2016年高考真题文科数学 (全国III卷)

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

1.设集合，则=

正确答案

解析

由补集的概念，得，故选C

考查方向

本题主要考查了补集的运算和并的运算等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

求补集的运算和并的运算即可

易错点

对补集的运算和并的运算出现错误

知识点

交、并、补集的混合运算

题型：单选题

分值: 5分

2.若，则=

正确答案

解析

，故选D．

考查方向

本题主要考查了复数的运算；2、共轭复数；3、复数的模等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

由得

易错点

对复数的运算；2、共轭复数；3、复数的模理解出现错误、计算错误

知识点

复数的代数表示法及其几何意义

题型：单选题

分值: 5分

3.已知向量 , 则

A300

B450

C600

D1200

正确答案

解析

由题意，得，所以，故选A．

考查方向

本题主要考查了向量夹角公式等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

由题意，得

易错点

对向量夹角公式理解出现错误、计算错误

知识点

数量积表示两个向量的夹角

题型：单选题

分值: 5分

4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的是

A各月的平均最低气温都在00C以上

B七月的平均温差比一月的平均温差大

C三月和十一月的平均最高气温基本相同

D平均气温高于200C的月份有5个

正确答案

解析

由图可知C均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在C以上，A正确；由图可在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均气温都大约在，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于的月份有3个或2个，所以不正确，故选D

考查方向

本题主要考查了平均数；2、统计图等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

利用排除法求出即可

易错点

对平均数和统计图理解出现错误、计算错误

知识点

含有逻辑联结词命题的真假判断

题型：单选题

分值: 5分

8.执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=

正确答案

解析

第一次循环，得a=2,b=4,a=6,s=6,n=1；第二次循环，得a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2；第三次循环，得a=2,b=4,a=6,s=16,n=3；第四次循环，得a=-2,b=6,a=4,s=20>16,n=4，退出循环，输出n=4，故选B

考查方向

本题主要考查了程序框图等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

第一次循环，得a=2,b=4,a=6,s=6,n=1；第二次循环，得a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2；第三次循环，得a=2,b=4,a=6,s=16,n=3；第四次循环，得a=-2,b=6,a=4,s=20>16,n=4，退出循环，输出n=4

易错点

对程序框图理解出现错误、计算错误

知识点

程序框图

题型：单选题

分值: 5分

9.在中，，BC边上的高等于,则

正确答案

解析

设边上的高线为，则，所以．由正弦定理，知，即，解得，故选D。

考查方向

本题主要考查了正弦定理等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

由正弦定理，知，即，解得

易错点

对正弦定理理解出现错误、计算错误

知识点

正弦定理

题型：单选题

分值: 5分

5.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是

正确答案

解析

开机密码的可能有

，

，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C．

考查方向

本题主要考查了古典概型等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

开机密码的可能有

，

，共15种可能，

易错点

对古典概型理解出现错误、计算错误

知识点

随机事件的关系

题型：单选题

分值: 5分

6.若，则（）

正确答案

解析

考查方向

本题主要考查了同角三角函数间的基本关系和二倍角等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

求出

易错点

对同角三角函数间的基本关系和二倍角理解出现错误、计算错误

知识点

正弦函数的定义域和值域

题型：单选题

分值: 5分

7.已知，则

正确答案

解析

因为，，又函数在上是增函数，所以，即，故选A．

考查方向

本题主要考查了幂函数的单调性等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

由函数在上是增函数，所以

易错点

对幂函数的单调性理解出现错误、计算错误

知识点

指数幂的运算指数函数单调性的应用

题型：单选题

分值: 5分

10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

C90

D81

正确答案

解析

由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积

，故选B．

考查方向

本题主要考查了空间几何体的三视图及表面积等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，该几何体的表面积即可求出

易错点

对空间几何体的三视图及表面积理解出现错误、计算错误

知识点

由三视图还原实物图

题型：单选题

分值: 5分

11. 在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则V的最大值是

A4π

C6π

正确答案

解析

要使球的体积V最大，必须球的半径R最大，由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径的取得最大值，此时球的体积为，故选B

考查方向

本题主要考查了三棱柱的内切球和球的体积等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

要使球的体积V最大，必须球的半径R最大，由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径的取得最大值，

易错点

对三棱柱的内切球和球的体积理解出现错误、计算错误

知识点

空间几何体的结构特征

题型：单选题

分值: 5分

12.已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且轴.过点A的直线l与线段交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为

正确答案

解析

由题意设直线的方程为，分别令与得点，

，由，得，即，整理，得，所以椭圆离心率为，故选A．

考查方向

本题主要考查了椭圆方程与几何性质等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

由题意设直线的方程为，分别令与得点，由，得

易错点

对椭圆方程与几何性质理解出现错误、计算错误

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

13.若满足约束条件则的最大值为_____________.

