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1.已知集合,则( )
正确答案
解析
由,
得,
由,
得,
所以.
应选B.
考查方向
解题思路
1.分别化简出集合A,B;
2.根据交集的定义直接得出答案,应选B。
易错点
1.在化简集合B时,易忽视X>0这一隐藏条件;
2.集合的交集和并集概念混淆。
知识点
7.如图程序框图的功能是( )
正确答案
解析
该程序运行情况如下表所示:
由上表可知,该程序的功能是求的值.应选A.
考查方向
解题思路
通过已知条件一步一步循环,直到n=20结束循环,应选A。
易错点
本题易错之处是,不知道循环到那一步结束循环。
知识点
8.函数的部分图像如图所示,则的对称轴为( )
正确答案
解析
由图可知,,
故,
即是的一条对称轴.
又因为每两相邻的对称轴距离均为,
所以的对称轴为.
应选C.
考查方向
本题主要考查三角函数的图象,对称轴,周期等内容,难度不大,考查数形结合的思想方法。
解题思路
1.结合图形算出周期;
2.利用周期与对称轴之间的距离关系,得出结果,
应选C。
易错点
本题不易理解周期与对称轴之间,以及对称轴与对称轴之间的距离关系。
知识点
9.一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,则该球的表面积为( )
正确答案
解析
依题意,该四面体是棱长为的正四面体,将其放置到正方体中考虑(如图所示),其外接球与正方体的外接球相同.易得正方体的棱长为1,其体对角线长即为外接球的直径,则,所以该球的表面积为.应选A.
考查方向
本题主要考查立体几何中组合体之间的关系,球的表面积公式等知识,考查空间想象能力,和推理论证能力。
解题思路
1.求出球的半径;
2.利用公式求出球的表面积即可,应选A。
易错点
本题不易理解四面体的外接球与正方体的外接球相同这一事实,因而不能正确求出球的半径。
知识点
10.设满足约束条件若的最大值为2,则实数的值为( )
正确答案
解析
通过作图可知,
当且仅当时,可行域非空.
如图所示,当目标函数经过点时,,
所以.应选A.
考查方向
解题思路
1.画出可行区域;
2.结合图形找出最优解表示的点,算出结果,应选A。
易错点
1不能正确画出可行域;
2.不能正确找到最优解表示的点
知识点
11.双曲线的左、右焦点分别为,渐近线分别 为,点在第一象限内且在上,若,则该双曲线的离心率为( )
正确答案
解析
双曲线的渐近线方程为,不妨的方程分别为.
因为,所以直线的方程为.
由得点坐标为.
由,得,
整理得,,所以,所以该双曲线的离心率为2.
应选B.
考查方向
解题思路
1.列方程组求出P点坐标;
2.由,找出斜率关系,列出等式,求出结果,应选B。
易错点
1.易混淆焦点在X轴与Y轴的双曲线的渐近线方程;
2.解包含有字母系数的方程组时,易出错。
知识点
2.复数满足,则在复平面内对应的点在( )
正确答案
解析
因为,
所以在复平面内对应的点为,在第四象限.
应选D.
考查方向
解题思路
1.把复数Z化成a+bi的形式;
2.利用复数与复平面内的点的对应关系,得出答案,应选D。
易错点
1.复数的运算法则易出错
2.搞不清复数与复平面上的点的对应关系。
知识点
3.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是( )
正确答案
解析
由图可知,
该四棱锥底面边长为,高为,所以这个四棱锥的体积.
应选B.
考查方向
本题主要考查三视图和锥体的体积公式等知识,考查绘图,识图能力及空间想象能力。难度不大。
解题思路
1.画出立体图形,算出锥体的高;
2.利用体积公式计算,得出结果,应选B。
易错点
1.在求锥体的高时,不能正确找到里面的直角三角形求解;
2.用锥体的体积公式时,易遗漏前面有个1/3。
知识点
5.设,则“”是“的( )
正确答案
解析
因为函数在上为增函数,
所以,即为的充要条件.
应选C.
考查方向
解题思路
1.构造函数;
2.由函数的单调性和充要条件的定义加以解决。应选C。
易错点
本题想不到用构造函数的方法解决,找不到函数模型。
知识点
6.从集合中随机选取一个数记为,从集合中随机选取一个数记为,则直线不经过第四象限的概率为( )
正确答案
解析
记基本事件为,
则事件“直线不经过第四象限”包含基本事件,共2个.
因为所有的基本事件共有个,
所以所求概率.应选C.
考查方向
解题思路
1.找出所有基本事件和满足条件的基本事件的个数;
2.利用概率公式计算,得出结果,应选C。
易错点
不能正确运用斜率和截距的几何意义找出满足条件的基本事件的个数,因而出现错误。
知识点
4.设.若是与的等比中项,则的最小值为( )
正确答案
解析
依题意得,,
即,
所以,
所以,
即,
所以,
当且仅当2时取等号.
