文科数学抚州市2017年高三第一次模拟考试

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

2.已知全集，集合，,那么集合（）

正确答案

解析

解：由x2-x-6≤0得-2≤x≤3，则集合A={x|-2≤x≤3]，
由解得x4或x＜-1，
则集合B={x|x4或x＜-1}，即∁UB={x|-1≤x<4]，
所以A∩（∁UB）={x|-1≤x≤3]，
故选：D．

考查方向

本题考查交、并、补集的混合运算，以及二次不等式、分式不等式的解法，属于基础题．

解题思路

由二次不等式、分式不等式的解法求出集合A、B，由补集、交集的运算求出∁UB和A∩（∁UB）

易错点

解不等式的计算.

题型：单选题

分值: 5分

3. 设，则（）

正确答案

解析

解：

所以c＞a＞b故选：C．

考查方向

本题考察了对数函数和指数函数的图象和性质的应用.

解题思路

依据对数的性质，指数的性质，分别确定a、b、c数值的大小，然后判定选项．

易错点

对数函数底数小于1时的单调性易出错.

题型：单选题

分值: 5分

8. 按流程图的程序计算，若开始输入的值为，则输出的的值是（）

正确答案

解析

解：∵x=3，∴ ∵6＜100，∴当x=6时，＜100，
∴当x=21时，＞100，停止循环.则最后输出的结果是231，
故答案为：231．

考查方向

程序框图

解题思路

根据程序可知，输入x，计算出的值，若≤100，然后再把作为x，输入，再计算的值，直到＞100，再输出x的值即可．

易错点

此题考查的知识点是代数式求值，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．审题要仔细.

题型：单选题

分值: 5分

9. 已知数列、满足，其中是等差数列，且，则（）

A2017

B4034

正确答案

解析

解：

因为是等差数列，所以（其中，，、为整数）。所以为等比数列。所以

故本题正确答案为A

考查方向

本题主要考查等比数列的性质，等差数列的性质.

解题思路

利用等差数列的性质，两两配对，求出，从而求得前2017项的和.

易错点

等差数列与等比数列的转化，特别注意数列的项数.

题型：单选题

分值: 5分

10.在直角中,,P为AB边上的点,若,则的最大值是( )

正确答案

解析

解：∵直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，
∴以C为坐标原点CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，如图：C（0，0），A（1，0），B（0，1），

∵∴λ∈[0，1]
,，．

∴λ-1+λ≥λ2-λ+λ2-λ．
2λ2-4λ+1≤0，解得：≤λ≤，
∵λ∈[0，1]∴λ∈[，1]故选：A．

考查方向

本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积以及向量的坐标运算，考查计算能力以及转化思想．

解题思路

把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件即可求出λ的取值范围．

易错点

向量坐标的运算易出错.

题型：单选题

分值: 5分

1.若复数，为的共轭复数，则（）

正确答案

解析

解: ,则=-i,则

所以选择答案：B

考查方向

复数的运算

解题思路

根据复数的基本运算法则进行求解即可.

易错点

化简复数并求共轭复数的运算易出错.

题型：单选题

分值: 5分

4.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）

正确答案

解析

由题意，甲、乙二人抢到红包的所有结果一共是10种，

其中金额之和不低于4元的结果有：1.49+3.4，1.31+3.4，2.19+3.4，

题型：单选题

分值: 5分

5. 以下四个命题中，正确的个数是（）

①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数，则不是三角函数”；②命题“存在”的否定是“对于任意”；③在中， “”是“”成立的充要条件；④命题或，命题，则是的必要不充分条件；

正确答案

解析

①错误,因为命题的否命题是“若f(x)不是周期函数,则f(x)不是三角函数”;②错误,因为“x2-x>0”的否定是“x2-x≤0”;③正确,在△ABC中,根据正弦定理可得sin A>sin B⇔a>b⇔A>B;④正确,因为命题或不能推出命题,反过来命题q可以推出命题p.

