文科数学 热门试卷

（Ⅰ）设数列的公差为．

因为，所以．

因为，所以，即,

所以．

（Ⅱ）因为，，所以,

所以，所以,

解得，所以的值为．

（Ⅰ）因为

所以函数的最小正周期．

（Ⅱ）因为，

所以，所以,

根据函数的性质，

当时，函数取得最小值，

当时，函数取得最大值．

因为，

所以函数在区间上的最大值与最小值的和为．

（Ⅰ）取中点，连接

因为点为的中点，

所以且

又，且，

所以

所以四边形为平行四边形．

所以

又平面，平面,

所以平面．

（Ⅱ）连接．

因为四边形为菱形，，所以为等边三角形．

因为为中点，所以，

又因为平面，平面，所以，

又，平面，

所以平面．

又所以平面，

又平面，所以平面平面．

法二：因为四边形为菱形，，所以为等边三角形．

因为为中点，所以，

又因为平面，平面，

所以平面平面，

又平面，平面,

所以平面．

又所以平面，

又平面，所以平面平面．

（Ⅲ）因为，

,   所以．   

（Ⅰ）函数的定义域为．

．

当时，,

令，得，

所以随的变化情况如下表：

所以在处取得极小值,  无极大值．

的单调递减区间为，单调递增区间为．

（Ⅱ）因为关于的方程有解,

令，则问题等价于函数存在零点,

所以．

令，得．

当时，对成立，函数在上单调递减，

而，，

所以函数存在零点．

当时，随的变化情况如下表：

所以为函数的最小值,

当时，即时，函数没有零点,

当时，即时，注意到, 所以函数存在零点．

综上，当或时，关于的方程有解．

法二：

因为关于的方程有解，

所以问题等价于方程有解，

令，所以,

令，得

当时，随的变化情况如下表：

所以函数在处取得最大值，而．

，

所以函数存在零点．

当时，随的变化情况如下表：

所以函数在处取得最小值，而．

当时，即时，函数不存在零点．

当，即时，  

所以函数存在零点．

综上，当或时，关于的方程有解．

法三：因为关于的方程有解，

所以问题等价于方程有解，

设函数，所以．

令，得，

随的变化情况如下表：

所以函数在处取得最大值，而，

又当时，, 所以,

所以函数的值域为,

所以当时，关于的方程有解，

所以．

（Ⅰ）

因为椭圆的左顶点在圆上，所以．

又离心率为，所以，所以,

所以,

所以的方程为．

（Ⅱ）（i）

法一：设点，显然直线存在斜率，

设直线的方程为，

与椭圆方程联立得,

化简得到，

因为为上面方程的一个根，所以，

所以

由，

代入得到，解得,

所以直线的斜率为．

（ii）因为圆心到直线的距离为，

所以．

因为，

代入得到

．

显然，所以不存在直线，使得．

法二：（i）设点，显然直线存在斜率且不为 ，

设直线的方程为，

与椭圆方程联立得,

化简得到,

显然上面方程的一个根，所以另一个根，即,

由，

代入得到，解得．

所以直线的斜率为

（ii）因为圆心到直线的距离为，

所以．

因为，

代入得到

．

若，则，与直线存在斜率矛盾，

所以不存在直线，使得．