2017年高考真题 文科数学 (天津卷)
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.设,则“”是“”的(        )

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B

解析

,则

,则

据此可知:“”是“”的必要二不充分条件.本题选择B选项.

考查方向

充要条件的判定

解题思路

根据充要条件的判断方式,选择正确的答案

易错点

逻辑关系混乱

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为19,则输出的值为(      )

A0

B1

C2

D3

正确答案

C

解析

阅读流程图可得,程序执行过程如下:

首先初始化数值为

第一次循环:,不满足

第二次循环:,不满足

第三次循环:,满足

此时跳出循环体,输出.

本题选择C选项.

考查方向

本题主要考查程序框图的识别和应用,根据条件进行模拟计算是解决本题的关键.

解题思路

根据程序框图,进行模拟计算即可.

易错点

对循环结构中控制条件理解存在偏差

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.已知奇函数上是增函数.若,则的大小关系为(      )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题意:

且:

据此:

结合函数的单调性有:

.

本题选择C选项.

考查方向

本题考查函数奇偶性,考查函数单调性的应用,考查转化思想,属于基础题.

解题思路

由奇函数f(x)在R上是增函数,则g(x)=xf(x)偶函数,且在(0,+∞)单调递增,则a=g(-log25.1)=g(log25.1),则2<-log25.1<3,1<20.8<2,即可求得b<a<c

易错点

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.已知函数,若关于的不等式上恒成立,则的取值范围是(       )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

满足题意时的图象恒不在函数下方,

时,函数图象如图所示,排除C,D选项;

时,函数图象如图所示,排除B选项,

本题选择A选项.

考查方向

本题考查分段函数的运用,不等式恒成立问题的解法,注意运用分类讨论和分离参数法,以及转化思想的运用,分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键,属于中档题.

解题思路

运用绝对值不等式的解法和分离参数,再由二次函数的最值求法,可得a的范围;求交集即可得到所求范围.

易错点

与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨论奇偶性等等。在解决此类问题时,要注意分段函数是一个函数而不是几个函数,如果自变量取值不能确定,要对自变量取值进行分类讨论,同时还要关注分界点附近函数值变化情况。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设集合,则(       )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由题意可得:,所以选B

考查方向

本题考查交、并、补集的混合运算,是基础题.

解题思路

由并集概念求得A∪B,再由交集概念得答案.

易错点

对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”,对其本质的理解存在误区,常见的错误是不理解集合的表示法,忽视集合的代表元素。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(       )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

选取两支彩笔的方法有种,含有红色彩笔的选法为种,

由古典概型公式,满足题意的概率值为,本题选则C选项

考查方向

概率的简单应用

解题思路

先求出选取两支彩笔的方法有多少种情况,然后算出有红色彩笔的选法有多少种,两式相除,可得答案。

易错点

计算能力弱

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.已知双曲线的左焦点为,点在双曲线的渐近线上,是边长为2的等边三角形(为原点),则双曲线的方程为(     )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意结合双曲线的渐近线方程可得:

,解得

双曲线方程为,本题选择D选项

考查方向

本题考查双曲线的简单几何性质,等轴双曲线的应用,属于中档题.

解题思路

由双曲线的离心率为,则双曲线为等轴双曲线,即渐近线方程为y=±x,根据直线的斜率公式,即可求得c的值,求得a和b的值,即可求得双曲线方程.

易错点

注意双曲线中a,b,c之间的关系

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.设函数,其中.若的最小正周期大于,则(       )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由题意,其中,所以,又,所以,所以,由,故选A.

考查方向

本题考查由三角函数的部分图象求解析式,考查y=Asin(ωx+φ)型函数的性质,是中档题

解题思路

由题意求得,再由周期公式求得,最后由若求得值.

易错点

的求解是难点,注意其方法.

填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

9.已知,i为虚数单位,若为实数,则a的值为 _______.

正确答案

解析

为实数,

.

考查方向

本题考查复数的乘除运算,注意运用共轭复数,同时考查复数为实数的条件:虚部为0,考查运算能力,属于基础题.

解题思路

运用复数的除法法则,结合共轭复数,化简,再由复数为实数的条件:虚部为0,解方程即可得到所求值.

易错点

要善于掌握化虚为实的转化方法,即设复数z=a+bi(a,b∈R),但有时给许多问题的求解带来不必要的运算困难,而若把握复数的整体性质运用整体运算的思想方法,则能事半功倍,同时要注意复数几何意义的应用

1
题型:填空题
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分值: 5分

10.已知,设函数的图象在点(1,)处的切线为l,则ly轴上的截距为 _______.

