文科数学 2017年高三第二次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知全集UR,集合A={0,1,2,3,4,5},B={xR|x≥2},则图中阴影部分所表示的集合()

A{0,1}

B{1}

C{1,2}

D{0,1,2}

正确答案

A

解析

图中阴影部分所表示的集合为={0,1}

A选项正确

考查方向

本题主要考查集合的运算;

解题思路

①理解阴影部分含义. ②求解。

易错点

不能这个正确理解阴影部分的含义。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.已知xyR,i为虚数单位,且xi-y=-1+i,则(1+i)xy的值为()

A2

B-2i

C-4

D2i

正确答案

D

解析

由已知得:,利用复数相等得:

所以,所以选D.

考查方向

本题主要考查复数的除法运算,在近几年的各省高考题中出现的频率较高,常在复数的除法运算知识点处命题.

解题思路

利用复数相等求出x,y,再利用复数的乘方运算求解.

易错点

本题易在复数相等求x,y时出错,避免的方式是化成标准形式。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.已知等比数列{an}的首项为1,若4a1,2a2a3成等差数列,则数列的前5项和为()

A31/16

B2

C33/16

D16/33

正确答案

A

解析

因为4a1,2a2a3成等差数列,所以:,设公比为,因为首项为1,

所以:,解出:。又是以1为首项,以为公比的等比数列,

所以前五项和=,所以选A。

考查方向

本题主要考查了等差、等比数列的通项公式,前n项和公式。

解题思路

利用三项成等差数列得出方程,利用基本量法求出公比,代入等比数列求和公式求解。

易错点

容易忽略也是一个等比数列。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.将函数的图象向右平移φ(φ>0)个单位,再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍,所得图象关于直线x=对称,则φ的最小正值为()

A

B

C

D

正确答案

B

解析

①函数的图象向右平移φ(φ>0)个单位得到 ,

②每一点横坐标缩短到原来的倍,得到

3图像关于直线x=对称,所以,所以,

所以:所以:,经检验B正确。

考查方向

本题主要考查了三角函数的图像与性质,在近几年的各省高考试题中出现的频率较高,常与三角公式的恒等变形,函数的图像与性质交汇处命题.

解题思路

1.先按照平移、伸缩变换得出函数解析式。2.利用正弦型函数的对称性得出结论。

易错点

三角函数图像的平移伸缩变换。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.“m<0”是“函数f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点”的()

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D不充分又不必要条件

正确答案

A

解析

因为,所以函数f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点等价于

反之不能,所以是充分不必要条件,选A.

考查方向

本题主要考查了函数的零点和四种条件的判断。

解题思路

利用函数f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点求出m的取值范围,判断连个条件能否相互推出,得出结论。

易错点

容易忽略m=0的情况。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.已知向量ab,满足|a|=3,|b|=2,且a⊥(ab),则ab的夹角为()

A

B

C

D

正确答案

D

解析

a⊥(ab)得:

所以:

因为|a|=3,|b|=2,所以:

因为,所以:

考查方向

本题主要考查向量数量积的定义,在近几年的各省高考题中出现的频率较高.

解题思路

利用向量垂直得出数量积为零,利用向量数量积的定义展开,代数求值,求出结果。

易错点

本题易在应用定义展开时出错.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.等差数列{an}中,a1a2a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1a2a3中的任何两个数不在下表的同一列. 则a4的值为()

A20

B18

C15

D12

正确答案

B

解析

因为第二行的为第二项,是前后两项的等差中项,所以前后两项之和等于第二项的2倍,一、三项之和最大为5+13=18,所以排除则只能是三个数在同一列,不合题意,舍去,所以只能是所以选B。

考查方向

本题主要考查了等差数列的通项公式和等差中项的性质。

解题思路

利用等差数列的性质和排除法。

易错点

容易忽略不在同一列这个条件。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是()

A4

B5

C6

D7

正确答案

A

解析

执行程序:

考查方向

本题主要考查程序框图,在近几年的各省高考试题中出现的频率非常高,常在输出的值或输入的值知识点处命题.

