文科数学 广州市2017年高三第一次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设全集,集合,集合,则

A

B

C

D

正确答案

A

解析

因为全集,集合,集合,所以.

考查方向

本题主要考查了交、并、补的混合运算.

解题思路

本题先算,再算.

易错点

补集的运算.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2.设,其中是实数,则

A1

B

C

D

正确答案

D

解析

因为,所以,即,得,所以

考查方向

本题主要考查了复数求模

解题思路

本题先求,得,再求.

易错点

复数求模

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.已知函数 ,则函数的图象是

A

B

C

D

正确答案

D

解析

时,,当时,,所以选D

考查方向

本题主要考查了分段函数的图像.

解题思路

本题先求当时,,当时,,

由表达式确定函数的图像.

易错点

分类讨论的思想

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为

A7

B9

C10

D11

正确答案

B

解析

由程序框图知:算法的功能是求和,可得,

不满足条件,执行循环体,,

不满足条件,执行循环体,

不满足条件,执行循环体,

不满足条件,执行循环体,

满足条件,结束循环,输出的值为9

考查方向

本题考查了程序框图的循环结构.

解题思路

本题先由程序框图知:算法的功能是求和,根据的条件,求出最后结果.

易错点

结束循环的条件的确定.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.若函数上单调递增,则实数的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

A

解析

因为函数上单调递增,所以上恒成立,因为上恒成立,所以上恒成立,所以,设所以因为,所以所以所以上恒成立,即上单调递减,所以,即

考查方向

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性.

解题思路

本题先求导数,分离参数,构造新的函数利用导数求出函数的最值即可.

易错点

构造新函数容易出错.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.已知双曲线)的渐近线方程为, 则双曲线的离心率为

A

B

C

D

正确答案

B

解析

因为双曲线)的渐近线方程渐近线方程为, 所以,则设,又因为,故,即.

考查方向

本题主要考查了双曲线的简单性质.

解题思路

本题先根据双曲线的标准方程的渐近线方程求得,进而求得,得

易错点

双曲线中的关系.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.袋中有大小,形状相同的红球,黑球各一个,现有放回地随机摸取3次,每次摸出一个球. 若摸到红球得2分,摸到黑球得1分,则3次摸球所得总分为5分的概率是

A

B

C

D

正确答案

B

解析

记摸到黑球为1,摸到红球为2,所以3次摸球的结果共有如下8种可能:,其中得分为5的情况有3种:,所以3次摸球得分为5的概率.

考查方向

本题主要考查了古典概型及其概率计算公式.

解题思路

先列举,再找满足条件的,利用公式求.

易错点

列举满足条件情况容易漏.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.已知角的顶点与原点重合, 始边与轴正半轴重合, 终边过点, 则

A

B

C

D

正确答案

A

解析

因为角的终边过点,有任意角三角函数的定义得,所以,所以.

考查方向

本题主要考查了任意角三角函数的定义,二倍角的正切公式.

解题思路

本题先求,再求,,由,得.

易错点

二倍角的正切公式

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.已知菱形的边长为, 则

A

B

C

D

正确答案

D

解析

因为菱形ABCD的边长为2,,所以,

,所以.

考查方向

本题主要考查了平面向量数量积的运算.

解题思路

本题先求,再求,得.

易错点

向量的数量积公式.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.曲线上存在点满足约束条件,则实数的最大值为

A

B

C

D

正确答案

C

解析

考查方向

本题主要考查了简单的线性规划问题

解题思路

本题先画出图像,找出满足条件的部分,代入点求结果.

易错点

有图像找满足条件的部分.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.若将函数的图象向右平移个单位,所得图象关于轴对称,则的最小正值是(   ).

A

B

C

D

正确答案

C

解析

函数的图象向右平移个单位,所得图象图象关于轴对称,可得,即,当时,的最小正值是.

考查方向

本题主要考查了函数的图像变换,

解题思路

本题利用两角和的正弦函数对解析式进行化简,由图象关于轴对称,求出,最后确定的最小正值是.

易错点

函数的图像变换

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某三棱锥[来源:学.科.网]的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积是

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,其外接球相当于以俯视图为底面的三棱柱的外接球,底面三角形的外接球半径,球心到底面的距离,故球的半径满足,,故球的表面积.

考查方向

本题主要考查了棱柱、棱锥、棱台的体积,由三视图求面积、体积.

解题思路

本题先由一个以俯视图为底面的三棱锥,其外接球相当于以俯视图为底面的三棱柱的外接球,再求底面三角形的外接球半径,由球的半径满足,,得球的表面积.

