2015年高考权威预测卷 文科数学 (山东卷)
精品
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单选题 本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1. 设i是虚数单位,a∈R,若是一个纯虚数,则实数a的值为(  )

A 

B ﹣1

C  

D1

正确答案

C

解析


知识点

虚数单位i及其性质
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7. 如图程序框图中,若输入m=4,n=10,则输出a,i的值分别是(  )

A12,4

B16,5

C 20,5

D 24,6

正确答案

C

解析


知识点

流程图的概念
1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.函数y=4cosx﹣e|x|(e为自然对数的底数)的图象可能是(  )

A

B  

C  

D  

正确答案

A

解析


知识点

函数的图象与图象变化
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为(  )

A 

B 

C 

D 

正确答案

D

解析


知识点

随机事件的关系
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.若a=20.5,b=ln2,c=0.5e(e是自然对数的底),则(  )

Aa<b<c

B  b>a>c

C   a>c>b

D  a>b>c

正确答案

D

解析


知识点

由数列的前几项求通项
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5. 已知点 M(x,y)的坐标满足,N点的坐标为(1,﹣3),点 O为坐标原点,则的最小值是(  )

A 12

B 5

C-6

D-21

正确答案

D

解析


知识点

任意角的概念
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是(  )

A 2

B   

C  

D 3

正确答案

D

解析


知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2. 已知集合A={x|x2≥1},B={x|y=},则A∩∁RB=(  )

A(2,+∞)

B(﹣∞,﹣1]∪(2,+∞)

C(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞)

D  [﹣1,0]∪[2,+∞)

正确答案

B

解析


知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8. 已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA是圆C:x2+y2﹣2y=0的一条切线,A是切点,若PA长度最小值为2,则k的值为(  )

A 3

B 

C 2

D 2

正确答案

D

解析


知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型: 单选题
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分值: 5分

10. 偶函数f(x)满足f(x﹣1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x2,则关于x的方程f(x)=在[﹣2,3]上的根的个数是(  )

A 3

B 4

C 5

D 6

正确答案

C

解析


知识点

导数的运算
填空题 本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

11. 函数的定义域为().

正确答案

{x|x>2且x≠3}

解析


知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13. 已知x>0,y>0,且2x+y=1,则+的最小值是 ()

正确答案

8

解析


知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
|
分值: 5分

12. 平面向量的夹角为60°,=(2,0),||=1 则|+2|=()

正确答案

2

解析


知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14. 已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线=1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的焦点为K,点A在抛物线上,且|AK|=|AF|,则△AFK的面积为()

正确答案

32

解析


知识点

抛物线的定义及应用
1
题型:填空题
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分值: 5分

15. 若X是一个集合,τ是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足:

①X属于τ,∅属于τ;

②τ中任意多个元素的并集属于τ;

③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑.已知集合X={a,b,c},对于下面给出的四个集合τ:

①τ={∅,{a},{c},{a,b,c}};

②τ={∅,{b},{c},{b,c},{a,b,c}};

③τ={∅,{a},{a,b},{a,c}};

④τ={∅,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}.

其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是 ().

正确答案

②④

解析


知识点

集合的含义
简答题(综合题) 本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

20. 椭圆=1的左右焦点分别为F1,F2,直线l:x+my=恒过椭圆的右焦点F2,且与椭圆交于P,Q两点,已知△F1PQ的周长为8,点O为坐标原点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线l:y=kx+t与椭圆C交于M,N两点,以线段OM,ON为邻边作平行四边形OMGN

其中G在椭圆C上,当≤|t|≤1时,求|OG|的取值范围.

正确答案

见解析

解析

解:(1)∵直线l:x+my=恒过定点

∴椭圆的右焦点F2.∴

∴△F1PQ的周长为8,∴4a=8,解得a=2,

∴b2=a2﹣c2=1,

∴椭圆C的方程为=1;

(2)联立,化为(1+4k2)x2+8ktx+4t2﹣4=0,

由△=64k2t2﹣4(1+4k2)(4t2﹣4)>0,可得4k2+1>t2

设M(x1,y1),N(x2,y2),G(x0,y0),则

∵四边形OMGN是平行四边形,∴,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2t=kx0+2t=

可得G

∵G在椭圆C上,∴+=1,化为4t2(4k2+1)=(4k2+1)2,

∴4t2=4k2+1,

∴|OG|2=====4﹣

≤|t|≤1,∴

∴|OG|的取值范围是

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
|
分值: 12分

16. △ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,,sin(B﹣A)=cosC.

(1)求A,B,C;

(2)若S△ABC=3+,求a,c.

正确答案

见解析

解析

解:(1)∵,∴

∴sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB,

即 sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB,

得 sin(C﹣A)=sin(B﹣C).