故选C.

考查方向

本题考查三角函数的性质,函数的零点,否命题,命题的否定以及充分必要条件.

解题思路

由命题的逻辑关系，逐项进行验证即可.

易错点

第四个命题易判断错误.

题型：单选题

分值: 5分

6.已知为奇函数，函数与的图像关于直线对称，若，则（）

正确答案

解析

由题意，知在函数的图象上，则关于直线的对称点在函数的图象上，由，解得，解得，又为奇函数，。

故本题正确答案为。

考查方向

本题主要考查函数的对称性.

解题思路

由对称性先求f(3)，再利用奇偶性得结果即可.

易错点

函数对称性的应用.

题型：单选题

分值: 5分

7.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体表面积为（）

正确答案

解析

解:根据三视图得出:该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD,正方体的棱长为2,A,D为棱的中点

该多面体表面积各个表面的面积之和即

AD=BC=OC=2，CD=AB=OD=,OB=,OA=3，

故选择答案：B

考查方向

本题主要考查空间几何体.

解题思路

根据三视图得出:该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD,正方体的棱长为2,A,D为棱的中点,求出5个表面的面积，相加即可

易错点

还原立体图形时易出错.

题型：单选题

分值: 5分

12. 已知函数，与函数，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（）．

正确答案

解析

设则又与的图象上，

二式联立得：

则 ,令 ,得时, 单调递减, 故又的最大值为 ,即实数的取值范围是故选B.

考查方向

本题考查实数的取值范围的求法和导数的应用.

解题思路

设M（x，kx），则N（kx，x），推导出k的式子，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．

易错点

解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

题型：单选题

分值: 5分

11. 抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最小值是( )

正确答案

解析

解：画出示意图.设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF.

由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|.

在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.

由勾股定理得|AB|2=a2+b2 ，配方得，|AB|2=(a+b)2-2ab.

又∵ab≤()2，

∴(a+b)2-2ab≥(a+b)2-(a+b)2= (a+b)2，得到|AB|≥ (a+b).

所以，即

的最大值为.故选C.

本题是一道关于抛物线方程的题目，关键是掌握抛物线的性质；

考查方向

本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查勾股定理和基本不等式的运用 ,考查化简整理的运算能力

解题思路

利用抛物线定义和梯形的中位线定理，再利用勾股定理求出AB，最后用基本不等式求最大值.

易错点

基本不等式的应用易出错 .

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

13 .若函数有两个零点，则实数的取值范围是______________．

正确答案

解析

由图形

可知当时，函数与函数的图象有两个交点，即实数的取值范围是。

故本题正确答案为。

考查方向

本题主要考查指数与指数函数.

解题思路

已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.本题用第（3）种解法.

易错点

画指数函数图象时要注意它的渐近线.

题型：填空题

分值: 5分

15．已知圆，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围为______________.

正确答案

【答案】

解析

解:将圆C的方程整理为标准方程得:,
圆心,半径,
直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,
圆心到直线的距离,
计算得出:.
因此，本题正确答案是:.

考查方向

本题考察了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.

解题思路

将圆C的方程整理为标准形式,找出圆心C的坐标与半径r,根据直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,即圆心到直线的距离小于等于2,利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围.

易错点

转化为点到直线距离时易理解错误.

题型：填空题

分值: 5分

16. 已知点为的重心，设△的内角的对边分别为且满足，若则实数=

正确答案

解析

解：如图,

连接AG,延长交CB于D,
因为G为重心,故D为中点, ,
由重心的性质得, ,即,
由余弦定理得, ,

即,
.
因此，本题正确答案是:.

考查方向

本题考察了三角形重心的性质，余弦定理.

解题思路

首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半,得到,再应用余弦定理推出, 然后运用余弦定理,结合前面的结论,即可求出实数的值.

易错点

重心性质的应用和用余弦定理列方程是本题的突破口，也是易错点.

