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2017年高考真题 文科数学 (天津卷)
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文科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
2、填空题
9
10
11
12
13
14
3、简答题
15
16
17
18
19
20
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单选题 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2.设，则“”是“”的(        )

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B

解析

，则，

，则，

据此可知：“”是“”的必要二不充分条件.本题选择B选项.

考查方向

充要条件的判定

解题思路

根据充要条件的判断方式，选择正确的答案

易错点

逻辑关系混乱

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为19，则输出的值为(      )

A0

B1

C2

D3

正确答案

C

解析

阅读流程图可得，程序执行过程如下：

首先初始化数值为，

第一次循环：，不满足；

第二次循环：，不满足；

第三次循环：，满足；

此时跳出循环体，输出.

本题选择C选项.

考查方向

本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．

解题思路

根据程序框图，进行模拟计算即可．

易错点

对循环结构中控制条件理解存在偏差

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6.已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为(      )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题意：，

且：，

据此：，

结合函数的单调性有：，

即.

本题选择C选项.

考查方向

本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题．

解题思路

由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则a=g（-log25.1）=g（log25.1），则2＜-log25.1＜3，1＜20.8＜2，即可求得b＜a＜c

易错点

无

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8.已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是(       )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

满足题意时的图象恒不在函数下方，

当时，函数图象如图所示，排除C,D选项；

当时，函数图象如图所示，排除B选项，

本题选择A选项.

考查方向

本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．

解题思路

运用绝对值不等式的解法和分离参数，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；求交集即可得到所求范围．

易错点

与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨论奇偶性等等。在解决此类问题时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1.设集合，则(       )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由题意可得：，，所以选B

考查方向

本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．

解题思路

由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．

易错点

对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(       )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种，

由古典概型公式，满足题意的概率值为，本题选则C选项

考查方向

概率的简单应用

解题思路

先求出选取两支彩笔的方法有多少种情况，然后算出有红色彩笔的选法有多少种，两式相除，可得答案。

易错点

计算能力弱

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5.已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为(     )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意结合双曲线的渐近线方程可得：

，解得

双曲线方程为，本题选择D选项

考查方向

本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用，属于中档题．

解题思路

由双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．

易错点

注意双曲线中a,b,c之间的关系

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7.设函数，其中.若且的最小正周期大于，则(       )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A．

考查方向

本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题

解题思路

由题意求得，再由周期公式求得，最后由若求得值．

易错点

的求解是难点，注意其方法.

填空题 本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

9.已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 _______.

正确答案

解析

为实数，

则.

考查方向

本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．

解题思路

运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．

易错点

要善于掌握化虚为实的转化方法，即设复数z=a+bi(a,b∈R)，但有时给许多问题的求解带来不必要的运算困难，而若把握复数的整体性质运用整体运算的思想方法，则能事半功倍，同时要注意复数几何意义的应用

1
题型：填空题
|
分值: 5分

10.已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为 _______.

正确答案

解析

，切点为，，则切线的斜率为，切线方程为：，令得出，在轴的截距为.学 科.网

考查方向

利用导数求切线的方程

解题思路

先求导数，利用导数求切线的直线方程，然后算出截距。

易错点

求导计算错误

1
题型：填空题
|
分值: 5分

13.若a，，，则的最小值为 _________.

正确答案

解析

 ，当且仅当时取等号.

考查方向

本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．

解题思路

两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．

易错点

均值不等式≥2（）取等号的条件是“一正，二定，三相等”。

在解题过程中，务必要先检验取等号的三个条件是否成立。常规的解法是①如果积或和不是定值，设法构造“定值”；② 若是不能保证，可构造“正数”或利用导数求解；③若是等号不能成立，可根据“对勾函数”图象，利用单调性求解。

1
题型：填空题
|
分值: 5分

11.已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________.

正确答案

解析

设正方体边长为 ，则 ，

外接球直径为.

考查方向

本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．

解题思路

根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．

易错点

熟记球的体积公式.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

12.设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为 __________.

正确答案

解析

设圆心的坐标为,则,焦点

，，，，由于圆C与y轴的正半轴相切，则取，所求圆的圆心为，半径为1，所求圆的方程为

考查方向

抛物线的方程  圆的方程

解题思路

设出相应的坐标，利用抛物线的性质，寻找等量关系，进而求出圆的方程

易错点

计算能力弱

1
题型：填空题
|
分值: 5分

14.在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（），且，则的值为 _______.

正确答案

解析

 ,则

.

考查方向

本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．

解题思路

根据题意画出图形，结合图形，利用

表示出,再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．

易错点

无

简答题（综合题） 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 14分

19.（本小题满分14分）设，.已知函数，.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，

（i）求证：在处的导数等于0；

（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.

正确答案

（1）递增区间为，，递减区间为.（2）（ⅰ）在处的导数等于0.（ⅱ）的取值范围是.

解析

（I）由，可得

令，解得，或，由，得

当变化时，，的变化情况如下表：

所以，的单调递增区间为，，单调递增区间为

（II）(i)因为，由题意知

所以，解得

所以，在处的导数等于0

（ii）因为，，由，可得.

