文科数学 热门试卷

（1）设点C坐标为（x，y）

因为G为△ABC的重心故G点坐标为，∴

由|MC|=|MB|得∴，

即

∴△ABC的顶点C的轨迹E的方程是

（2）设直线的两交点为P（x1，y1），Q（x2，y2）

联立：消去y得：（k2+3）x2+2kbx+b2﹣6=0

∴△=4k2b2﹣4（k2+3）（b2﹣6）=12（2k2﹣b2+6）＞0，

且．

若以PQ为直径的圆过点A时，则有．

∴，既有，

故，

代入整理得：…（11分）∴．

①当．时，直线过定点，

且代入△＞0成立； …（13分）

②当，直线过点，不合题意，舍去．

综上知：直线过定点

（1）由sin2A﹣cosA=0，得2sinAcosA﹣cosA=0，

即cosA（2sinA﹣1）=0得cosA=0或sinA=，

∵△ABC为锐角三角形，

∴sinA=，

则A=；

（2）把sinB=sinC，由正弦定理得b=c，

∵b=，∴c=1，

由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3+1﹣2××1×=1，

解得：a=1．

（1）证明：E1，F分别为AC，BC的中点，

则E1F为A1BC的中位线，

故E1F∥A1B

因为A1B⊂面A1BD，E1F⊄平面A1BD，

所以E1F∥平面A1BD.

（2）连结DF，∵二面角A1﹣CD﹣B为直二面角，

∴A1D⊥BD，

又∵AC=BC且D为AB的中点，∴A1D⊥CD，

得A1D⊥平面BDC，

故∠A1FD为直线A1F与平面BCD所成的角

在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=120°，

得CD=1，CF=1，∠DCF=60°

∴△CDF为等边三角形，

故DF=1，

则得∠A1FD=60°．

故直线A1F与平面BCD所成的角为60°．

（1）设数列{an}的公差为d，

∵a1=1，且a2、a4、a6+2成等比数列，

∴依条件有，

即，解得（舍）或d=1，

所以an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）=n．

由2Sn+bn=1，得，

当n=1时，2S1+b1=1，解得，

当n≥2时，，

所以，

所以数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，

故．

（2）由（1）知，，

所以①

②

得．

又．

所以，

当n=1时，T1=S1，

当n≥2时，，所以Tn＞Sn，

故所求的正整数n存在，其最小值是2．

（1）当a=1时，，

当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

所以，当x=1时，f（x）有最小值：f（x）min=f（1）=1．

（2）因为，

①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e]上为增函数，此时f（x）在（0，e]上无最小值．

②当a∈（0，e]时，若x∈（0，a），则f′（x）＜0，f（x）单调递减，

若x∈（a，e]，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，

所以f（x）min=f（a）=1+lna=2，∴a=e，符合题意；

③当a＞e时，x∈（0，e]，

∴f′（x）＜0，f（x）单调递减，

所以，

∴a=e，不符合题意；

综上所述，a=e时符合题意．

（3）证明：当a=﹣1时，函数，

，

令φ（x）=2+x﹣lnx，（x＞0），则，

所以x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，

当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，

所以，φ（x）min=φ（1）=3＞0，在定义域内g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）单调递增，

又g（1）=﹣1＜0，而，

因此，函数g（x）在（1，e）上必有零点，又g（x）在（0，+∞）单调递增，

所以函数在其定义域内有唯一的零点．