解题思路

1依次执行循环;2.

易错点

本题易错判循环结束的情况.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.用抽签法从1 000名学生(其中男生250人)中抽取200人进行体育测试,某男学生被抽到的概率是()

A1/1000

B1/250

C1/5

D1/4

正确答案

C

解析

抽签法属于简单随机抽样,每个个体被抽到的概率都是一样的,均为,其中是样本容量,是总体中的个体数。

考查方向

本题属于统计,在近几年的各省高考试题中出现的频率非常高,常在抽样方法和利用样本的数字特征估计总体的数字特征方向命题。

解题思路

1、判断属于简单随机抽样;2. 利用公式概率=求解。

易错点

易将男生人数当做样本容量。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则()

Af(-1)=f(3)

Bf(0)=f(3)

Cf(-1)<f(3)

Df(0)>f(3)

正确答案

C

解析

因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以:,又f(x)在(-∞,2)上是增函数,所以f(-1)<f(3)。其余选项都不正确。

考查方向

本题主要考查了函数的对称性和单调性。

解题思路

利用图像的轴对称把所有函数值转化到x=2左侧,利用函数在(-∞,2)上是增函数,判断大小。

易错点

忘记关于直线x=2对称的结论。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

11. F1F2是双曲线的左、右两个焦点,以坐标原点O为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为AB,且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为()

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由图可

知:点A在以为直径的圆上,所以为直角。又,所以,,所以,所以,

A选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选B选项.

考查方向

本题主要考查双曲线的离心率,在近几年的各省高考试题中出现的频率非常高,常在双曲线的离心率、渐进线、点到直线的距离公式知识点结合处命题.

解题思路

1.作图;2.找出直角三角形,等边三角形,得出边长关系;3.由离心率公式,求出值.

易错点

本题易忽略为直角.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是()

A

B

C

D

正确答案

C

解析

正三角形ABC所在平面可与球截得一个圆形,并且是正三角形的外接圆 过O,作平面ABC垂线,交于P. ∵ OP ⊥ 正三角形ABC, OA=OB=OC ∴ PA = PB = PC ∴ P是外接圆的圆心,正三角形的外接圆称为圆P ∵ 三角形APO是直角三角形 ∴ 圆P的半径是 ∵ 圆P是ABC的外接圆 ∴ 正三角形ABC的边长= ∵ OP ⊥ 正三角形ABC ∴ OP ⊥ BC ∵ AD ⊥ BC ∴ BC ⊥ 平面OPD ∴ OD ⊥ BC ∴ 截面最小的圆,以BC为直径 ∴ 圆面积 =

考查方向

本题主要考查平面截球的问题

易错点

把立体问题转化为平面问题求解。

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

13.曲线yx3-2x+3在x=1处的切线方程为________.

正确答案

解析

求导得,所以

,所以切线:

考查方向

本题考查导数的几何意义。

解题思路

1.求导;2.利用几何意义求斜率,3代入点斜式方程,化为最简形式。

易错点

本题易在计算函数的导数时出错.

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的,且样本容量为160,则中间一组的频数为________.

正确答案

解析

设中间长方形面积为,所以,所以中间一组的频数为

考查方向

本题考查频率分布直方图。

解题思路

1.利用频率之和等于1求出中间组的频率;2.频数等于总数乘以频率。

易错点

本题易忽略频率之和等于1.

1
题型:填空题
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分值: 4分

16.设xy满足约束条件,若目标函数zaxby(a>0,b>0)的最大值为12,则+的最小值为________.

正确答案

解析

1、根据约束条件做出可行域

zaxby化为,结合可行域可知在点C(4,6)处取得最大值。

此时,所以

解题思路

本题考查线性规划,解题步骤如下:

1
题型:填空题
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分值: 5分

15.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________cm3.

正确答案

解析

由三视图可知原图为半球加圆台,直接带入体积公式可得此几何体的体积等于

考查方向

本题主要考查几何体的三视图知识点,在近几年各省高考试题中出现的频率非常高,常在三视图,几何体的体积,表面积知识点结合处命题.

