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2.设为虚数单位,复数的虚部是( )
正确答案
解析
,所以选B选项。
考查方向
解题思路
利用复数运算的基本方法,分母实数化,,直接求出即可.
易错点
运算和虚部的概念.
3.执行如图所示的程序框图,则输出的的值为( )
正确答案
解析
按照循环结构,执行如下:,;,;,;,;此时满足,所以选C选项。
考查方向
解题思路
按照循环结构,依次运算即可.
易错点
1、循环结构的运行次数,2、计算错误.
4.若将函数的图象向左平移个单位,则平移后的图象( )
正确答案
解析
函数的图象向左平移个单位,得到,将代入,,为函数的最大值,所以在此处有对称轴,所以选D选项。
考查方向
解题思路
1、函数的图象向左平移个单位,得到;2、研究函数的性质:对称性,可以用代入验证法.
易错点
1、平移后的解析式运算错误,2、三角函数的性质不理解.
7.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等.设为两个同高的几何体,的体积不相等,在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,是的( )
正确答案
解析
直接分析即可,容易得到,可用反例,例如两个倒置的圆锥,所以选A选项。
考查方向
解题思路
1、先看由p能否推出q,再看由q能否推出p.
易错点
充分必要条件的判断方法不会.
8.的内角的对边分别为,若,,则的外接圆面积为( )
正确答案
解析
若,则,因为,利用正弦定理可得,即,所以,所以,由几何意义可知三角形外接圆的半径为3,所以面积为,所以选C选项。
考查方向
解题思路
1、利用平方关系得到;2、利用正弦定理得到,即外接圆的直径,从而得到圆的面积.
易错点
和常规问题略有区别,不好联想.
9.设圆的圆心为,直线过与圆交于两点,若,则直线的方程为( )
正确答案
解析
圆可化为,圆心为当直线过且斜率不存在时,直线方程为,此时满足;当直线过且斜率为时,直线的方程为,利用,利用点到直线的距离公式,得到,解得,从而得到;所以选B选项。
考查方向
解题思路
1、分类讨论;2、利用圆相交弦的勾股定理求解即可.
易错点
忘记分类讨论;计算错误.
1.若集合,,则( )
正确答案
解析
,则,所以选C选项。
考查方向
解题思路
1、解出集合Q,2、利用求出结果.
易错点
其中的属性容易忽略.
5.若实数满足约束条件,则的最大值为( )
正确答案
解析
画出可行域,利用,转化为,运用图解法,可知在处取得最大值-1,所以选C选项。
考查方向
解题思路
1、画出可行域; 2、解释目标函数的几何意义,是直线型.
易错点
1、不理解目标函数的意义; 2、计算错误
6.已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于两点,为坐标原点.若的面积为1,则的值为( )
正确答案
解析
双曲线的两条渐近线分别为和,抛物线的准线为,所以两点为,,根据的面积为1,得到,所以所以选B选项。
考查方向
解题思路
直接法:利用几何性质得出渐近线方程和准线方程,联立得交点,利用面积解出.
易错点
渐近线的方程写错;
12.设函数,(是自然对数的底数),若是函数的最小值,则的取值范围是( )
正确答案
解析
讨论:当时,在单调递增,不合题意;当时,在单调递减,利用导数可知在处取得极小值,要想使得是函数的最小值,则,即,得,所以选D选项。
考查方向
解题思路
1、分类讨论二次函数的对称轴与2的大小;2、数形结合,抽象出不等式,解出.
易错点
1、分类讨论的意识;2、不会数形结合;3、计算错误.
10.一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周),则该几何体的表面积为( )
正确答案
解析
此几何体为组合体,画出直观图,逐个计算即可,,所以选D选项。
考查方向
解题思路
此几何体为组合体,画出直观图,计算即可.
易错点
直观图想象不出,计算错误.
11.从区间中随机选取一个实数,则函数有零点的概率是( )
正确答案
解析
,令,则在有解,可得,解得根据几何概型中的长度之比,可知概率为,所以选A选项。
考查方向
解题思路
1、利用换元方法把超越方程转换为熟悉的二次方程在有解;2、数形结合,可到;3、利用几何概型求出概率.
易错点
1、想不到利用换元的方法进行转化;2、二次方程在区间上的根不会讨论;3、几何概型不会算.
16.函数,若存在唯一的正整数,使得,则的取值范围是 .
正确答案
解析
,求导,
(1)若,即时,单调递减,又因为,所以时,不可能存在正整数,使得,不合题意;
(2)若,即时,令,设,,;在单调递减,在单调递增,在单调递减;因为,
若,则,不合题意;所以,即,可知,,即,又,且在单调递减,所以存在唯一的正整数,使得,所以的取值范围是.
考查方向
解题思路
利用导数分析函数的单调性,讨论参数对函数图像的影响,缩小参数的取值范围.
