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1.若集合,则
=( )
正确答案
解析
化简A={ x|x0},化简B={x|x<0或x>1},
=
考查方向
解题思路
先化简集合A,B, 然后求交集
易错点
集合A、B的化简
2.若,则
是q的( )
正确答案
解析
化简命题q: x<0或x>1,所以是
的充分不必要条件.
考查方向
解题思路
化简命题q: x<0或x>1,根据命题中的条件与结论的关系。答案选择A.
易错点
分式不等式的解法.
3.在复平面内复数的对应点在( )
正确答案
解析
z=, 所以在z在第二象限,选B。
考查方向
解题思路
化简复数,直接判断复数所在的象限.
易错点
复数化简.
5.设是等差数列,公差为
,
是其前
项的和,且
,
,则下列结论错误的是( )
正确答案
解析
由题意可知,等差数列的前n项和为二次函数,结合
,
,由二次函数的图像可知,选项A正确;对于选项B,因为
,所以
对于答案D, 显然是正确的。对于答案C,对题意知
,所以不正确,综合,答案选C.
考查方向
解题思路
从等差数列的前项和的二次函数的性质入手,利用二次函数的图像即可求解。
易错点
等差数列前项和性质的运用。
8.已知区域,向区域
内随机投一点
,点
落在区域
内的概率为( )
正确答案
解析
画出区域,M,如图所示,
,根据几何概型等于面积比,点P落在区域M内的概率
.
考查方向
解题思路
画出区域,M,计算面积比即为概率.
易错点
线性规划下的区域面积。
4.已知、
取值如下表:( )
从所得的散点图分析可知:与
线性相关,且
,则
正确答案
解析
,
,因为点(4,5.25)在回归直线
上,代入求得a=1.45.
考查方向
解题思路
先求,
,根据样本中心在线性回归直线上,即可解a.
易错点
对线性回归直线过样本中心没有掌握。
6.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是( )
正确答案
解析
该几何体为四棱锥,由直观图可知,体积=
考查方向
解题思路
正确分析几何体的三视图,画出直观图.
易错点
几何体的直观图画法不正确,导致体积计算出错.
7.设,将这五个数据依次输入下边程序框进行计算,则输出的
值及其统计意义分别是( )
正确答案
解析
由程序的运算过程可知,所以
,即
个数据的方差为
.
考查方向
解题思路
按程序运行规律进行,运用求解.
易错点
程序框图中的判断结构和循环结构.
9.如果函数的图象关于点
(1,2)对称,那么( )
正确答案
解析
∵函数=
,其对称中心为
,再由函数
的图象关于点A(1,2)对称,可得
=1,
=2,∴P=-2,n=4,故选A.
考查方向
解题思路
将函数分离常数,根据反比例函数求出对称中心。
易错点
没有抓住函数的特点,无法确定对称中心
10.已知函数(其中
),若将函数
的图像向左平移
个单位后所得图像关于
轴对称,若将函数
的图像向右平移
个单位后所得图像关于原点对称,则
的取值不可能是( )
正确答案
解析
函数,将函数
的图像向左平移
,得
=
, 图像关于
轴对称,所以
为偶函数;所以
=
将函数
的图像向右平移
个单位后所得图像记为
=
关于原点对称,所以
为奇函数,所以
=
,
因为
,所以,即|
|<3,
,验证上式中的①②③④,即可得答案B.
考查方向
解题思路
记平移后的两个函数分别为,
,根据它们图像的特点,分别得到
是偶函数,
是奇函数。再利用函数的奇偶性,将条件转化到
,
,
限制条件,通过验证求解。
易错点
函数图像的平移,函数奇偶性的判断.
12.已知函数在
上可导,其导函数为
,若
满足
,
,则下列判断一定正确的是 ( )
正确答案
解析
根据题意构造函 ,则
,因为
满足
,当x<1时,
,
,此时函数
单调递减,
,即
,因为
,所以f(3)= f(2-(-1)),=f(-1)
,答案选择B。
考查方向
解题思路
构造函数,利用导函数判断其单调性。再根据已知条件判断即可。
易错点
构造函数,利用导数求解。
11.下列四个图中,函数的图象可能是( )
正确答案
解析
∵是奇函数,向左平移一个单位得
∴
图象关于(-1,0)中心对称,故排除A、D,当x<-2时,y<0恒成立,排除B.
考查方向
解题思路
根据函数图像的变换、奇函数性质,得到原函数图像的对称中心为(-1,0),排除答案A、D,再由特殊值进行验证.
易错点
处理图像的方法不得当.
16.已知总体中的个个体的数值由小到大依次为
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,且总体的中位数为
,平均数是
,若要使该总体的方差最小,则
.
正确答案
200
解析
由总体的中位数为10,可得=10, 所以a+b=20,又这组数据的平均数为10,得10
,得a+b+c=22,所以c=2,要使总体方差最小,则
=
=2
取得最小值,即b=10,又a+b=20,所以
,所以abc=200.