正确答案

解析

,切点为,则切线的斜率为,切线方程为:,令得出轴的截距为.学 科.网

考查方向

利用导数求切线的方程

解题思路

先求导数,利用导数求切线的直线方程,然后算出截距。

易错点

求导计算错误

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.若a,则的最小值为 _________.

正确答案

解析

 ,当且仅当时取等号.

考查方向

本题考查了基本不等式的应用问题,是中档题.

解题思路

两次利用基本不等式,即可求出最小值,需要注意不等式等号成立的条件是什么.

易错点

均值不等式≥2)取等号的条件是“一正,二定,三相等”。

在解题过程中,务必要先检验取等号的三个条件是否成立。常规的解法是①如果积或和不是定值,设法构造“定值”;② 若是不能保证,可构造“正数”或利用导数求解;③若是等号不能成立,可根据“对勾函数”图象,利用单调性求解。

1
题型:填空题
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分值: 5分

11.已知一个正方形的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为________.

正确答案

解析

设正方体边长为 ,则 ,

外接球直径为.

考查方向

本题主要考查空间正方体和球的关系,利用正方体的体对角线等于直径,结合球的体积公式是解决本题的关键.

解题思路

根据正方体和球的关系,得到正方体的体对角线等于直径,结合球的体积公式进行计算即可.

易错点

熟记球的体积公式.

1
题型:填空题
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分值: 5分

12.设抛物线的焦点为F,准线为l.已知点Cl上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若,则圆的方程为 __________.

正确答案

解析

设圆心的坐标为,则,焦点

,由于圆C与y轴的正半轴相切,则取,所求圆的圆心为,半径为1,所求圆的方程为

考查方向

抛物线的方程  圆的方程

解题思路

设出相应的坐标,利用抛物线的性质,寻找等量关系,进而求出圆的方程

易错点

计算能力弱

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.在△ABC中,AB=3,AC=2.若),且,则的值为 _______.

正确答案

解析

 ,则

.

考查方向

本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题,是中档题.

解题思路

根据题意画出图形,结合图形,利用

表示出,再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值.

易错点

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 14分

19.(本小题满分14分)设.已知函数.

(Ⅰ)求的单调区间;

(Ⅱ)已知函数的图象在公共点(x0y0)处有相同的切线,

(i)求证:处的导数等于0;

(ii)若关于x的不等式在区间上恒成立,求b的取值范围.

正确答案

(1)递增区间为,递减区间为.(2)(ⅰ)处的导数等于0.(ⅱ)的取值范围是.

解析

(I)由,可得

,解得,或,由,得

变化时,的变化情况如下表:

所以,的单调递增区间为,单调递增区间为

(II)(i)因为,由题意知

所以,解得

所以,处的导数等于0

(ii)因为,由,可得.

又因为,故的极大值点,由(I)知.

另一方面,由于,故

由(I)知内单调递增,在内单调递减,

故当时,上恒成立,从而上恒成立.

,得

,所以

,解得(舍去),或.

因为,故的值域为.

所以,的取值范围是.

考查方向

本题考查函数的导数的综合应用,函数的单调性以及函数的最值的求法,考查分类讨论思想以及转化思想的应用,是难度比较大的题目.

解题思路

(Ⅰ)求出函数的导函数,求出极值点,通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可.(Ⅱ)求出导函数,利用(Ⅰ)的结论求出答案

易错点

对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻

1
题型:简答题
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分值: 13分

16.(本小题满分13分)

某电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:

已知电视台每周安排甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.

(I)用列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;

(II)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多?

正确答案

(1)见解析(2)电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.

解析

(Ⅰ)解:由已知,满足的数学关系式为

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:

 

(II)解:设总收入人次为万,则目标函数为

考虑,将它变形为,这时斜率为,随变化的一族平行直线,为直线y轴上的截距,当取得最大值时,z的值最大,又因为满足约束条件,所以可知,当直线经过可行域上的点M时,Z最大。

解方程组,得点M的坐标为(6,3)

所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.

考查方向

平面规划的实际应用;实际问题中的最值问题

解题思路

(Ⅰ)根据所给约束条件,结合实际问题作图可得

(Ⅱ)找出正确的可行区域,然后根据目标函数的平移,寻找最值点,进而求出答案

易错点

找出正确的可行域,求可能点的值

1
题型:简答题
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分值: 13分

15.(本小题满分13分)

中,内角所对的边分别为.已知.

(I)求的值;

(II)求的值.

正确答案

(1) (2)

解析

(I)由,及,得

,及余弦定理,得

由(I)知,A为钝角,所以,于是

,故

.