∴C﹣A=B﹣C,或C﹣A=π﹣(B﹣C)(不成立).

即 2C=A+B,得

,或(舍去)

(2)∵

又∵

即 

知识点

任意角的概念
1
题型:简答题
|
分值: 14分

21. 已知函数f(x)=x﹣alnx(a∈R).

(1)当a=2时,求曲线f(x)在x=1处的切线方程;

(2)设函数h(x)=f(x)+,求函数h(x)的单调区间;

(3)若g(x)=﹣,在[1,e](e=2.71828…)上存在一点x0,使得f(x0)≤g(x0)成立,求a的取值范围.

正确答案

见解析

解析

解:(1)当a=2时,f(x)=x﹣2lnx,f(1)=1,切点(1,1),

,∴k=f′(1)=1﹣2=﹣1,

∴曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程为:y﹣1=﹣(x﹣1),即x+y﹣2=0.

(2),定义域为(0,+∞),

①当a+1>0,即a>﹣1时,令h′(x)>0,

∵x>0,∴x>1+a

令h′(x)<0,∵x>0,∴0<x<1+a.

②当a+1≤0,即a≤﹣1时,h′(x)>0恒成立,

综上:当a>﹣1时,h(x)在(0,a+1)上单调递减,在(a+1,+∞)上单调递增.

当a≤﹣1时,h(x)在(0,+∞)上单调递增.

(3)由题意可知,在[1,e]上存在一点x0,使得f(x0)≤g(x0)成立,

即在[1,e]上存在一点x0,使得h(x0)≤0,

即函数在[1,e]上的最小值[h(x)]min≤0.

由第(2)问,①当a+1≥e,即a≥e﹣1时,h(x)在[1,e]上单调递减,

,∴

,∴

②当a+1≤1,即a≤0时,h(x)在[1,e]上单调递增,

∴[h(x)]min=h(1)=1+1+a≤0,

∴a≤﹣2,

③当1<a+1<e,即0<a<e﹣1时,∴[h(x)]min=h(1+a)=2+a﹣aln(1+a)≤0,

∵0<ln(1+a)<1,∴0<aln(1+a)<a,∴h(1+a)>2

此时不存在x0使h(x0)≤0成立.

综上可得所求a的范围是:或a≤﹣2.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
|
分值: 12分

19.  已知数列{an}的前n项和为Sn,an.Sn满足(t﹣1)Sn=t(an﹣2)(t为常数,t≠0且t≠1).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=(﹣an)•log3(1﹣Sn),当t=时,求数列{bn}的前n项和Tn

正确答案

见解析

解析

解:(1)由(t﹣1)Sn=t(an﹣2),及(t﹣1)Sn+1=t(an+1﹣2),作差得an+1=tan,

即数列{an}成等比数列,

当n=1时,(t﹣1)S1=t(a1﹣2),解得a1=2t,故

(2)当时,

作差得

所以

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:简答题
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分值: 12分

17. 某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元,超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙二人在该商区临时停车,两人停车都不超过4小时.

(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为,停车付费多于14元的概率为,求甲停车付费恰为6元的概率;

(2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率.

正确答案

见解析

解析

解:(1)设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A,

则 

所以甲临时停车付费恰为6元的概率是

(2)设甲停车付费a元,乙停车付费b元,其中a,b=6,14,22,30.

则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为:(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22),(22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30),共16种情形.

其中,(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)这4种情形符合题意.

故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为

知识点

随机事件的关系
1
题型:简答题
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分值: 12分

18. 如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为2,四边形BDEF是平行四边形,BD与AC交于点G,O为GC的中点,FO=,且FO⊥平面ABCD.

(1)求证:AE∥平面BCF;

(2)求证CF⊥平面AEF.

正确答案

见解析

解析

(1)证明:取BC中点H,连结OH,则OH∥BD,

又四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD,

∴OH⊥AC,∴以O为原点,建立如图所示的直角坐标系,

则A(3,0,0),E(1,﹣2,0),C(﹣1,0,0),

D(1,﹣2,0),F(0,0,),

=(﹣2,﹣2,0),=(1,0,),

=(﹣1,﹣2,),

设平面BCF的法向量为=(x,y,z),

,取z=1,得=(﹣,1),

又四边形BDEF为平行四边形,

==(﹣1,﹣2,),

=+=+=(﹣2,﹣2,0)+(﹣1,﹣2,)=(﹣3,﹣3,),

=3﹣4+=0,

∴AE,又AE⊄平面BCF,∴AE∥平面BCF.

(2)证明:=(﹣3,0,),

=﹣3+3=0,=﹣3+3=0,

又AE∩AF=A,∴CF⊥平面AEF.

知识点

空间几何体的结构特征

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