解题思路

1.由三视图复原几何体;2.由已知数据带入公式求解.

易错点

体积公式记忆不准确容易造成丢分。

简答题(综合题) 本大题共91分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分
false

17.     求f(x)的单调递增区间;

18.     在△ABC中,三内角ABC的对边分别为abc,已知f(A)=,bac成等差数列,且·=9,求a的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(1)f(x)=sin+2cos2x-1=sin 2x-cos 2x+cos 2x=sin 2x+cos2x

=sin..........3分

令2kπ-≤2x+≤2kπ+(kZ)

f(x)的单调递增区间为(kZ)………………….6分

考查方向

本题主要考查三角恒等变换和单调区间问题,在近几年的各省高考试题中出现的频率较高,常在三角形中的边角关系,,三角公式,不等式等知识交汇处命题.

解题思路

1.利用三角恒等变换化简,得f(x)=sin2借助正弦曲线得出2kπ-≤2x+≤2kπ+(k.3.解不等式,从而求出结论。

易错点

本题易在三角函数化简应用处出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

【答案】a=3

f(A)=,得sin=

∵<2A+<2π+,∴2A+=,∴A=…………8分

bac成等差数列得2abc

∵·=9,∴bccosA=9,∴bc=18

由余弦定理,得a2b2c2-2bccos A=(bc)2-3bc

a2=4a2-3×18,∴a=3............12分

解题思路

1.利用sin=,得A=2由bac成等差数列得2abc

1
题型:简答题
|
分值: 12分
false

23.     求椭圆C的标准方程;

24.     若直线lykxm与椭圆C相交于AB两点(AB不是左,右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

椭圆的标准方程为+=1

解析

由题意设椭圆的标准方程为+=1(ab>0),

由已知得:ac=3,ac=1,解得a=2,c=1,……….3分

所以b2a2c2=3,所以椭圆的标准方程为+=1………….5分

考查方向

椭圆的标准方程。

解题思路

1、利用已知条件得出ac=3,ac=1;

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

直线l过定点,定点坐标为…

解析

A(x1y1),B(x2y2),联立得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0.

则..........7分

y1y2=(kx1m)(kx2m)=k2x1x2mk(x1x2)+m2=.

因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),

所以kADkBD=-1,即·=-1,

所以y1y2x1x2-2(x1x2)+4=0,

+++4=0,

7m2+16km+4k2=0.

解得m1=-2km2=-,且均满足3+4k2m2>0…………..10分

m1=-2k时,直线l的方程为yk(x-2),过点(2,0),与已知矛盾;

m2=-时,

直线l的方程为yk,过定点.

所以直线l过定点,定点坐标为…………12分

考查方向

本题主要考查直线,圆锥曲线等知识点,数学计算能力,逻辑推理能力,分类讨论的数学思想,在近几年的各省高考试题中出现的频率非常高,常与直线方程,斜率,圆锥曲线基础知识,一元二次方程跟与系数的关系,直线与圆锥曲线的位置关系等知识交汇处命题.

解题思路

1、设出直线方程,与椭圆方程联立;

易错点

化简时据算量较大,容易出错。

1
题型:简答题
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分值: 12分
false

19.     求xy的值;

20.     从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

x=5, y=3

解析

∵甲班学生的平均分是85,∴=85.

x=5………….3分∵乙班学生成绩的中位数是83,∴y=3…………5分

考查方向

本题考查统计问题。

解题思路

1、利用平均数公式x;

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

甲班成绩在90分以上的学生有两名,分别记为AB

乙班成绩在90分以上的学生有三名,分别记为CDE.

从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况:(AB),(AC),(AD),(AE),(BC),(BD),(BE),(CD),(CE),(DE).

其中甲班至少有一名学生共有7种情况:(AB),(AC),(AD),(AE),(BC),(BD),(BE).…………. 4分

记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,甲班至少有一名学生”为事件M

P(M)=.

