,

,故答案A.

考查方向

本题考查了函数的奇偶性，高考常以选择压轴题出现.

解题思路

=,令

=,

, 这样可以求出答案.

易错点

解析式的转化

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取(           )

A20

B30

C40

D50

正确答案

A

解析

∵样本容量为20，分成20个小组.

考查方向

本题主要考查系统抽样的应用.

解题思路

根据系统抽样的定义即可得到结论.

易错点

对系统抽样的知识不理解.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3．已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是(           )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

∵复数在复平面内对应的点在第二象限，则，故答案为B

考查方向

本题考查了复数的代数形式及其几何意义.

解题思路

根据复数的实部和虚部的符号进行确定.

易错点

对复数的几何意义不熟悉，解不等式运算出错.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：

表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为(           )

AA

BB

CC

DD

正确答案

C

解析

由题意各位数码的筹式需要纵横相间，百位和个位用纵式表示，千位和十位用横式表示，则5288可表示为C

考查方向

本题考查了新定义.

解题思路

根据新定义直接判断即可.

易错点

横纵容易出错.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5．已知，则的值等于(           )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

，故答案D.

考查方向

本题考查了三角函数的诱导公式.

解题思路

，首先判断角之间的关系，然后根据三角函数的诱导公式进行计算.

易错点

角之间的关系搞不清楚.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（    ）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

此几何体是底面为等腰直角三角形直角边为，高为2的三棱柱和一个底面半径为1高为1的圆柱组成，则.故答案A.

考查方向

本题考查了由三视图求原几何体的体积.

解题思路

此几何体是底面为等腰直角三角形直角边为，高为2的三棱柱和一个底面半径为1高为1的圆柱组成，据此可以求出原几何体的体积.

易错点

本题考查了由三视图求原几何体的体积.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

11．四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为(         )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

作长方体,该长方体和四面体有共同的外接球，长方体的对角线长为直径长，,,故答案C.

考查方向

本题考查了四面体的外接球的体积，考查了问题的转化.

解题思路

作长方体,该长方体和四面体有共同的外接球，长方体的对角线长为直径长，这样可以求出球的面积.

易错点

四面体放在长方体内这个转化.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

9．若实数、、，且，则的最小值为(         )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

=2，故答案D.

考查方向

本题考查了由基本不等式求最值.

解题思路

由由基本不等式求最小值.

易错点

（1）凑成积，（2）开方

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

10．椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，，当的周长最大时，的面积是(         )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

设椭圆的右焦点为E,由椭圆的定义得：△FMN的周长,

,当MN过点E时取等号，

即直线过椭圆的右焦点E时，△FMN的周长最大，此时△FMN的高EF=2，此时直线，把代入椭圆的方程得,∴△FMN的面积为，故答案C.

考查方向

本题考查了椭圆的简单几何性质.

解题思路

先画出草图，结合图像得到△FMN的周长最大时对应的直线所在位置，即可求出结论.

易错点

找直线x=a的位置.

填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

13．设变量，满足约束条件：，则目标函数的最小值为          ．

正确答案

4

解析

由约束条件作出可行域如图，联立

,解得,化目标函数为,由图可知当直线

过A时，直线在轴上的截距最小，有最小值4.

考查方向

本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合思想.

解题思路

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入目标函数得答案.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

14．已知向量，若向量的夹角为，则实数          ．

正确答案

解析

,

,解得,故答案.

考查方向

本题考查了向量的夹角公式.

解题思路

根据向量的夹角公式运算.

易错点

运算出错

1
题型：填空题
|
分值: 5分

15．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则          ．

正确答案

解析

.故答案.

考查方向

本题考查了正弦定理和二倍角公式.

解题思路

根据正弦定理表示和之间的关系和二倍角公式求.

易错点

把边转化为角，中间运算出错.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

16．在中，，为平面内一点，且，为劣弧上一动点，且，则的取值范围为          ．

正确答案

解析

,设

,M为劣弧BC上一点，

,

,故的取值范围为.

考查方向

本题考查了平面向量数量积的性质及其运算律，基本不等式.

解题思路

∵由

,根据基本不等式求出的取值范围.

简答题（综合题） 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 12分

按照国家环保部发布的新修订的《环境空气质量标准》，规定：PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，国家环保部门在2016年10月1日到2017年1月30日这120天对全国的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：

19.在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？

20.在上题中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

第一组8天，第二组16天，第三组4天，第四组2天

解析

这120天中抽取30天，应采取分层抽样，

第一组抽取天；第二组抽取天；

第三组抽取天；第四组抽取天.

考查方向

本题考查了分层抽样.

解题思路

由120天中的数据中，各个数据存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比后，可得每一组应抽取多少天.