正确答案

解析

作出不等式组满足的平面区域，当目标函数经过点A（-1，-1）时取得最小值，即

考查方向

本题主要考查了简单的线性规划问题等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

作出不等式组满足的平面区域，当目标函数经过点A（-1，-1）时取得最小值

易错点

对简单的线性规划问题理解出现错误、计算错误

知识点

求线性目标函数的最值

题型：填空题

分值: 5分

14.函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．

正确答案

解析

因为，所以函数的的图像可由函数

的图像至少向右平移个单位长度得到．

考查方向

本题主要考查了三角函数图象的平移变换和两角差的正弦函数等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

因为，所以函数的的图像平移即可

易错点

对三角函数图象的平移变换和两角差的正弦函数理解出现错误、计算错误

知识点

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

题型：填空题

分值: 5分

16.已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程式_____________________________.

正确答案

解析

当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．

考查方向

本题主要考查了函数的奇偶性、解析式、导数的几何意义等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

由当时，，则．又因为为偶函数，则切线斜率为，所以切线方程为，即

易错点

对函数的奇偶性、解析式、导数的几何意义理解出现错误、计算错误

知识点

导数的几何意义

题型：填空题

分值: 5分

15.已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则_____________.

正确答案

解析

由，得，代入圆的方程，并整理，得，

从而可得。又直线l的倾斜角为，由平面几何知识知，在梯形ABCD中，

考查方向

本题主要考查了直线与圆的位置关系等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

由，得，代入圆的方程，再由平面几何知识知，在梯形ABCD中，

易错点

对直线与圆的位置关系理解出现错误、计算错误

知识点

圆的一般方程

简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

已知各项都为正数的数列满足，.

17.求；

18.求的通项公式.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；

解析

（Ⅰ）由题意得，

考查方向

本题主要考查数列的递推公式；等比数列的通项公式等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（Ⅰ）将代入递推公式求得，将的值代入递推公式可求得；

易错点

对数列的递推公式；等比数列的通项公式理解出现错误、计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）．

解析

（II）由，得

由于是正项数列，得

故是首项为1，公比为的等比数列，因此

考查方向

本题主要考查数列的递推公式；等比数列的通项公式等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（Ⅱ）将已知的递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列为等比数列，由此可求得数列的通项公式

易错点

对数列的递推公式；等比数列的通项公式理解出现错误、计算错误

题型：简答题

分值: 12分

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

19.由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

20.建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.

附注：

参考数据：，，，≈2.646.

参考公式：相关系数

回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ），说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系；

解析

(I)由折线图中数据和附注中参考数据得，，

，，

因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系

考查方向

本题主要考查线性相关与线性回归方程的求法与应用等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（I）根据相关系数r公式求出相关数据后，然后代入公式即可求得r的值，最后根据其值大小回答即可；

易错点

对线性相关与线性回归方程的求法与应用理解出现错误、计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）1.82亿吨

解析

（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，

.[来源:学+科+网]

所以，关于的回归方程为：

将2016年对应的代入回归方程得：.

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.

考查方向

本题主要考查线性相关与线性回归方程的求法与应用等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（II）利用最小乘法的原理提供的回归方程，准确求得相关数据即可建立y关于t的回归方程，然后作预测。

易错点

对线性相关与线性回归方程的求法与应用理解出现错误、计算错误

题型：简答题

分值: 12分

如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．

21.证明平面；[

22.求四面体的体积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）(I)由已知，得，取BP的中点T，链接AT,TN，由N为PC中点,知,

又，故TN平行且等于AM，四边形AMNT为平行四边形，

于是，因为，,所以

解析

(I)由已知，得，取BP的中点T，链接AT,TN，由N为PC中点,知,又，故TN平行且等于AM，四边形AMNT为平行四边形，于是，因为，,所以

来源:学科网]

考查方向

本题主要考查直线与平面间的平行与垂直关系和三棱锥的体积等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（I）取PB的中点T，证明AMNT为平行四边形，可得到,再结合线面平行的判断定理可证；

易错点

对直线与平面间的平行与垂直关系和三棱锥的体积理解出现错误、计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为平面，为的中点，

所以到平面的距离为

取的中点，连结.由，得，.

由得到的距离为，故.

所以四面体的体积

考查方向

本题主要考查直线与平面间的平行与垂直关系和三棱锥的体积等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（I）取PB的中点T，证明AMNT为平行四边形，可得到,再结合线面平行的判断定理可证；（II）由条件可知四面体的高，即点N到底面的距离为PA的一半，即求出结果

易错点

对直线与平面间的平行与垂直关系和三棱锥的体积理解出现错误、计算错误

题型：简答题

分值: 12分

已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．

23.若在线段上，是的中点，证明；

24.若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）由题设，设：，：，则，且，，,，

设AR的斜率为，FQ的斜率为，则

所以

解析

由题设，设：，：，则，且，，,，

设AR的斜率为，FQ的斜率为，则

所以

考查方向

本题主要考查抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系和轨迹求法

解题思路

（I）设出与x轴垂直的两条直线，然后得出A,B,P,Q,R的坐标，然后通过证明直线AR与直线FQ的斜率相等即可证明结果了；

易错点

对抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系和轨迹求法理解出现错误、计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ）

解析

（Ⅱ）设与轴的交点为，

则.