即从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,甲班至少有一名学生的概率为………..7分

考查方向

本题考查古典概型的概率公式

解题思路

1、列举出所有基本事件,个数为

易错点

古典概型的概率公式球概率时确定基本事件空间。

1
题型:简答题
|
分值: 13分
false

21.

证明:MN∥平面AACC′;

22.     求三棱锥CMNB的体积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

如图,连接AB′、AC′,

∵四边形ABBA′为矩形,MAB的中点,

AB′与AB交于点M,且MAB′的中点,又点NBC′的中点.

MNAC′,………3分

MN⊄平面AACC′,且AC′⊂平面AACC′.

MN∥平面AACC′........6分

考查方向

线面平行的判定定理问题。

解题思路

1、首先利用中位线证明线线平行

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

4/3

解析

由图可知VCMNBVMBCN

∵∠BAC=90°,∴BC==2,

又三棱柱ABCABC′为直三棱柱,且AA′=4,

SBCN=×2×4=4..........8分

AB′=AC′=2,∠BAC=90°,点NBC′的中点,

ANBC′,AN=.

BB′⊥平面ABC′,

ANBB′,

AN⊥平面BCN.

MAB的中点,

M到平面BCN的距离为,……….10分

VCMNBVMBCN=×4×=………..12分

考查方向

线面垂直的判定定理和体积问题。

解题思路

1、首先利用线线垂直证明线面垂直,确定椎体的高

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知函数.

25.     当时,求函数在区间上的极小值;

26.     求证:函数f(x)存在单调递减区间;

27.     是否存在实数,使曲线C在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

极小值为f(2)=ln 2-1/4

解析

(1)f′(x)=m(x-1)-2+(x>0).

m=时,f′(x)=,

f′(x)=0,得x1=2,x2=…………2分

f(x),f′(x)在x∈(0,+∞)上的变化情况如下表:

所以当x=2时,函数f(x)在x∈上取极小值为f(2)=ln 2-………..4分

考查方向

本题主要考查函数的极值问题。

解题思路

1. m=代入求函数的解析式,2.求导,3.列表求极值.

易错点

求导数计算时出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

函数f(x)存在单调递减区间;

解析

f′(x)=0,得mx2-(m+2)x+1=0.(*)

因为Δ=(m+2)2-4mm2+4>0,所以方程(*)存在两个不等实根,记为ab(ab).

因为m≥1,所以,

所以a>0,b>0,即方程(*)有两个不等的正根,因此f′(x)<0的解为(ab).

故函数f(x)存在单调递减区间.…………8分

考查方向

本题主要考查函数的单调性问题。

解题思路

1. 求导,2.判断f′(x)<0有解;

易错点

函数的单调性取决于导数的符号。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

存在实数m=1使得曲线Cyf(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点.…;

解析

因为f′(1)=-1,所以曲线Cyf(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y=-x+2.若切线l与曲线C有且只有一个公共点,则方程m(x-1)2-2x+3+lnx=-x+2有且只有一个实根.显然x=1是该方程的一个根.

g(x)=m(x-1)2x+1+lnx,则g′(x)=m(x-1)-1+=.

m=1时,有g′(x)≥0恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以x=1是方程的唯一解,m=1符合题意.

m>1时,由g′(x)=0,得x1=1,x2=,则x2∈(0,1),易得g(x)在x1处取到极小值,在x2处取到极大值.………….10分

所以g(x2)>g(x1)=0,又当x趋近0时,g(x)趋近-∞,所以函数g(x)在内也有一个解,m>1不符合题意.

综上,存在实数m=1使得曲线Cyf(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点.……….12分

考查方向

本题主要考查本题主要考查导数的几何意义,函数的单调性,计算能力,在近几年的各省高考试题中出现的频率非常高,常与函数的单调性,导数的基础知识,不等式等知识交汇处命题.

解题思路

1. 原问题转化为方程m(x-1)2-2x+3+lnx=-x+2有且只有一个实根,求导,判断函数单调性,得出结论;

易错点

不容易想到构造函数。

1
题型:简答题
|
分值: 10分

选修41:几何证明选讲

如图,四边形ABCD是边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点CF,连接CF并延长交AB于点E.