应选A.
考查方向
解题思路
1.由等比数列的定义得出;
2.用基本不等式得出结果,应选A。
易错点
本题不容易想到用基本不等式推出,即,这一步。
知识点
12.函数有两个零点,则实数的取值范围是( )
正确答案
解析
当时,为增函数,至多只有一个零点,不满足题意,淘汰A,B;
当时,函数的图象是开口向上的抛物线,两个零点分别为,其中,此时函数与有两个交点,
故方程有两个解,即函数有两个零点,淘汰C.
应选D.
考查方向
解题思路
1.由时,至多只有一个零点,排除A、B;
2.由时函数有两个零点,排除C,所以选D。
易错点
1找不到分类讨论的突破口,即分类的标准;
2.不能把零点问题转化为方程的解进行解决。
知识点
13.已知,若,则实数 .
正确答案
2
解析
由已知,.
因为,
所以,
解得.
应填2.
考查方向
解题思路
本题主要考查平面向量的坐标运算,向量的垂直等知识。
解题步骤如下:
①由向量垂直的条件,列出方程;
②解出方程,即得答案。
易错点
本题易把向量的平行和垂直的条件混淆,从而出现错误。
知识点
15.已知抛物线上一点到焦点的距离为5,则的面积为 .
正确答案
2
解析
由抛物线定义,,
所以,
所以,的面积.
应填2.
考查方向
解题思路
本题主要考查抛物线的定义及抛物线的标准方程等知识,
解题步骤如下:
由抛物线定义求出P点坐标;
由三角形面积公式,求出结果。
易错点
不能根据定义正确求出P点坐标。
知识点
14.的展开式中的常数项为 .
正确答案
84
解析
展开式中第项.
令,得,
所以常数项为.
应填84.
考查方向
解题思路
本题主要考查二项式定理,及其展开式的性质,
解题步骤如下:
①写出二项展开式的通项;
②由条件求出常数项即可以。
易错点
本题易记错二项展开式的通项,得出错误答案。
知识点
16.已知各项均为正数的数列的前项和为,且(),若,则数列的通项公式 .
正确答案
.
解析
由已知,(),
所以.
因为,所以,.
所以,数列是以为首项,为公差的等差数列,
所以,,所以当时,;当时,上式也成立,所以.应填.
考查方向
解题思路
本题主要考查数列及等差数列的概念和性质,
解题步骤如下:用表示an,得出数列是等差数列;
由求出an,进而求出bn.
易错点
本题不易想到用来表示an,因而不能正确推出结果。
知识点
17.的内角所对的边分别为,已知.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,求的取值范围.
正确答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)
解析
试题分析:本题属于解三角形中的基本问题,难度不大。此类问题主要应用正(余)弦定理进行恒等变换;注意边和角的统一。
(Ⅰ)在中,,
所以.
因为,
所以,即,
解得.
因为,所以.
(Ⅱ)由正弦定理,,
所以
.
因为,所以,
所以,即的取值范围为.
考查方向
解题思路
本题主要考查正(余)弦定理、和(差)角公式和三角函数的恒等变换等知识,
解题步骤如下:
利用降幂公式和三角变换化成关于cosC的一元二次方程;
利用正弦定理把边化成角,从而求出得出答案。
易错点
第一问中降幂公式往往会出错;
第二问中角A的范围和也易出错。
知识点
18.2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策。为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选取70后和80后作为调查对象,随机调查了100位,得到数据如下表:
(Ⅰ)以这100个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市70后公民中随机抽取3位,记其中生二胎的人数为,求随机变量的分布列和数学期望;
(Ⅱ)根据调查数据,是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由.
参考数据:
(参考公式:,其中)
正确答案
(Ⅰ)
2
(Ⅱ) 90%
解析
试题分析:本题是概率与统计中的基本问题,难度不大,只要正确掌握公式,计算细心,就能正确得出答案。
考查方向
本题主要考查随机变量、二项分布、数学期望等知识,考查运用数学知识解决实际问题的能力和建模能力,难度中等。
解题思路
本题主要考查随机变量、二项分布、数学期望等知识,
解题步骤如下:
利用二项分布的性质,写出分布列和数学期望;
利用题目中给出的参考公式计算、判断,从而得出结果。
易错点
第一问不能正确转化为二项分布列进行求解;
第二问看不懂题中给出的参考公式的意义,因而判断错误。
知识点
20.设椭圆()过两点,为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且?若存在,求出该圆的方程;若不存在,说明理由.
