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1.已知复数满足
,则
的共轭复数
的虚部是 ( )
正确答案
解析
因为满足
,所以
,所以
的共轭复数是
,所以
的虚部为1,因此B选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选A选项.
考查方向
解题思路
根据题目信息可知:本题考察复数有关概念的知识点,具体解题步骤为:先由得出复数
,然后根据复数运算求出
,再求出其共轭复数,进而得出
的虚部即可.
易错点
本题易错误理解复数的虚部概念,造成错选C.
7.若,则
,则
的值为( )
正确答案
解析
因为,所以
,所以
,
所以,
所以或
,由
可得
,所以
可得
,所以
,即
,所以
.所以A选项不正确,B选项不正确,D选项不正确,所以选C选项.
考查方向
解题思路
解本题可先利用倍角公式和正弦函数和角公式将已知条件进行恒等变形,得出,然后根据
得出
,因此得出
,再两边平方即可得出结论.
易错点
本题容易在利用利用三角公式用错,同时也容易忽略角的范围而出现多解.
8.执行如右图所示的程序框图,则输出的结果为( )
正确答案
解析
第一次运行程序可得:i=1,S=1×2=2,,此时不满足判断框条件;第二次运行程序可得i=2,
,
,此时不满足判断框条件;第三次运行程序可得i=3,S=1×(-1)=-1,
,此时不满足判断框条件;第四次运行程序可得i=4,S=-1×2=-2,
,此时不满足判断框条件;第五次运行程序可得i=5,
,
,此时不满足判断框条件;第六次运行程序可得i=6,S=-1×(-1)=1,
,此时不满足判断框条件;第七次运行程序可得i=7,S=1×2=2,
,此时不满足判断框条件;……由此可得出S的值是以6为周期循环出现的,因为
,所以当i=2016时,S的值等于i=6时的值,因此当第2017次运行程序时,i=2017,S的值等于第一次运行程序时的S值,即为2,并且i=2017>2016成立,所以输出S=2.所以A选项不正确,B选项不正确,C选项不正确,所以选D选项.
考查方向
解题思路
解本题可一次一次的运行程序,找出S的值是以6为周期循环出现的,然后得出当地2017次运行程序时的S的值等于第一次运行程序时的S值,且i=2017满足判断框的条件,进而得出结论.
易错点
本题的易错点是不能正确的找出S的值的周期以及满足判断框条件时的S值.
11.已知函数,若
,则a的取值范围是( )
正确答案
解析
由可得
,因为
,所以在同一坐标系中画出函数y=|f(x)|和函数y=a(x-1)的图象,如图:
显然当a>0时,不会恒成立,舍去;
当时,因为
,此时
,所以图象在点(1,0)处的切线的斜率为2×1-4=-2,又因为函数y=a(x-1)的图象恒过(1,0)点,由图象可知,当
时,满足题意,即
成立,所以a的取值范围为[-2,0].
考查方向
解题思路
解本题可先在坐标系中画出两个函数图象,然后分a>0和进行讨论,然后再利用导数的几何意义得出曲线的切线斜率,进而得出结论.
易错点
本题易错点为不能正确的将不等式的关系转化为函数|f(x)|图象和直线y=a(x-1)的位置关系.
12.已知是椭圆
和双曲线
的一个交点,
是椭圆和双曲线的公共焦点,
分别为椭圆和双曲线的离心率
,则
的最大值是( )
正确答案
解析
如图,设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为
,则根据椭圆和双曲线的定义
,所以
,设
,
又,则在
中,由余弦定理可得
,
即,化简得
,所以
,即
,所以
,即
,当且仅当
时取等号,所以
的最大值为
.所以B选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选A选项.
考查方向
解题思路
解本题可先根据椭圆和双曲线的定义得出,然后在
中利用余弦定理可得
,然后转化为
的表达式,再利用基本不等式即可得出结论.
易错点
本题的易错点在于不能正确的找出关系式和忽略基本不等式成立的条件.
2.已知集合,
,则
( )
正确答案
解析
因为,
,所以
,因此A选项不正确,B选项不正确,C选项不正确,所以选D选项.
考查方向
解题思路
本题考查的知识点是集合运算,具体解题步骤如下:先将集合A,B进行化简,然后根据集合交集的定义进行求解即可.
易错点
本题容易在化简集合时出现错误和求交集运算时出现错误,是对集合中元素的特征理解不对以及交集和并集概念混淆造成的.
3.已知向量,若
与
平行,则实数
的值是( )
正确答案
解析
由可得
,又因为
与
平行,所以
,即
,解得
,因此A选项不正确,B选项不正确,D选项不正确,所以选C选项.
考查方向
解题思路
解本题可先求出向量与
的坐标,然后根据两向量平行可得出关于x的关系式,进而求出x的值即可.
