文科数学闵行区2013年高三试卷

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试卷目录

1、填空题

2、简答题

3、单选题

真题试卷
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预测试卷

填空题本大题共14小题，每小题4分，共56分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 4分

9. 如图的程序框图运行后输出的结果是（）.

正确答案

解析

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知识点

程序框图

题型：填空题

分值: 4分

3. 已知复数的共轭复数是，在复平面内对应的点分别是，为坐标原点，则的面积是（）.

正确答案

解析

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知识点

复数的基本概念复数的代数表示法及其几何意义复数求模

题型：填空题

分值: 4分

10. 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：,,，，，.从中任意拿取张卡片，则两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率是（）.

正确答案

解析

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知识点

函数奇偶性的判断古典概型的概率

题型：填空题

分值: 4分

13. 函数的定义域为，且定义如下：(其中是实数集的非空真子集)，若，则函数的值域为（）.

正确答案

解析

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知识点

元素与集合关系的判断并集及其运算函数的值域及其求法绝对值不等式的解法

题型：填空题

分值: 4分

1. 若，则（）.

正确答案

解析

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知识点

同角三角函数基本关系的运用三角函数的化简求值两角和与差的正切函数

题型：填空题

分值: 4分

4. 若函数的图像经过点，则（）.

正确答案

解析

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知识点

求函数的值指数函数的单调性与特殊点反函数

题型：填空题

分值: 4分

5. 设分别是锐角中角所对的边，若，则角（）.

正确答案

解析

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知识点

正弦定理

题型：填空题

分值: 4分

6. 设等差数列的公差为正，若，则（）.

正确答案

解析

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知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用

题型：填空题

分值: 4分

7. 已知向量，若，则（）.

正确答案

解析

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知识点

平行向量与共线向量向量的加法及其几何意义平面向量的坐标运算

题型：填空题

分值: 4分

14. 如图所示，四棱锥中，底面是边长为的菱形，棱，．有下列命题：

① 若是的中点，则平面；

② 若，则；

③ 若是正三角形，则平面；

④ 若，，则四棱锥的体积为.

其中正确的命题是（）.

正确答案

①②④

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知识点

命题的真假判断与应用棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

题型：填空题

分值: 4分

11. 已知的最大值和最小值分别是和，则（）.

正确答案

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知识点

函数的最值

题型：填空题

分值: 4分

12. 设分别为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支相交于点，若，则（）.

正确答案

解析

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知识点

双曲线的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题

题型：填空题

分值: 4分

2. 线性方程组的增广矩阵是（）.

正确答案

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知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

分值: 4分

8. 若，则二项式展开式的系数和是（）.

正确答案

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知识点

函数单调性的性质

简答题（综合题）本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 16分

22.已知函数

(1)当时，解关于的不等式；

(2)函数在的最大值为，求正数的值；

(3)对于给定的正数，有一个最大的正数，使得在整个区间上，不等式恒成立. 求出的解析式

正确答案

（1）时，

由①得，，由②得，或，

∴为所求.

（2），

当时，，不合题意，

当时，

综上所述，

（3）∵，当，即时，

当，即时，

∴

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知识点

二次函数在闭区间上的最值一元二次不等式的解法不等式恒成立问题

题型：简答题

分值: 14分

21．如图，已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，直线分别与抛物线交于点

（1）证明的值与无关，并用表示；

（2）记直线的斜率为，证明为定值．

正确答案

证明：（1）依题意，设直线的方程为．

将其代入，消去，整理得．

从而．于是

∴与无关，

又

（2）证明：设，

则．

设直线的方程为，将其代入，消去，

整理得

∴．同理可得．

故．

由（1）知，，∴为定值．

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知识点

直线的倾斜角与斜率抛物线焦点弦的性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题

题型：简答题

分值: 18分

23.一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，(如图所示，坐标以已知条件为准)，表示青蛙从点到点所经过的路程。

（1）若点为抛物线准线上一点，点均在该抛物线上，并且直线经过该抛物线的焦点，证明；

（2）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,试写出(请简要说明理由)；

（3）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,求数列和的通项公式。

正确答案

（1）设，由于青蛙依次向右向上跳动，

所以，，由抛物线定义知：

（2）依题意，

随着的增大，点无限接近点

横向路程之和无限接近，纵向路程之和无限接近

所以 =

(注：只要能说明横纵坐标的变化趋势，用文字表达也行)

（3）设点，由题意，的坐标满足如下递推关系：

，且

其中，∴，

∴是以为首项，为公比的等比数列，

∴，

即当为偶数时，，

又，

∴当为奇数时，

∴，；

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等差数列的性质及应用数列的极限数列与解析几何的综合抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

分值: 12分

19. 设的角所对的边分别是，向量，，．

（1）若，求证：为等腰三角形；

（2）若，边长，角，求的面积．

正确答案

设的角所对的边分别是，向量，，．

（1）若，求证：为等腰三角形；

（2）若，边长，角，求的面积．

证明：（证法一）（1）∵∥， ∴，

由正弦定理可知，，其中是外接圆的半径，

∴．∴为等腰三角形．

（证法二）∵∥， ∴，

由正弦定理可知，，∴
∵，∴．即为等腰三角形．

（2）由题意可知，，即，∴

由余弦定理可知，即

，（舍去）

∴．

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知识点

平面向量共线（平行）的坐标表示数量积判断两个平面向量的垂直关系

题型：简答题

分值: 14分

20. 空气污染指数（API）是一种用于反映和评价空气质量的数量，我国计入空气污染指数的项目暂定为：总悬浮颗粒物（）、和．其计算公式为，其中为某污染物的污染指数，为该污染物的浓度；（）和（）分别是API分级限值表（附表）中最贴近（）值的两个限值．根据这个公式分别计算各污染物的API分指数；选取API分指数最大值为全市API，且该项污染物即为该市空气中的首要污染物．

　　（1）若某地区的、和日均值分别为毫克/立方米，毫克/立方米和毫克/立方米，求空气污染指数API，并指出首要污染物；

　　（2）已知某地的首要污染物为，和的API分指数分别为和，政府对相关企业进行限排，减少和的污染，使得首要污染物变成了，且其分指数不超过，的API分指数低于的API分指数，求限排后和浓度的范围．

正确答案

（1）设分别为和的污染指数，

分别为和的浓度

根据上表，对于，∵，

∴，

其API分指数为

同理的API分指数

的API分指数

由此可见，空气污染指数API为，首要污染物为总悬浮颗粒物

（2）依题意，，

解得

，解得

∴限排后和浓度的范围分别是和．

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知识点

导数的加法与减法法则

单选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

16. 若在区间上单调递减，则时， ( )

正确答案

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知识点

正弦函数的单调性

题型：单选题

分值: 5分

17. 已知，则下列结论成立的是 ( )

正确答案

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知识点

不等式的性质

题型：单选题

分值: 5分

15. 若抛物线上不同三点的横坐标的平方成等差数列，那么这三点 ( )

A到原点的距离成等差数列

B到轴的距离成等差数列

C到轴的距离成等差数列

D到焦点的距离的平方成等差数列

正确答案

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知识点

等差数列的判断与证明等差数列的性质及应用抛物线的标准方程和几何性质

题型：单选题

分值: 5分

18. 若实数满足，且，则称与补．，那么“”是“与互补”的 ( )

A充分非必要条件

B必要非充分条件

C充要条件

D既非充分也非必要条件

正确答案

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知识点

充要条件的判定

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