易错点
没有解题思路.
13.某同学一个学期内各次数学测验成绩的茎叶图如图所示,则该组数据的中位数是.
正确答案
83
解析
一共是10个数,所以中位数是中间两个数的平均值,为83。
考查方向
解题思路
直接利用中位数的定义求出即可.
易错点
中位数的定义不知道.
14.若非零向量满足,,且,则与的夹角余弦值为 .
正确答案
解析
因为,所以,即,又因为,,所以与的夹角余弦值为
考查方向
解题思路
利用向量垂直得数量积为0,化简求值即可.
易错点
运算.
15.已知,则 .
正确答案
0或
解析
由得,即,,所以所以0或.
考查方向
解题思路
利用二倍角公式化简求值即可.
易错点
公式用错或漏掉.
已知等差数列的前项和为,且满足,.
17.求数列的通项公式;
18.若,求数列的前项和.
正确答案
解析
因为为等差数列,
所以.
考查方向
解题思路
利用基本量求值.
易错点
计算错误.
正确答案
解析
∵
∴
.
考查方向
解题思路
分组求和.
易错点
方法选错,计算错误.
已知椭圆经过点,离心率为.
23.求椭圆的标准方程;
24.若,是椭圆的左右顶点,过点作直线与轴垂直,点是椭圆上的任意一点(不同于椭圆的四个顶点),联结;交直线与点,点为线段的中点,求证:直线与椭圆只有一个公共点.
正确答案
解析
依题意,
,所以椭圆的标准方程为.
考查方向
解题思路
利用基本量求解即可.
易错点
计算错误.
正确答案
证明题
解析
设且,直线的方程为:,
令得,则线段的中点,
则直线的斜率①
∵是椭圆上的点,∴,代入①式,得
∴直线方程为
联立又∵,整理得,
∵∴直线与椭圆相切,即直线与椭圆只有一个公共点.
考查方向
解题思路
1、联立消元;2、设而不求.
易错点
设而不求的方法应用,计算错误.
一企业从某条生产线上随机抽取100件产品,测量这些产品的某项技术指标值,得到如下的频率分布表:
19.作出样本的频率分布直方图,并估计该技术指标值的平均数和众数;
20.若或,则该产品不合格.现从不合格的产品中随机抽取2件,求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的概率.
正确答案
平均值;众数18.
解析
频率分布直方图为:
估计平均值:
.
估计众数:18.
考查方向
解题思路
画出直方图直接计算.
易错点
不会用频率分布直方图求数字特征.
正确答案
解析
若或,则该产品不合格.分别记为a,b;1,2,3,4
现从不合格的产品中随机抽取2件,共有15个基本事件;
抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的情况有8种;
依据古典概型可知,所以抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的概率.
考查方向
解题思路
用古典概型求解即可,简单题.
易错点
列举基本事件错误.
已知四棱锥的底面为菱形,且底面,,点、分别为、的中点,.
22.求多面体的体积.
正确答案
解析
(Ⅱ)令多面体的体积为,则.
;
;
所以,多面体的体积为.
考查方向
解题思路
多面体的体积为两部分,分别计算即可.
易错点
分割法的应用.
选修4-5:不等式选讲
已知函数.
29.当时,求不等式的解集;
30.对于任意实数,不等式恒成立,求的取值范围.
正确答案
解析
(Ⅰ),.
当时,由或,得
∴不等式的解集为.
考查方向
解题思路
分段讨论.
易错点
分段函数计算错误
正确答案
解析
(Ⅱ)不等式对任意的实数恒成立,等价于对任意的实数,恒成立,即
∵
∴又,所以,.
考查方向
解题思路
不等式恒成立问题转化为函数最值问题.
易错点
不会转化为最值,最大最小搞混.
已知函数.
25.求函数的单调区间;
26.若,不等式恒成立,求实数的取值范围.
正确答案
,
当时,,故,
∴函数在上单调递增,
∴当时,函数的递增区间为,无减区间.
当时,令,,
列表:
+
-
+
由表可知,当时,函数的递增区间为和,
递减区间为.
考查方向
解题思路
1、求导;2、分类讨论
易错点
分类讨论.
正确答案
解析
∵,
∴由条件,对成立.
令,,
∴
当时,,
∴在上单调递减,
∴,即
∴在上单调递减,
∴,
故在上恒成立,只需,
∴,即实数的取值范围是.
考查方向
解题思路
1、
选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线的方程为.
27.求曲线的直角坐标方程;
28.写出直线与曲线交点的一个极坐标.
正确答案
解析
22.解:(Ⅰ)∵∴
即.
考查方向
解题思路
利用极坐标和参数方程的基本思路解决.
易错点
算法的设计
正确答案
解析
将代入得,即,
∴交点坐标为
∴交点的一个极坐标为.
考查方向
解题思路
求出两曲线的交点,写出极坐标即可.