正确答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)
解析
试题分析:本题是直线与圆锥曲线的常见题型,运算量较大。此类问题往往要用到韦达定理,设而不求等方法技巧,把几何关系转化为代数运算。
(Ⅰ)因为,所以解得,所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)若存在满足题意的定圆,设该定圆半径为,则直线与该定圆相切,由对称性及可知,此时直线方程为,其与椭圆交于,故,解得,下面说明定圆满足题意.
①由上述讨论可知,切线于椭圆交于两点,满足.由椭圆与圆均关于轴对称可知,切线也满足题意.
②当切线不与轴垂直时,设切线方程为,交于.
则圆心到切线的距离,即.
由得,,
所以
,且.
所以,.
所以,,
所以.
综上所述,存在定圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且.
考查方向
解题思路
本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的交点,直线斜率等基础知识,解题步骤如下:
(Ⅰ)把点的坐标代入,求出椭圆方程;
(Ⅱ)通过分析得出圆方程,然后对切线与X轴垂直与否,进行分类讨论,推理,得出答案。
易错点
(Ⅰ)得出定圆方程有点困难;
(Ⅱ)对切线与X轴垂直与否,不能进行分类说明。
知识点
21.导数已知函数,.
(Ⅰ)当时,证明:;
(Ⅱ)若,且,求的取值范围.
正确答案
(Ⅰ)略
(Ⅱ)1
解析
试题分析:本题属于导数的常规问题,难度较大。函数的单调性、最值、不等式证明问题等等,都可利用导数加以解决。
(Ⅰ)由题意得,,
令,则,
在区间上,,单调递减;在区间上,,单调递增.
所以的最小值为,即,
所以函数在区间上单调递增,即.
(Ⅱ)令,则,
令,则,
由(1),得,则在区间上单调递减.
①当时,,且,
在区间上,,单调递增,在区间上,,单调递减,
所以的最大值为,即恒成立.
②当时,,
时,,解得,
即时,,单调递减,
又,所以此时,与恒成立矛盾.
③当时,,
时,,解得,
即时,,单调递增,
又,所以此时,与恒成立矛盾.
综上,的取值为.
考查方向
解题思路
本题主要考查函数的基本性质、导数的应用等基础知识,
解题步骤如下:
(Ⅰ)把证明不等式问题转化为求函数的最值问题解决;
(Ⅱ)构造函数,分类讨论解决即可。
易错点
(Ⅰ)第一问想不到转化为最小值问题解决;
(Ⅱ)第二问想不到构造函数,利用化归与转化解答。
知识点
19.如图,在三棱柱中,点在平面内的射影为棱的中点,侧面是边长为2的菱形,.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小.
正确答案
(Ⅰ)略
(Ⅱ)
解析
试题分析:本题属于立体几何中的线面关系的位置关系的问题,难度不大,只要熟悉了线面关系中平行与垂直的判定和性质定理和空间坐标系求二面角的方法,即可完成。
(Ⅰ)由题意得,平面,所以,
因为,平面,
所以平面,
所以.
因为为菱形,所以,分
因为平面,所以平面.
(Ⅱ)由(Ⅰ)讨论可知,三条直线两两垂直.以点为原点,分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系.
各点坐标分别为.
由平面可知,为平面的一个法向量.
设为平面的一个法向量,则
取.
所以.
所以二面角的大小.
考查方向
本题主要考查直线与直线、直线与平面及平面与平面的位置关系、空间坐标系的应用等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.难度一般.
解题思路
本题主要考查直线与直线、直线与平面及平面与平面的位置关系、空间坐标系的应用等知识,
解题步骤如下:
由线线垂直推出线面垂直;
合理建系,求出法向量,进而求出二面角。
易错点
第一问在书写时易遗漏平面这些条件;
第二问找不到合理的建系方法,因而产生错误答案。
知识点
22. 如图,在直角中,,为边上异于的一点,以为直径作,分别交于点.
(Ⅰ)证明:四点共圆;
(Ⅱ)若为中点,且,求的长.
正确答案
(Ⅰ)略
(Ⅱ)
解析
试题分析:本题是有关直线与圆的问题,难度不大。在解题中注意结合切线的性质和勾股定理等知识进行解决。
(Ⅰ)
连结,则,
因为为直径,所以,
因为,所以,
所以,
所以四点共圆.
(Ⅱ)由已知为的切线,所以,故,
所以,
因为为中点,所以.
因为四点共圆,所以,
所以
考查方向
解题思路
本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理等基础知识。解题步骤如下:
(Ⅰ)利用四点共圆的判定定理,证明四点共圆;
(Ⅱ)利用切线性质和勾股定理及第一问的结论,求出的长。
易错点
第二问计算中,不易想到利用第一问四点共圆的性质解决。