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2.已知,其中
为虚数单位,则
等于( )
正确答案
解析
解析:由题意得,,即
,所以
,所以
,故选B.
考查方向
解题思路
先根据复数的乘法运算把题干等式化简,利用复数的概念对比系数分别求出的值,从而解决问题.
易错点
本题易错在进行复数乘法运算时忽略了的要求.
5.已知函数,则“
”是“函数
在
上为增函数”的( )
正确答案
解析
解析:,即
在区间
上恒成立,则
,而
,故选A.
考查方向
解题思路
先对函数求导,然后根据导数为单调函数的充要条件列出不等式,然后解不等式即可.
易错点
本题易错在求导错误.
6.运行如图所示框图的相应程序,若输入的值分别为
和
,则输出
的值是( )
正确答案
解析
解析:,∴
,∴
,根据程度框图,
.
考查方向
解题思路
先根据对数的运算法则比较出,
的大小关系,然后根据程序框图中的判定条件,确定运算程序,直接代入数据计算即可.
易错点
本题易错在不能根据对数的运算规则判断出,
的大小关系.
7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
正确答案
解析
解析:还原为如图所示的直观图,.
考查方向
解题思路
先根据三视图确定几何体的形状,然后根据对应的几何体体积公式代数数据计算即可.
易错点
本题易错在不能根据三视图确定几何体.
8.在中,角
的对边分别是
,若
,则角
等于( )
正确答案
解析
解析:因为,所以由正弦定理可得:
,因为
,可得:
,
所以或
.
考查方向
解题思路
直接利用正弦定理代入数据求出,然后根据
的取值范围确定
的大小.
易错点
本题易错在没有考虑角的取值范围
11.函数(其中
为自然对数的底)的图象大致是( )
正确答案
解析
解析:当时,函数是
,
有且只有一个极大值点是
,
所以选A.
考查方向
解题思路
先跟函数的解析式确定函数的奇偶性,然后研究函数在时的图象的情况,通过对函数求导,确定函数在
处有极值点,根据四个选项即可得出结果.
易错点
本题易错在不能确定函数的极值点.
12.设满足约束条件
,若目标函数
,
最大值为2,则
的图象向右平移
后的表达式为( )
正确答案
解析
解析:作出可行域与目标函数基准线,由线性规划知识,可得当直线
过点
时,
取得最大值,即
,解得
;则
的图象向右平移
个单位后得到的解析式为
.故答案为C.
考查方向
解题思路
先根据线性约束条件画出平面区域,然后通过直线平移确定最值,从而确定的值,再通过三角函数的平移变换确定函数解析式即可.
易错点
本题易错在根据线性规划的知识确定的值.
1.设集合,集合
,则
等于( )
正确答案
解析
解:,且
,
所以.
考查方向
解题思路
先利用一元二次不等式的解法以及的限制条件把集合
化简,然后根据补集的概念直接计算即可.
易错点
本题易错在不会解一元二次等式以及没有注意的条件.
3.在等差数列中,已知
,则
的值为( )
正确答案
解析
解析:∵,∴
.
考查方向
解题思路
先根据等差数列的性质进行转化,然后根据
与
的关系整体代入数据计算即可.
易错点
本题易错在不能把要求的式子转化为条件中的式子.
4.设,则下列不等式成立的是( )
正确答案
解析
解析:由可设
,代入选项验证可知
成立.
考查方向
解题思路
根据选项,直接代入特殊值进行验证即可.
易错点
本题错在没有准确代入特殊值验证选项的正误.
9.已知函数,若
,则实数
的取值范围是( )
正确答案
解析
解析:由题意,得或
,解得
或
,即实数
的取值范围为
,故选C.
考查方向
解题思路
根据分段函数的解析式,直接解对数不等式以及指数不等式,然后再取交集即可.
易错点
本题易错在没有结合的取值范围来解不等式.
10.如图,是双曲线
与椭圆
的公共焦点,点
是
在第一象限的公共点,若
,则
的离心率是( )
正确答案
解析
解析:由题意知,,∵
,∴
,∴
,
∵,∴
的离心率是
.