易错点
本题容易错在向量共线的坐标表示,容易和向量数量积的坐标表示混淆.
4.设,则“
”是“
”的( )
正确答案
解析
因为,所以由
可得
,a-b<0,所以a
是a
,所以
不是a
是a
考查方向
解题思路
解本题可先判断由能否得出a
是否为a
来得出
是否为a
易错点
本题容易在充分条件和必要条件的概念上混淆,一定要弄清楚谁是谁的什么条件.
5.函数的零点的个数为( )
正确答案
解析
因为函数的零点个数即为方程
的实根个数,也是函数
和函数y=x+1的图象交点个数,因为
,所以当x>-1时,
,函数单调递增,当x<-1时,
,函数单调递减,且当x<-1时恒有y<0,所以x=-1时,函数
取得最小值,
在同一坐标系中画出两个函数的大概图象,如图所示,
由图象可得,两个函数图象有两个不同的交点,因此函数的零点个数为2. 因此A选项不正确,B选项不正确,D选项不正确,所以选C选项.
考查方向
解题思路
根据函数的零点个数即为对应方程的实根个数,等于两个函数图象交点个数,可在同一坐标系中画出两个函数的大概图象,即可得出交点个数,进而得出函数的零点个数.
易错点
本题易错在不能正确的画出函数的大概图象而导致出现错解.
6.已知等比数列为递增数列.若a1>0,且
,则数列
的公比q=( )
正确答案
解析
因为等比数列为递增数列,且
,所以
且q>1,因为
,所以
,所以
,解得q=2或
(舍去). 所以A选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选B选项.
考查方向
解题思路
先根据已知条件得出,q>1,然后根据等比数列的通项公式将已知等式变形为
,进而得出关于q的方程,然后解方程即可.
易错点
本题容易忽略q>1的条件而错误的选择A选项.
9.欧拉是科学史上一位多产的、杰出的数学家! 他1707年出生在瑞士的巴塞尔城,渊博的知识,无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作,都令人惊叹不已。特别是,他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神,即使在他双目失明以后,也没有停止对数学的研究。在失明后的17年间,他还口述了几本书和400篇左右的论文。如果你想在欧拉的生日、大学入学日、大学毕业典礼日、第一篇论文发表日、逝世日这5个特别的日子里(这五个日子均不相同),任选两天分别举行班级数学活动,纪念这位伟大的科学家,则欧拉的生日入选的概率为( )
正确答案
解析
在五个不同日子中任选两天共有种不同的选法,则两天中恰有欧拉的生日入选的不同方法共有
种,所以欧拉的生日入选的概率为
.所以A选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选B选项.
考查方向
解题思路
解本题可先求出五天中任选两天的不同选法种数,然后求出所选的两天中恰有欧拉生日的不同选法种数,进而根据古典概型的概率公式进行求解即可.
易错点
本题的易错点是不能正确的判断出所求概率的类型,进而用错概率公式.
10.已知三棱锥外接球的表面积为
,底面
为正三角形,
其正视图和侧视图如图所示,则此三棱锥的侧面积为( )
正确答案
解析
根据题意可画出三棱锥的直观图,如图:
设其外接球的球心为O,则O在底面ABC上的射影为D,则D为底面正△ABC的中心,过O作OE⊥SB,则四边形ODBE为矩形,设外接球的半径为R,因为外接球的表面积为,所以
,解得
,所以
,设△ABC的边长为a,则
,解得
,因为SA=4,
,所以
,所以△SAC底边AC上的高为
,所以三棱锥的侧面积为:
.所以A选项不正确,B选项不正确,D选项不正确,所以选C选项.
考查方向
解题思路
解本题先根据外接球的表面积求出求的半径,然后求出底面三角形的边长,然后再求三棱锥的侧面积即可.
易错点
本题的易错点是不能正确得出三棱锥的外接球与三棱锥的关系.
13.某校为了解全校高中同学十一小长假参加实践活动的情况,抽查了200名同学,统计他们假期参加活动的时间, 绘成的频率分布直方图如图所示, 则这200名同学中参加活动的时间在小时内的人数为 .
正确答案
116
解析
由频率分布直方图可得出活动的时间在小时的频率为
,所以这200名同学中参加活动的时间在
小时内的人数为
(人).
考查方向
解题思路
解本题先求出活动的时间在小时的频率,然后根据频率、频数和样本容量的关系式进行求解即可.
易错点
本题易错点是不能根据频率分布直方图正确的求出每一组的频率以及错用频率、频数和样本容量的关系式.
15. 已知数列中,
,
,
,
,则
.
正确答案
解析
由,得
,整理得
,
,
,
,
依次类推, ,又
,则
.