题型：填空题

分值: 5分

14.已知变量满足约束条件，则的取值范围是______________ ．

正确答案

解析

解:由约束条件作出可行域如图,

联立,得B（3,3）,
化为,由图可以知道,
当直线过B（3,3）时z有最大值,为.
因此，本题正确答案是:.

考查方向

本题考察了简单的线性规划.

解题思路

由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.

易错点

画图形找约束条件的最优解时易出错.

简答题（综合题）本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

如图，是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过的截面与上底面相交于，设.

22.证明：；

23.当时，在图中作出点C在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四棱锥表面积

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

∵平面平面，平面平面，平面平面，，，又．

解题思路

利用面面平行的性质定理即可证明．

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

【解析】

点是中点，理由如下：

当时，分别是的中点，连接和, 因为

是正三棱柱，所以,

取中点，连接在等腰梯形中，，

连接中，,

平面ABF，即,

所以点是在平面内的正投影。

考查方向

本题考查了正三棱柱的性质、线面平行垂直的判定与性质定理、等腰梯形等腰三角形的性质、三棱锥中面积计算公式，考查了推理能力与计算能力.

解题思路

F点是PQ中点，理由如下：当λ=12时，P、Q分别是A1C1，A1B1的中点，连接CQ和CP，由ABC-A1B1C1是正三棱柱，可得CQ=CP，CF⊥QP，取AB中点H，连接FH，CH，在等腰梯形ABQP中，FH2=AP2-AB2，可得CF2+FH2=CH2，可得CF⊥FH．可得CF⊥平面ABF，即CF⊥平面ABQP，即可把所求转化为5个可求三角形的面积之和．

易错点

第二步证明垂直的充分性易出错.

题型：简答题

分值: 12分

已知向量，，函数．

17.求函数的最小正周期及单调递增区间；

18.在中，三内角，，的对边分别为，已知函数的图象经过点，成等差数列，且，求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

解：

最小正周期：， ………………………………（4分）

由得：

所以的单调递增区间为：; ………………（6分）

解题思路

把f(x)表示出来化为一个角的一个函数的形式，代入周期公式和正弦函数的递增区间求解；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：由可得：

所以, ……（8分）

又因为成等差数列，所以，

而 ……………………（10分）

， . （12分）

考查方向

本题考察了向量的运算与三角函数的图象和性质，余弦定理.

解题思路

由（17.）求出角A，结合条件，利用余弦定理列方程求a.

易错点

计算容易出错.

题型：简答题

分值: 12分

为了解大学生观看浙江卫视综艺节目“奔跑吧兄弟”是否与性别有关，一所大学心理学教师从该校学生中随机抽取了50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：

若该教师采用分层抽样的方法从50份问卷调查中继续抽查了10份进行重点分析，知道其中喜欢看“奔跑吧兄弟”的有6人．

19.请将上面的列联表补充完整；

20.是否有99.5%的把握认为喜欢看“奔跑吧兄弟”节目与性别有关？说明你的理由；

21.已知喜欢看“奔跑吧兄弟”的10位男生中，A1，A2，A3，A4，A5还喜欢看新闻，B1，B2，B3还喜欢看动画片，C1，C2还喜欢看韩剧，现再从喜欢看新闻、动画片和韩剧的男生中各选出1名进行其他方面的调查，求B1和C1不全被选中的概率．

下面的临界值表供参考：

(参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由分层抽样知识知，喜欢看“奔跑吧兄弟”的同学有50×＝30人，故不喜欢看“奔跑吧兄弟”的同学有50－30＝20人，于是可将列联表补充如下：

（4分）

解题思路

由分层抽样知识，求出50名同学中喜欢看电视节目的人数，作差求出不喜欢看该电视节目的人数，则可得到列联表；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

∵χ2＝≈8.333>7.879.