又因为，，故为的极大值点，由（I）知.

另一方面，由于，故，

由（I）知在内单调递增，在内单调递减，

故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.

由，得，。

令，，所以，

令，解得（舍去），或.

因为，，，故的值域为.

所以，的取值范围是.

考查方向

本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难度比较大的题目．

解题思路

（Ⅰ）求出函数的导函数，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．（Ⅱ）求出导函数，利用（Ⅰ）的结论求出答案

易错点

对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻

1
题型：简答题
|
分值: 13分

16.（本小题满分13分）

某电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

已知电视台每周安排甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.

（I）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？

正确答案

(1)见解析（2）电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.

解析

（Ⅰ）解：由已知，满足的数学关系式为即

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：

 

(II)解：设总收入人次为万，则目标函数为

考虑，将它变形为，这时斜率为，随变化的一族平行直线，为直线y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大，又因为满足约束条件，所以可知，当直线经过可行域上的点M时，Z最大。

解方程组，得点M的坐标为（6，3）

所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.

考查方向

平面规划的实际应用；实际问题中的最值问题

解题思路

（Ⅰ）根据所给约束条件，结合实际问题作图可得

（Ⅱ）找出正确的可行区域，然后根据目标函数的平移，寻找最值点，进而求出答案

易错点

找出正确的可行域，求可能点的值

1
题型：简答题
|
分值: 13分

15.（本小题满分13分）

在中，内角所对的边分别为.已知，.

（I）求的值；

（II）求的值.

正确答案

(1) (2)

解析

（I）由，及，得

由，及余弦定理，得

由（I）知，A为钝角，所以，于是

，故

.

考查方向

本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是中档题．

解题思路

（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；
（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案．

易错点

在解三角形中，要注意挖掘题中的隐含条件，否则范围将扩大或缩小，导致错解

1
题型：简答题
|
分值: 13分

17.（本小题满分13分）

如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.

（I）求异面直线与所成角的余弦值；

（II）求证：平面；

（III）求直线与平面所成角的正弦值.

正确答案

(1) (2)见解析(3)

解析

（I）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为意面直线AP与BC所成的角，因为AD垂直平面PDC,所以,在中，由已知，得，所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为

（II）证明：因为D垂直平面PDC，直线平面，所以，又因为BC//AD，所以,所以平面

（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.

因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.

由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得.

所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.

考查方向

本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题

解题思路

（1）先找到角，然后求出余弦值。（2）根据线线垂直证明线面垂直（3）先找到角，然后利用解直角三角形相关知识求出所成角的正弦值

易错点

在解决有关该考点的具体问题时，易出现的问题主要有：（1）对空间线面关系考虑不全面，导致位置关系判断出错，漏掉直线在平面内的情况；（2）在利用空间线面平行与面面平行的性质定理证明空间平行关系时，往往忽略限制条件导致思维过程不严谨，导致误判

1
题型：简答题
|
分值: 13分

18.（本小题满分13分）

已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，

.

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和.

正确答案

（1）..（2）.

解析

（I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由已知，得，而，所以，又因为，解得，所以，

由此可得.所以，的通项公式为，的通项公式为

由，可得，由，由，可得，联立（1）（2），解得

（Ⅱ）设数列的前项和为，，

，

上述两式相减，得

.

得.

所以，数列的前项和为.

考查方向

本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力．

解题思路

（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{an}和{bn}的通项公式；

（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．

易错点

用错位相减法求和时项数处理不当

1
题型：简答题
|
分值: 14分

20.（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.

（I）求椭圆的离心率；

（II）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为.

（i）求直线的斜率；

（ii）求椭圆的方程.

正确答案

（1） （2）（ⅰ） （ⅱ）

解析

（I）设椭圆的离心率为e,由已知，可得，又由，可得

即，又因，解得，所以，椭圆的离心率为

（II）（i）依题意，设直线的方程为，则直线FP的斜率为

由（I）知，，可得直线AE的方程为，即，与直线FP的方程联立，可解

得，即点Q的坐标为.

由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直线FP的斜率为.

由，可得，故椭圆方程可以表示为

由（i）得直线FP的方程为，与椭圆方程联立，消去y,整理得

，解得（舍去），或，因此可得点P,进而可得

,所以,由已知,线段PQ的长即为PM与这两条平行直线间的距离，故直线和都垂直于直线.

因为，所以，所以的面积为，同理的面积等于，由四边形的面积为，得，整理得，又由，得.

所以，椭圆的方程为.

考查方向

本题考查了椭圆定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．

解题思路

（I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；
（II）根据已知条件，结合圆锥曲线的性质，求解答案

易错点

解决直线与圆锥曲线位置关系时，常规的方法是设出直线方程，然后与圆锥曲线方程联立，转化为方程的根与系数间的关系问题求解，因此应注意以下几个问题①所设直线的斜率是否存在，②消元后的方程是否为一元二次方程，③一元二次方程是否有实根

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