考查方向
解题思路
根据中位数的定义得到a与b的关系:a+b=20,根据平均数可求c=2,要使总体的方差最小,利用a,b的关系消去a,得到关于b的二次函数,求出函数取最小值时b=10,即可得到abc的值.
易错点
对中位数,平均数,方差理解有误.
13.已知,若
,则
.
正确答案
或
解析
x≤0时,f(x)=x2-x=2,x=2(舍去)或x=,
x>0时,f(x)=1+2lgx=2,lgx= ,故x=
综上所述:x的值为或
.
考查方向
解题思路
直接由函数值,讨论自变量的范围,求出值.
易错点
已经函数值求自变量忽略定义域.
14. 已知向量满足
,且
,则cos<2
>= .
正确答案
解析
由向量的几何意义,解三角形,即可求得答案
考查方向
解题思路
由向量的几何意义,直接求解.
易错点
用代数计算容易出现错误.
15.在ΔABC中,sinA,sim(B-C)=2cosBsinC,则
_______。
正确答案
解析
2sin²=1-cosA=
sinA,
sinA+cosA=1 ,
=1,所以
=
, A=
,余弦定理得
,又因为sim(B-C)=2cosBsinC,得 sinBcosC=3cosBsinC ,由正弦定理和余弦定理得b
= 3c
,整理得,
化简消去a,得到
,解得
=
或
=
(舍),所以
.
考查方向
解题思路
先用半角公式转化,2sin²=1-cosA=
sinA,再将等式利用辅助角公式转化成正弦型函数
=1结构,得到A=
.
易错点
正弦定理和余弦定理的应用,以及三角恒等变换.
已知数列的前n项和Sn满足
19.求数列的前三项a1,a2,a3;
20.求证:数列为等比数列,并求出
的通项公式。
正确答案
解析
:(Ⅰ)在中分别令
得:
解得:
……3分
考查方向
解题思路
直接利用通项和前n项和的关系,求;
易错点
计算易出错
正确答案
解析
由得:
两式相减得: ……6分
……9分
故数列是以
为首项,公比为2的等比数列.所以
……12分
考查方向
解题思路
利用,推导出{
}的递推关系式: 两式相减得:
根据数列的特点构造新数列,{}是以
为首项,以公比为2的等比数列,所以得出
.
易错点
构造新数列;应用条件n
2容易忽略.
某校高二年级在一次数学必修模块考试后随机抽取40名学生的成绩,按成绩共分为五组:第1组,第2组
,第3组
,第4组
,第5组
,得到的频率分布直方图如图所示,同时规定成绩在90分以上(含90分)的记为
级,成绩小于90分的记为
级.
21.如果用分层抽样的方法从成绩为级和
级的学生中共选出10人,求成绩为
级和
级的学生各选出几人?
22.已知是在(Ⅰ)中选出的成绩为
级的学生中的一个,若从选出的成绩为
级学生中选出2人参加某问卷调查,求
被选中的概率.
正确答案
A级学生抽取3人,B级学生抽取7人.
解析
依题意,成绩为级的学生人数是
人,
成绩为级的学生人数是
人 ……………………………………2分
因为分层抽样的抽取比例为,故成绩为
级的学生抽取出
人
成绩为级的学生抽取出
人 ……………………………………5分
考查方向
解题思路
首先确定样本容量与总体的个数比是, 从而得到样本中包含的个体数量。
易错点
分层抽样方法。
正确答案
解析
将(Ⅰ)中选取的成绩为级的学生记作:
,
,
,
,
,
,
.
则从这7人中选取2人的基本事件有:,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
共21个……8分
其中含的基本事件有:
,
,
,
,
,
,共6个………………10分
记事件“学生
被选中”,则其概率
…………………………12分
考查方向
解题思路
将(Ⅰ)中选取的成绩为级的学生记作:
,
,
,
,
,
,
.
写出构成的所有基本事件数共计21,其中含的基本事件有6个,用古典概型概率的计算公式可算得
易错点
基本事件统计数目不准。
在中,角
,
,
所对的边分别为
,
,
,满足
.
17.求角;
18.求的取值范围.
正确答案
(Ⅰ)
解析
,化简得
……3分
所以,又
所以
……6分
考查方向
解题思路
根据正弦定理把边角转成边的关系,再利用余弦定理,可求得角C;
易错点
正弦定理和余弦定理的应用,
正确答案
(1,2)
解析
……9分
因为,
,所以
. ……11分
故
的取值范围是
…^^^^…12分
考查方向
解题思路
根据正弦定理把边的关系转成角的关系,再把角统一,做成“一角一函数”的正弦型函数,根据A的范围,即可求出.
易错点
三角函数性质的应用。
已知函数的图象为曲线
, 函数
的图象为直线
.
23. 当时, 求
的最大值;
24.设直线与曲线
的交点的横坐标分别为
, 且
, 求证:
.