易错点

不能判断出分层抽样.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设PM2.5的平均浓度在(75,115]内的4天记为，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为，所以6天任取2天的情况有共15种．记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：共8种，所求事件A的概率：

考查方向

本题考查了利用古典概型计算公式求概率.

解题思路

设PM2.5的平均浓度在（75,115]内的4天记为

PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为，找出6天任取2天的情况共15种，记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A,其中符合条件的有8种，代入古典概型计算公式可得答案.

易错点

处理数据容易出错.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

21.求证：不论取何值时，恒有；

22.当时，求多面体的体积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

是等腰直角三角形，点为的中点，

又

又

考查方向

本题考查了直线和平面垂直.

解题思路

先证明线面垂直，然后再证明线线垂直.

易错点

证明线线垂直容易出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

是等腰直角三角形，且斜边

考查方向

本题考查了多面体的体积.

解题思路

将多面体分解成棱锥和棱锥，分别求出两个小棱锥的体积即可.

易错点

分解成两个三棱椎不容易想到.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知数列是等差数列，首项，且是与的等比中项.

17.求数列的通项公式；

18.设，求数列的前项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设数列的公差为，由，且是与的等比中项得：或与是与的等比中项矛盾，舍去，，即数列的通项公式为.

考查方向

本题考查了数列通项公式的求法.

解题思路

建立的二元一次方程组，求出,然后根据等差数列的通项公式求出答案.

易错点

没有舍去.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

 

考查方向

本题考查数列的裂项求和.

解题思路

然后裂项相消求和.

易错点

如何裂项.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线分别与，交于，两点.

23.求点的轨迹的方程；

24.过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由题意得点的轨迹为以为焦点的椭圆.点的轨迹的方程为

考查方向

本题考查了轨迹方程的求法以及椭圆的定义.

解题思路

根据椭圆的定义求出轨迹方程.

易错点

运算出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

存在，（0，-1）

解析

直线的方程可设为，设

联立可得由求根公式化简整理得假设在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，则即

    求得

因此，在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.

考查方向

本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系，常以高考压轴题出现.

解题思路

直线的方程可设为，设

联立可得由求根公式化简整理得假设在轴上是否存在定点，根据建立的方程，这样可以算出,从而算出定点Q.

易错点

（1）不能转化为;（2）中间运算过程出错.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知函数.

25.若，求函数的最小值；

26.当时，若对，，使得成立，求的范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

当;当;当

解析

，令得.

当即时，在上，递增，的最小值为

当即时，在上，为减函数，在上，为增函数. ∴的最小值为.

当即时，在上，递减，的最小值为.

综上所述，当时的最小值为，当时的最小值为,当时，最小值为.

考查方向

本题考查了利用导数求函数最值.

解题思路

利用导数判断的单调性，根据单调性得出的最小值.

易错点

分类讨论重复或遗漏.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

令由题可知“对，，使得成立”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”.即由(25)可知，当时，.

当时，，

①当时，

由得，与矛盾，舍去.

②当时，由得，

与矛盾，舍去.

③当时，由得

综上，的取值范围是.

考查方向

本题考查了导数的应用，求参数取值范围，常常借助利用导数求最值.是高考压轴题.

解题思路

令由题可知“对，，使得成立”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”.即然后根据导数求最值，建立b的不等式，解出b的取值范围.

易错点

（1）转化为求最值分不清最大和最小值；（2）分类讨论重复或遗漏.

1
题型：简答题
|
分值: 10分

以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，（为参数，），曲线的极坐标方程为.

27.求曲线的直角坐标方程；

28.设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由由，得

曲线的直角坐标方程为.

考查方向

本题考查了极坐标方程化为普通方程.

解题思路

根据把极坐标方程化为普通方程.

易错点

运算容易出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

2

解析

将直线的参数方程代入，得

设两点对应的参数分别为则，，

 当时，的最小值为2.

考查方向

本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了直线参数的几何意义.

解题思路

将直线的参数方程代入，得

设两点对应的参数分别为则，，

即可得出.

易错点

运算容易出错.

1
题型：简答题
|
分值: 10分

选修4-5：不等式选讲

已知函数.

29.若，使得成立，求的范围；

30.求不等式的解集.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

当

所以  ∴.

考查方向

本题考查了绝对值不等式的解法和几何意义.

解题思路

去掉绝对值求的最大值，根据求出m的取值范围.

易错点

运算容易出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由≥由（29）可知，当的解集为空集；

当时，即，；

当时，即，；

综上，原不等式的解集为

考查方向

本题考查了绝对值不等式的解法.

易错点

分类讨论重复或遗漏.

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