28.     求证:EAB的中点;

29.     求线段BF的长.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

EAB的中点;

解析

连接ODOFDF,∵四边形ABCD是边长为a的正方形,

BCCD,∠EBC=∠OCD=90°,

OFOCDFDCODOD

∴△OFD≌△OCD,∴∠ODCODF,∠ECB=∠FDC=∠ODC,又∠EBC=∠OCD=90°,BCCD,……….3分

∴△EBC≌△OCD,∴EBOCAB,∴EAB的中点.………..5分

考查方向

三角形全等的证明。

解题思路

利用对应边相等证明三角形全等,再证明连个直角三角形的全等。得出结论。

易错点

不容易想到三角形全等的证明。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

BFa

解析

BC为圆O的直径可得BFCE

∴△BEC的面积SBECBF·CECB·BE,……….8分

∴=,∴BFa………..10分

考查方向

三角形面积公式。

解题思路

利用等面积法得出对应边的关系,代数求值。

易错点

等面积法得出边长关系。。

1
题型:简答题
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分值: 10分

选修44:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (α为参数),以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.

30.     求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;

31.     设P为曲线C1上的动点,求点PC2上点的距离的最小值,并求此时点P的坐标.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

xy-8=0

解析

对于曲线C1有⇔2y2=cos2α+sin2α=1,

C1的普通方程为+y2=1;

对于曲线C2ρsin=ρ(cosθ+sin θ)=4⇔ρcos θρsinθ=8⇔xy-8=0,所以C2的直角坐标方程为xy-8=0………….5分

考查方向

本题主要考查极坐标方程与参数方程的互化,划归与转化的数学思想,在近几年的各省高考试题中出现的频率非常高,常与极坐标方程,参数方程,直角坐标方程等知识交汇处命题.

解题思路

参数方程化归为直角方程.

易错点

本题易在转化直角坐标方程时出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

显然椭圆C1与直线C2无公共点,椭圆上点P(cosα,sin α)到直线xy-8=0的距离为:d==,

当sin=1时,d取得最小值为3,此时点P的坐标为……..10分

考查方向

本题主要考查点到直线的距离,化归与转化的数学思想,划归与转化的数学思想,在近几年的各省高考试题中出现的频率非常高,常与极坐标方程,直角坐标方程,圆锥曲线,圆等知识交汇处命题.

解题思路

1. 曲线的直角坐标方程为化为参数方程,2.利用点到直线的距离公式列出表达式3.利用三角函数求出最值

易错点

本题不容易距离公式中利用三角恒等变换转化为三角函数的最值问题。

1
题型:简答题
|
分值: 10分

32.     当a=5时,求函数f(x)的定义域;

33.     若函数f(x)的定义域为R,试求a的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

{x|x≥1或x≤-4}

解析

a=5时,f(x)=,由|x+1|+|x+2|-5≥0得或或解得x≥1或x≤-4.即函数f(x)的定义域为{x|x≥1或x≤-

4}.……………5分

考查方向

本题主要考查含绝对值的不等式的解法和分类讨论思想。

解题思路

1.由分三种情况去掉绝对值号,2.分别求解三种不等式组,3.解出三个解集取并集。

易错点

分类讨论中,在每个不等式组中取交集,最后三种情况取并集.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(-∞,1]

解析

由题可知|x+1|+|x+2|-a≥0恒成立,

a≤|x+1|+|x+2|恒成立,

而|x+1|+|x+2|≥|(x+1)-(x+2)|=1,

所以a≤1,即a的取值范围为(-∞,1]...10分

考查方向

本题主要考查含参数的不等式,在近几年的各省高考试题中出现的频率较高,常与不等式的解法,解集,参数等知识交汇处命题.

解题思路

转化为不等式的恒成立问题,参变分离,求出最值。

易错点

不能转化为不等式的恒成立问题。

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