正确答案
2
解析
:(Ⅰ)因为,所以
单调递增,
单调递减,
………………………………………………………………4分
考查方向
解题思路
代值,直接求导,利用导数确定区,单调性与最值。
易错点
本题容易在求导,确定函数单调性上出错。
正确答案
略
解析
(Ⅱ)不妨设,要证
只需证
…………………………………………6分
因为直线与曲线
的交点的横坐标分别为
,所以有
即 ,所以上式变为证
,即
………………………………7分
①
令
只需证
令 ,
,
在
单调递增。
,
,
在
单调递增。…………10分
,
所以网和……………………………………………………12分
考查方向
解题思路
从函数的结论出发,利用分析法得出要证结论成立,只需要证通过直线
与曲线
,
,将上式进一步转化成
令
只需证
在
单调递增。即可得证。
易错点
本题易在计算、推理步骤等严密性与准确上出错。
选修4—1:几何证明选讲
如图,已知是以
为直径的圆
上一点,
于点
,直线
与过
点的切线相交于点
,
为
中点,连接
并延长交
于点
,直线
交直线
于点
.
27.求证:是圆O的切线;
28.若,求圆O的半径.
正确答案
略
解析
:(Ⅰ)证明:连接CB、OC,
∵CH⊥AB,DB⊥AB,∴CH // BD,
∴,∵HE=EC,∴BF=FD
∵AB是直径,∴∠ACB=90°∴∠BCD=90°
,
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO
∵∠ACB=90°∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线......5分
考查方向
解题思路
由已知CH⊥垂直AB于点H,DB为圆的切线,易得到△AEH △AFB, △ACE
△ADF 进而根据三角形相似,对应边成比例。根据E为CH个中点,得到点是BD的中点。连接CB,OC, 根据圆周定理的推论,在直角三角形BCD中,CF=BF,进而求出∠OCF=
,由切线的判定定理,得到CG是圆O的切线。
易错点
证明切线的过程
正确答案
解析
(Ⅱ)由FC=FB=FE得:∠FCE=∠FEC,
,
得: 所以FA=FG,且AB=BG
由切割线定理得:(2+FG)2=BG×AG=2BG2 ……①
在Rt△BGF中,由勾股定理得:BG2=FG2-BF2 ……②
由①、②得:FG2-4FG-12=0,解之得:FG=6或FG=-2(舍去)
∴AB=BG=,∴⊙O半径为
......10分
考查方向
解题思路
先证出 FA=FG,且AB=BG,根据切割线定理及勾股定理。解得FG=6,∴AB=BG=,半径=
=
易错点
切割线定理的运用,以及勾股定理的应用。
选修4—4:坐标系与参数方程
已知极点与坐标原点重合,极轴与轴非负半轴重合,两个坐标系单位长度相同,己知倾斜角为
的直线
的参数方程为:
(
为参数),曲线
的极坐标方程为:
.
29.若直线的斜率为
,求直线
与曲线
交点的极坐标;
30.设曲线与直线
相交于
、
两点,且
,求
.
正确答案
解析
由得
,
.
两者联立得直角坐标为
故极坐标为 …………………………………………………….4分
考查方向
解题思路
将极坐标转换成直角坐标。联立方程组,再将直角坐标转化为极坐标。
易错点
直角坐标、极坐标、参数方程互化准。
正确答案
解析
将直线的参数方程带入曲线的直角坐标方程得
,
.
由韦达定理得:.
联立得
……………………………………………………10分
考查方向
解题思路
将直线的参数方程带入曲线的直角坐标方程,利用,解出
的值。
易错点
利用直线的参数方程求弦长时,容易将弦长公式用错。(正确公式为:
已知函数(
).
25.是否存在实数,使得
在区间
上为增函数,
上为减函数?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由;
26.若当时,都有
恒成立,求
的取值范围.
正确答案
存在,b=0;
解析
,∴
,
若,使
在(0,
)上递增,在(
,
)上递减,
则,∴
,这时
,
当时,
,
递增。
当时
,
递减。 ∴
......4分
考查方向
解题思路
对函数求导,若存在实数b, 若存在实数b,则
.
易错点
函数求导及存在性问题的解决方法。
正确答案
解析
令△=
若△,即
,则
对
恒成立,
这时在
上递减,∴
......6分
若,则
,
,
∴,使
,
并且时,
,这时
递增,
,
不合题意 ......11分
综上 ......12分
考查方向
解题思路
对函数求导,即,则
对
恒成立,再通过单调性,证出
,恒成立。
易错点
易在函数求导以及计算过程中出现错误。
选修4-5:不等式选讲
设函数(
).
31.解不等式;
32.若的定义域为
,求实数
的取值范围.
正确答案
解析
:(Ⅰ),
.
解得:
∴不等式的解集为: …………………………………………5分
考查方向
解题思路
对不等式分三种情况进行讨论,转化为一元一次不等式,并对解取并集,既是原不等式的解集
易错点
绝对值不等式中的代数意义
正确答案
解析
若的定义域为
,则
恒成立,
即在R上无解.
又,
∴最小值为2, ∴
..…………………………………………10分
考查方向
解题思路
若的定义域为
,则
恒成立,即
在R上无解.求
最小值为2,即可解.
易错点
对原函数定义域的理解不正确。