考查方向

本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,考查倍角公式的应用,是中档题.

解题思路

(Ⅰ)由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB,再由余弦定理求得b,利用正弦定理求得sinA;
(Ⅱ)由同角三角函数基本关系式求得cosA,再由倍角公式求得sin2A,cos2A,展开两角和的正弦得答案.

易错点

在解三角形中,要注意挖掘题中的隐含条件,否则范围将扩大或缩小,导致错解

1
题型:简答题
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分值: 13分

17.(本小题满分13分)

如图,在四棱锥中,平面.

(I)求异面直线所成角的余弦值;

(II)求证:平面

(III)求直线与平面所成角的正弦值.

正确答案

(1) (2)见解析(3)

解析

(I)如图,由已知AD//BC,故或其补角即为意面直线AP与BC所成的角,因为AD垂直平面PDC,所以,在中,由已知,得,所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为

(II)证明:因为D垂直平面PDC,直线平面,所以,又因为BC//AD,所以,所以平面

(Ⅲ)过点DAB的平行线交BC于点F,连结PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.

因为PD⊥平面PBC,故PFDF在平面PBC上的射影,所以为直线DF和平面PBC所成的角.

由于AD//BCDF//AB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BCBF=2.又ADDC,故BCDC,在Rt△DCF中,可得.

所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.

考查方向

本题考查直线与平面平行的判定,考查了利用空间向量求解空间角,考查计算能力,是中档题

解题思路

(1)先找到角,然后求出余弦值。(2)根据线线垂直证明线面垂直(3)先找到角,然后利用解直角三角形相关知识求出所成角的正弦值

易错点

在解决有关该考点的具体问题时,易出现的问题主要有:(1)对空间线面关系考虑不全面,导致位置关系判断出错,漏掉直线在平面内的情况;(2)在利用空间线面平行与面面平行的性质定理证明空间平行关系时,往往忽略限制条件导致思维过程不严谨,导致误判

1
题型:简答题
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分值: 13分

18.(本小题满分13分)

已知为等差数列,前n项和为是首项为2的等比数列,且公比大于0,

.

(Ⅰ)求的通项公式;

(Ⅱ)求数列的前n项和.

正确答案

(1)..(2).

解析

(I)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由已知,得,而,所以,又因为,解得,所以,

由此可得.所以,的通项公式为的通项公式为

,可得,由,由,可得,联立(1)(2),解得

(Ⅱ)设数列的前项和为

上述两式相减,得

.

.

所以,数列的前项和为.

考查方向

本题考查等差数列以及等比数列的应用,数列求和的方法,考查计算能力.

解题思路

(Ⅰ)设出公差与公比,利用已知条件求出公差与公比,然后求解{an}和{bn}的通项公式;

(Ⅱ)化简数列的通项公式,利用错位相减法求解数列的和即可.

易错点

用错位相减法求和时项数处理不当

1
题型:简答题
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分值: 14分

20.(本小题满分14分)已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点的坐标为的面积为.

(I)求椭圆的离心率;

(II)设点在线段上,,延长线段与椭圆交于点,点轴上,,且直线与直线间的距离为,四边形的面积为.

(i)求直线的斜率;

(ii)求椭圆的方程.

正确答案

(1) (2)(ⅰ) (ⅱ)

解析

(I)设椭圆的离心率为e,由已知,可得,又由,可得

,又因,解得,所以,椭圆的离心率为

(II)(i)依题意,设直线的方程为,则直线FP的斜率为

由(I)知,,可得直线AE的方程为,即,与直线FP的方程联立,可解

,即点Q的坐标为.

由已知|FQ|=,有,整理得,所以,即直线FP的斜率为.

,可得,故椭圆方程可以表示为

由(i)得直线FP的方程为,与椭圆方程联立,消去y,整理得

,解得(舍去),或,因此可得点P,进而可得

,所以,由已知,线段PQ的长即为PM与这两条平行直线间的距离,故直线都垂直于直线.

因为,所以,所以的面积为,同理的面积等于,由四边形的面积为,得,整理得,又由,得.

所以,椭圆的方程为.

考查方向

本题考查了椭圆定义与性质,直线与椭圆的位置关系,属于中档题.

解题思路

(I)根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a,b,p即可得出方程;
(II)根据已知条件,结合圆锥曲线的性质,求解答案

易错点

解决直线与圆锥曲线位置关系时,常规的方法是设出直线方程,然后与圆锥曲线方程联立,转化为方程的根与系数间的关系问题求解,因此应注意以下几个问题①所设直线的斜率是否存在,②消元后的方程是否为一元二次方程,③一元二次方程是否有实根

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