考查方向
解题思路
先根据双曲线定理确定的值,从而求出
的值,再利用椭圆的定义求出
和
的值即可求出椭圆的离心率.
易错点
本题错在对椭圆与双曲线的定义理解不透.
16.设曲线在点
处的切线与
轴的交点横坐标为
,则
的值为 .
正确答案
解析
解析:求导函数,可得,设过
处的切线斜率为
,则
,所以切线方程为
,令
,
可得,∴
,
∴.
考查方向
解题思路
先求出函数求导,然后求出切线方程,再令纵坐标为零,求出横坐标的表示式,最后利用对数的运算法则求出结果.
易错点
本题易错在切线方程没有求出来.
13.已知直线与直线
平行,则
.
正确答案
4
解析
解:由直线与直线
平行,可得
,
∴.
考查方向
解题思路
先根据两直线平行求出的值,然后把两直线的系数转化相同,然后利用两平行直线距离公式代入数据直接计算即可.
易错点
本题易错在没有把两平行直线转化为系数相同.
14.设为
所在平面内一点,
,若
,则
.
正确答案
解析
解:∵,
∴,
即,
∴,
.
考查方向
解题思路
根据题干所给等式以及平面向量的三角形法则把准确表示,然后对比系数确定
的值,从而求出
的值.
易错点
本题易错在对平面向量的减法运算中的三角形法则不熟.
15.已知,命题
:对任意实数
,不等式
恒成立,若
为真命题,则
的取值范围是 .
正确答案
解析
解析:对任意,不等式
恒成立,
∴,即
,解得
.
考查方向
解题思路
先根据二次函数的性质求出最值,然后直接解一元二次不等式即可.
易错点
本题易错在不能准确求出二次函数的最值.
已知椭圆,与
轴的正半轴交于点
,右焦点
,
为坐标原点,且
.
23.求椭圆的离心率;
24.已知点,过点
任意作直线
与椭圆
交于
两点,设直线
,
的斜率为
,若
,试求椭圆
的方程.
正确答案
解析
20.解:(1)在直角三角形中,
∵,
∴,
即.
考查方向
解题思路
先根据直角三角形中的正切值计算出的关系,再结合离心率公式以及
三个量的基本公式即可求出离心率.
易错点
本题易错在计算正切值时错用基本量.
正确答案
解析
(2)由(1)知,则椭圆方程可化为
,
设直线,
,
∴,
.
∴,
即对于任意的
恒成立,
则,进而求得
,
所以椭圆的方程是.
考查方向
解题思路
先根据(1)的结论把椭圆中的转化用
表示,然后联立方程化简得到一元二次方程,利用韦达定理求出两根和与两根积的表达式,然后代入题干等式化简即可求出
的值,从而求出
的值,即可求出椭圆的标准方程.
易错点
本题易错在联立直线与椭圆的方程时化简出错.
等差数列中,已知
,且
构成等比数列
的前三项.
17.求数列的通项公式;
18.记,求数列
的前
项和
.
正确答案
解析
解:设等差数列的公差为
,则由已知得
,即
.
又,解得
或
(舍),
,
.
又,∴
,∴
.
考查方向
解题思路
根据等差数列的基本性质求出的值,然后根据等比中项结合等差数列的基本量代入计算求出公差,再求出首项,直接代入通项公式即可解决问题.
易错点
本题易错在解一元二次方程时求解错误.
正确答案
解析
(2),
∴,
.
两式相减得,
.
考查方向
解题思路
先根据的通项进行分组,一组进行常数项求和,一组错位相减法求和,然后相加即可解决问题.
易错点
本题易错在计算错误.
已知函数的最小正周期是
.
19.求函数在区间
的单调递增区间;
20.求在
上的最大值和最小值.
正确答案
和
解析
解: ,
,
最小正周期是,所以
,从而
,
令,解得
,
所以函数的单调递增区间为
和
.
考查方向
解题思路
先根据倍角公式以及两角和差公式把函数解析式化简,然后利用周期性求出的值,再求出函数的单调区间即可.
易错点
本题易错在没有把函数解析式化简以及求错的值.
正确答案
1、
解析
当时,
,
,
所以在
上的最大值和最小值分别为1、
.