考查方向
解题思路
解本题可先根据题中所给的递推关系得出关于的方程,然后解出
,并根据
得出
,然后再根据题中所给的递推公式求出
,再根据
和递推关系得出
的值,进而得出结论.
易错点
本题的易错点是不能正确的应用递推关系式以及忽略条件而出现错解.
14.若实数满足不等式组
,目标函数
的最大值为16,则
实数 .
正确答案
5
解析
不等式组表示的平面区域如图阴影部分:
由解得
,所以B(k,k+1);
由可得
,所以由平面区域可知当直线
过点B时,纵截距取得最大值,此时z取得最大值16,所以
,解得k=5.
考查方向
解题思路
解本题可先正确的画出不等式组表示的平面区域,然后将目标函数转化为直线的斜截式,然后利用直线的纵截距最大时即为目标函数取得最值时求出参数的取值.
易错点
本题的易错点是不能正确地画出不等式组表示的平面区域以及目标函数在哪取得最大值.
16.若,且对任意的
,
恒成立,则实数
的取值范围为 .
正确答案
解析
因为,又a<0,所以当
时
;由
可得
,所以当
时,
,
所以在
上均为增函数,不妨设
,则
等价于即
令,则
在
为减函数,
则在
上恒成立,
恒成立. 令
,
,
为减函数,
在
的最大值为
综上,实数的取值范围为
.
考查方向
解题思路
解本题可先判断出函数在
上均为增函数,然后将不等式变形为
,然后构造函数
,再根据不等式恒成立可得函数
在
为减函数,因此可得
在
上恒成立,再进行参数分离,得出
恒成立,再次构造函数
,进而求函数
在
的最大值即可得出结论.
易错点
本题的易错点是不能将本题灵活的转化为求函数最值进行解决,不能正确的构造函数.
设向量,
17.设函数,求
的单调递增区间;
18.在△ABC中,锐角A满足,
,求△ABC 的面积.
正确答案
解析
由得增区间为:
.
考查方向
解题思路
解本题应先根据平面向量数量积的坐标表示得出函数的解析式,然后将解析式进行恒等变形,进而根据正弦函数的单调性进行求解即可.
易错点
本题易错点是不能得出函数的解析式以及利用三角公式将函数解析式进行化简.
正确答案
解析
由(1)可得,所以
,解得
; 又因为
,由余弦定理
得:
; 所以
.
考查方向
解题思路
先根据(1)中的函数解析式得出,然后求出A的值,再利用余弦定理求出bc的值,进而利用三角形的面积公式进行求解.
易错点
本题的易错点是不能正确的求出角A的值以及不能正确利用余弦定理求出bc的值.
数列的前n项和为
,
,等差数列
满足
.
19.分别求数列,
的通项公式;
20.若对任意的恒成立,求实数
的取值范围.
正确答案
,
.
解析
由,①,得
时
,②
则①-②得,
;
又,
,
为等比数列,通项公式为:
;
依题意,设等差数列
的公差为
,则
,
∴.
考查方向
解题思路
解本题先根据当时,
得出
,然后判断出数列
为等比数列,再求出其通项公式即可;然后求出数列
的公差,进而写出通项公式.
易错点
本题易错点是不能根据已知条件利用时,
得出
,也容易丢掉条件
.
正确答案
解析
(2)由(1)可得,因此对任意的
恒成立,即
对任意的
恒成立,
令,
,
,
所以当时,
,
时,
,
所以 ,所以
,即实数
的取值范围
.
考查方向
解题思路
先求出的表达式,然后将不等式转化为
,再构造新数列
,使得
,再求出其最大值,进而根据不等式恒成立得出k的取值范围.
易错点
本题易错点是不能正确的将不等式的恒成立转化为求最值问题.
四棱锥中,底面为菱形,且
,
平面平面
,
为
上一点,且
21.求证:为线段
的中点;
22.若求二面角
的余弦值.
正确答案
见解析
解析
取AD的中点H,连接PH,MH,AC,
PA=PD,
PH
AD,
又平面平面
,交线为AD ,
PH
面ABCD
PH
BD,
又,
,
BD
面PHM ,
BD
HM ,
又在菱形ABCD中, BDAC ,
HM∥AC,
M为线段
的中点.
考查方向
解题思路
本题可先根据平面平面
得出PH
面ABCD,然后得出BD
面PHM ,即可得出BD
HM,再根据三角形中位线的性质得出结论.
易错点
本题容易在定理中条件的理解上出错,导致在解题时出错误的结论.
正确答案
解析
取BM的中点E,连接PE,HE,可证得PEH为二面角
的平面角,
设AB=,则PH=
, HE=
,所以PE=
,
所以,所以二面角
的余弦值为
.
考查方向
解题思路
先作出二面角的平面角,然后通过解三角形进行求解即可.