由题设可得，所以（舍去），.

设满足条件的的中点为.

当与轴不垂直时，由可得.

而，所以.

当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为

考查方向

本题主要考查抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系和轨迹求法

解题思路

（II）设直线l与x轴的交点坐标，利用面积可得，设出AB的中点E(x,y),根据AB与x轴是否垂直分两种情况结合求解

易错点

对抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系和轨迹求法理解出现错误、计算错误

题型：简答题

分值: 12分

设函数．

25.讨论的单调性；

26.证明当时，；

27.设，证明当时，.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；

解析

（I）由题设，的定义域为，，令，解得

当时，，单调递增；当时，，单调递减

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（I）首先求出导函数，然后通过解不等式或可确定函数的单调性

易错点

对利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法理解出现错误、计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）（II）由（I）知，在处取得最大值，最大值为，所以当时，

，故当时，即。

解析

（II）由（I）知，在处取得最大值，最大值为，所以当时，

，故当时，即。

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（II）左端等式可利用（I）的结论证明，右端将左端的换为即可证明；

易错点

对利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法理解出现错误、计算错误

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）（III）由题设，，则，令

解得；当，单调递增，当，，单调递减，由（II）知，，故，又，故当时，，所以当时，

解析

（III）由题设，，则，令

解得；当，单调递增，当，，单调递减，由（II）知，，故，又，故当时，，所以当时，

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

变形所证不等式构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理

易错点

对利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法理解出现错误、计算错误

题型：简答题

分值: 10分

考生在以下3题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分

选修4-1：几何证明选讲（请回答28、29题）

如图，⊙O中的中点为，弦分别交于两点．

选修4-4：坐标系与参数方程（请回答30、31题）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .

选修4-5：不等式选讲（请回答32、33题）

已知函数

28.若，求的大小；

29.若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明．[来源:Z.xx.

30.写出的普通方程和的直角坐标方程；

31.设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

32.当a=2时，求不等式的解集；

33.设函数当时，，求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；

解析

（I）连接PB、BC，则，

因为AP=BP，所以,又,所以

又,得

考查方向

本题主要考查圆周角定理、三角形内角和定理、垂直平分线定理、四点共圆等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（I）根据条件可证与是互补的，然后结合与三角形内角和定理，不难求得；

易错点

对圆周角定理、三角形内角和定理、垂直平分线定理、四点共圆理解出现错误、计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）(II)因为，所以，由此知C、D、F、E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C、D、E、F四点的圆心，所以G在CD的垂直平分线上，因此

解析

(II)因为，所以，由此知C、D、F、E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C、D、E、F四点的圆心，所以G在CD的垂直平分线上，因此

考查方向

本题主要考查圆周角定理、三角形内角和定理、垂直平分线定理、四点共圆等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（II）由（I）的证明可知C、E、F、D四点共圆，然后根据用线段的垂直平分线知G为四边形CEFD的外接圆圆心，则可知G在线段CD的垂直平分线上，由此可证明结果

易错点

对圆周角定理、三角形内角和定理、垂直平分线定理、四点共圆理解出现错误、计算错误

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；

解析

利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线的参数方程，利用公式代入曲线的极坐标方程即可；（I）的普通方程是，的直角坐标方程为

考查方向

本题主要考查椭圆的参数方程、直线的极坐标方程等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（I）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线的参数方程，利用公式代入曲线的极坐标方程即可；

易错点

对椭圆的参数方程、直线的极坐标方程理解出现错误、计算错误

第(4)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）．

解析

（II）利用参数方程表示出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立三角函数的表达式，然后求出最值与相应的点P的坐标即可

由已知，设P的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，即为P到的距离的最小值，

当且仅当，取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标系为

考查方向

本题主要考查椭圆的参数方程、直线的极坐标方程等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（II）利用参数方程表示出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立三角函数的表达式，然后求出最值与相应的点P的坐标即可

易错点

对椭圆的参数方程、直线的极坐标方程理解出现错误、计算错误

第(5)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；

解析

（Ⅰ）当时，.

解不等式，得.

因此，的解集为

考查方向

本题主要考查绝对值不等式的解法、三角形绝对值不等式的应用等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（Ⅰ）利用等价不等式，进而通过解不等式可求

易错点

对绝对值不等式的解法、三角形绝对值不等式的应用理解出现错误、计算错误

第(6)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）．

解析

（Ⅱ）当时，

，

当时等号成立，

所以当时，等价于

当时，等价于

当，等价于，得

所以的取值范围是

考查方向

本题主要考查绝对值不等式的解法、三角形绝对值不等式的应用等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（Ⅱ）根据条件可首先将问题转化求解的最小值，此最值可利用三角形不等式求得，再根据恒成立的意义建立简单的关于的不等式求解即可．

易错点

对绝对值不等式的解法、三角形绝对值不等式的应用理解出现错误、计算错误

文科数学 热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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