考查方向
解题思路
先根据的取值范围求出
的取值范围,然后结合三角函数的图象与性质即可求出函数的最值.
易错点
本题易错在把的取值范围误当
的取值范围.
如图,为圆
的直径,点
在圆
上,
,矩形
所在的平面和圆
所在的平面互相垂直,且
.
21.求证:;
22.设的中点为
,求三棱锥
的体积
与多面体
的体积
之比的值.
正确答案
略
解析
证明:∵矩形所在的平面和平面
互相垂直,且
,∴
,
又,所以
,又
为圆
的直径,得
,
,∴
.
考查方向
解题思路
先利用面面面垂直的性质定理得出,从而得出
,再根据圆的性质确定
,从而利用线面垂直的判定定理证明命题.
易错点
本题易错在缺乏对面面垂直的性质定理的应用意识.
正确答案
解析
(2)解:设的中点为
,连接
,则∴
,
又∵,∴
,
∴为平行四边形,
,
又∵,
∴.
显然,四边形为等腰梯形,
,因此
为边长是1的正三角形.
三棱锥的体积
;
多面体的体积可分成三棱锥
与四棱锥
的体积之和,
计算得两底间的距离.
所以,
,
所以,
∴.
考查方向
解题思路
先根据线面平行确定的形状,然后等体积性求出其中一个三棱锥的体积,然后利用分割法把多面体
分割为一个三棱锥与四棱锥,代入数据求出多面体
的体积,直接作比即可.
易错点
本题易错在不能准确求出两个三棱锥的体积.
已知.
25.求函数的单调区间;
26.若,满足
的
有四个,求
的取值范围.
正确答案
在
和
上是增函数;在
上是减函数.
解析
21.解:(1),
当时,
,
所以在
上是增函数,
当时,
,
当时,
;当
时,
;
所以在
和
上是增函数;在
上是减函数.
考查方向
解题思路
先对函数取绝对值化简人,然后对函数求导,然后判断导数是否有实数根,再利用实数根的大小关系确定函数的单调性,从而解决问题.
易错点
本题易错没有考虑的取值范围
正确答案
解析
由(1)知,当时,函数
取得极大值
,
令,
则当时,方程
有3解;
当或
时,方程
有1解;
当时,方程
有2解.
因为的
有四个,所以
有四解,所以方程
在
上有一解,在
上有一解.
记,
.
考查方向
解题思路
对方程进行整体换元,然后转化一元二次方程的根的分布问题,再结合根所在区间列出不等式,再解不等式即可.
易错点
本题易错在不能利用换元思想高次方程转化为低次方程来处理.
选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
,曲线
的参数方程为:
,(
为参数),以
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系.
27.求的极坐标方程;
28.射线与
的异于原点的交点为
,与
的交点为
,求
.
正确答案
,
解析
解:将代入曲线
的方程:
,
可得曲线的极坐标方程为
,
曲线的普通方程为
,将
代入,
得到的极坐标方程为
.
考查方向
解题思路
根据极坐标方程以及直角坐标方程直接代入数据转化即可.
易错点
本题易错在记错转化公式.
正确答案
解析
解:射线的极坐标方程为,与曲线
的交点的极径为
.
射线与曲线
的交点的极径满足
,解得
.
所以.
考查方向
解题思路
先求出与曲线的交点的极径为
,然后求出曲线
的交点的极径
,然后作差即可.
易错点
本题易错在对极坐标概念以及极径的应用不熟练.
选修4-5:不等式选讲
已知函数.
29.若不等式的解集为
,求实数
的值;
30.若,使得
,求实数
的取值范围.
正确答案
解析
解:∵,∴
,
∵的解集为
,
∴,
∴.
考查方向
解题思路
直接解绝对值不等式,然后对比端点值即可.
易错点
本题错在不会解绝对值不等式.
正确答案
解析
解:∵,
∵,使得
成立,
∴,即
,解得
,或
,
∴实数的取值范围是
.
考查方向
解题思路
先根据绝对值中的三角不等式求出函数的最小值,然后解一元二次不等式即可求出
的取值范围.