∴有99.5%的把握认为喜欢看“奔跑吧兄弟”节目与性别有关．

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

从喜欢看“奔跑吧兄弟”的10位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有N＝5×3×2＝30个，用M表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，

由于由(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，(A4，B1，C1)，(A5，B1，C1)5个基本事件组成，所以

由对立事件的概率公式得【解题思路】用列举法写出从10位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各1名的一切可能的结果，查出
B1、C1全被选中的结果数，得到B1、C1全被选中这一事件的概率，由对立事件的概率得到B1和C1不全被选中的概率．

考查方向

本题考查了分层抽样方法，考查了独立性检验，考查了列举法求随机事件的概率.

易错点

对于题意的正确理解及准确的计算能力．

题型：简答题

分值: 12分

已知右焦点为的椭圆与直线相交于、两点，且.

24.求椭圆的方程；

25.为坐标原点，，，是椭圆上不同的三点，并且为的重心，试探究的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：设，，则，……………（1分）

，即，①…………………………（2分）

，，即，②…………………………（3分）

由①②得，

又，，…………………………（4分）

椭圆的方程为．…………………………（5分）

解题思路

设F，P，Q，代入椭圆方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得a=2，c=1，即可得到所求椭圆方程；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

的面积为定值

解析

设直线方程为：，

由得，

为重心，，…………………………（7分）

点在椭圆上，故有，

可得，……………………………………………………………（8分）

而，

点到直线的距离（是原点到距离的3倍得到），…（9分）

，…（10分）

当直线斜率不存在时，，，，

的面积为定值．……………………………………（12分）

考查方向

本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查三角形的面积的计算．

解题思路

设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，由O为△ABC的重心，可得C的坐标，代入椭圆方程，可得4m2=3+4k2，由弦长公式和点到直线的距离公式可得三角形的面积，化简整理，可得定值；再验证直线AB的斜率不存在，即可得到△ABC的面积为定值．

易错点

注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，在运算过程中易出错.，

题型：简答题

分值: 12分

已知函数，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数．

26.求实数的值；

27.设是函数的两个极值点，记，若，

①的取值范围；②求的最小值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解： 2分

解题思路

利用函数的导数，求出切线的斜率，然后求解a的值．

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

;

解析

由， 4分

5分

8分

10分

考查方向

本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性切线方程，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．

解题思路

（①通过函数的导数，利用函数的极值点，推出t的不等式，求出t的范围．
②化简g（x1）-g（x2）的表达式，构造函数h(t)，利用导数判断函数的单调性，然后判断函数的极值，推出结果.

易错点

函数的极值与最值的概念容易混淆，要注意.

题型：简答题

分值: 10分

选修2/2：不等式选讲

30.设函数，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

31.已知正数满足，求的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

……（2分）

∵原命题等价于, …………………………………………（3分）

所以,. ………………………………………（5分）

解题思路

由绝对值三角不等式可得 |，可得，由此解得a的范围．

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由于，所以

…………（8分）

当且仅当，即时，等号成立.

∴的最小值为. …………………………（10分）

考查方向

本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，考查三元柯西不等式及应用.

解题思路

运用柯西不等式可得

，即可得出结论．

易错点

基本的运算，等价转化和分类讨论的数学思想是重点也是易错点.

题型：简答题

分值: 10分

选作1/2：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

28.求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；

29.过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

曲线化为普通方程为：,………………………（2分）

由，得，……………………（4分）

所以直线的直角坐标方程为.……………………………………（5分）

解题思路

消参数化为普通方程，极坐标转化为直角坐标即可.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

直线的参数方程为（为参数），……………………（8分）

代入化简得：，）

设两点所对应的参数分别为，则，

∴.

考查方向

本题考察了参数方程和极坐标.

解题思路

联立直线与椭圆的方程，利用直线参数的几何意义和韦达定理求解.

易错点

第二问中直线参数方程参数的几何意义的应用易出错.

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解题思路

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