易错点
本题易错点是不能正确作出二面角的平面角,导致解题出错.
已知椭圆的离心率为
,点
是椭圆
的左、右焦点, 过
的直线与椭圆
交于
两点, 且
的周长为
.
23.求椭圆的标准方程;
24.动点在椭圆
上,动点
在直线
上,若
,探究原点
到直线
的距离是否为定值,并说明理由.
正确答案
解析
由题意得,解得
, 所以椭圆E的标准方程为
.
考查方向
解题思路
解本题可根据椭圆的离心率和椭圆定义得出,然后解出a,b的值,进而写出标准方程即可.
易错点
本题的易错点是不能正确的应用离心率的公式以及椭圆定义的正确理解即应用.
正确答案
原点到直线
的距离是定值,定值
.
解析
①若直线的斜率不存在,
,
,
,
,
②若直线的斜率存在,
设直线方程为:
,代入
得
,
,
直线的方程为
代入
得
,
,
设原点到直线
的距离为
,
,则
,
综上所述,原点到直线MN的距离为定值
.
考查方向
解题思路
本题应分直线的斜率不存在和存在两种情况进行求解:①若直线
的斜率不存在,求得原点
到直线
的距离是定值
;②若直线
的斜率存在,分别求出直线OM,ON的方程,然后求出|MN|的表达式,进而再根据三角形的面积得出
,即可求出d为定值.
易错点
本题容易忽略直线的斜率不存在的情况.
已知函数.
25.讨论函数的单调性;
26.若时,关于
的不等式
恒成立,求整数
的最小值.
正确答案
当a>0时,f(x)在(0,a)上递增,在(a,+∞)上递减;当a<0时,f(x)在上递增,在
上递减.
解析
f′(x)=﹣2x+a=
=
,x>0,
①当a>0时,由f′(x)>0,得0<x<a,由f′(x)<0,得x>a,
∴f(x)在(0,a)上递增,在(a,+∞)上递减;
②当a<0时,由f′(x)>0,得0<x<﹣,由f′(x)<0,得x>﹣
,
∴f(x)在上递增,在
上递减.
考查方向
解题思路
先求出函数f(x)的导函数,然后分a>0和a<0两种情况进行求解.
易错点
本题容易忽略对a的讨论.
正确答案
1
解析
令,
则,
当m≤0时,,所以h(x)在
上单调递增,
因为,
所以关于x的不等式不恒成立,舍去.
当m>0时,由,得
,由
,得
,
所以h(x)的单调增区间为,单调减区间为
;
所以,
令,因为
,
又在
是减函数,所以当m≥1时,
,满足题意.
故整数m的最小值为1.
考查方向
解题思路
解本题可构造新函数h(x)=f(x)-g(x),然后将不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题进行求解.
易错点
本题易错点是不能将不等式的恒成立转化为求函数值最值进行解决.
在平面直角坐标系xOy中,直线l过点M(3,4),其倾斜角为45°,圆C的参数方程为(
为参数),再以原点为极点,以x正半轴为极轴建立极坐标系,并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位.
27.求圆C的极坐标方程;
28.设圆C与直线交于不同的两点
,求
的值.
正确答案
解析
消去参数可得圆的普通方程为 ,
由极坐标与直角坐标互化公式得,化简得
;
考查方向
解题思路
先由圆的参数方程得出普通方程,然后根据极坐标和直角坐标的互化公式得出极坐标方程即可.
易错点
本题易错点是不能根据参数方程得出普通方程以及直角坐标和极坐标的互化.
正确答案
9
解析
直线的参数方程为
(
为参数),即
(
为参数),代入圆方程得:
,
设对应的参数分别为
,则
,
所以.
考查方向
解题思路
先求出直线l的参数方程,然后将直线的参数方程代入圆的方程得到关于t的一元二次方程,然后利用直线参数方程中参数的几何意义和一元二次方程的韦达定理进行求解.
易错点
本题的易错点是直线参数方程中参数几何意义的理解错误.
已知函数
29.当a=3时,求不等式的解集;
30.若的解集包含
,求实数
的取值范围.
正确答案
或
解析
当a=3时,,由绝对值的几何意义得
或
,
故不等式解集为或
.
考查方向
解题思路
先将a的值代入f(x)可得即为
,然后根据绝对值的几何意义可得出不等式的解集.
易错点
本题的易错点如何正确利用绝对值几何意义解绝对值不等式.
正确答案
解析
原命题在
上恒成立
在
上恒成立
x-2≤a≤x+2在
上恒成立
0≤a≤3.所以a的取值范围是
.
考查方向
解题思路
解本题可先将本题转化为不等式的恒成立问题,然后得出x-2≤a≤x+2在上恒成立,进而得出a的范围即可.
易错点
本题的易错点是不能将本题进行等价转化.