易错点

由三视图还原成三棱柱,再到三棱柱的外接球,

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.设分别是圆和椭圆上的点,则两点间的最大

距离是        .

正确答案

解析

圆心到椭圆上的点的距离当且仅当时取等号.

考查方向

本题主要考查了椭圆的简单性质

解题思路

本题先求出,再.

易错点

椭圆的参数方程设法.

1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.等比数列的前项和为,若,则公比________.

正确答案

-1

解析

因为是等比数列,所以当时,,解得不满足题意,当时,,,因为,所以,因为,所以,解得

考查方向

本题主要考查了等比数列的前项求和公式.

解题思路

本题代入公式求出.

易错点

等比数列的前项求和公式使用的条件.

1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.已知函数,若,则        

正确答案

0

解析

由题意知,因为,所以0

考查方向

本题主要考查了对数运算.

解题思路

本题由,所以0.

易错点

对数的运算

1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.已知锐角△的内角,,的对边分别为,若

,则△的周长的取值范围是         .

正确答案

解析

已知,由余弦定理得:,整理得,所以因为所以,由正弦定理得:,△的周长:

,因为所以因此,故△的周长的取值范围是

考查方向

本题主要考查了正弦定理

解题思路

本题先求出,再求出.

易错点

边化角公式的使用,

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知点是抛物线上相异两点,且满足

23.若直线经过点,求的值;

24.是否存在直线,使得线段的中垂线交轴于点, 且? 若存

在,求直线的方程;若不存在,说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

法1:①若直线的斜率不存在,则直线方程为

联立方程组 解得

.  ………………………………………………………………1分

所以          ………………………………………………………………2分

②若直线的斜率存在,设直线的方程为

联立方程组 消去

,方程无解.     …………………………………………3分

所以

法2:因为直线过抛物线的焦点,根据抛物线的定义得,

, …………………………………………………………2分

所以.     …………………………………………3分

考查方向

本题主要考查了抛物线的简单性质.

解题思路

本问按直线有无斜率分类讨论,联立方程组求解 .

易错点

抛物线的性质.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

直线不存在

解析

假设存在直线符合题意,设直线的方程为

联立方程组 消去,(*)

,……………………………………………………………4分

所以

所以 …………………………………………………………5分

所以

…………………………………………………………6分

因为

所以的中点为

所以的中垂线方程为=,即 …………………7分

, 得.

所以点的坐标为.   ……………………………………………………………8分

所以点到直线的距离.

因为,………………………………………………………9分

所以 .

解得         ………………………………………………………………10分

时,;当时,

分别代入(*)式检验, 得,不符合题意. …………………11分

所以直线不存在.      ……………………………………………………………12分

考查方向

本题主要考查了抛物线与直线的位置关系.

解题思路

假设存在直线符合题意,设直线的方程为,再求解,最后讨论检验是否成立.得出直线不存在.

易错点

中垂线的应用.

1
题型:简答题
|
分值: 12分

在三棱锥中,  △是等边三角形,  ∠.

21.求证: ;

22.若,求三棱锥的体积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为是等边三角形,  ∠,

所以, 可得.  …………1分

如图, 取中点, 连结,,[来源:Zxxk.Com]

,,      ……………………3

因为

所以平面,   ………………………………………………………………4分

因为平面,

所以.          ……………………………………………………………5分

考查方向

本题主要考查了直线与平面垂直的判定.

解题思路

先证平面,  再由线面垂直的性质证明.

易错点

直线与平面垂直的判定

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为 ,

所以, .   ………………………………………………………6分

已知,在Rt中, ,

………………………………………………8分

因为, , ,

所以.    ……………………………………………………………9分

因为,

所以的面积.   ……………………10分

因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积,

所以三棱锥的体积.  ………………12分

考查方向

本题主要考查了棱柱、棱锥、棱台的体积.

解题思路

求出底面面积,高转化求出.

易错点

棱锥求体积公式应用注意等积原理.

1
题型:简答题
|
分值: 12分

等差数列中,.

17.求数列的通项公式;

18.记表示不超过的最大整数,如. 令

求数列的前2000项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

,得          ……………………2分

解得,                  …………………………………………4分

所以.      ………………………………………………………………5分

考查方向

本题主要考查了等差数列的通项公式

解题思路

本题先由,解得,所以 

易错点

等差数列的通项公式

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

5445

解析

,            …………………………………………6分

时, ;     …………………………………………7分

时, ;    …………………………………………8分

时, ;  …………………………………………9分

时, . ………………………………………10分

所以数列的前2000项和为. ……12分

考查方向

本题主要考查了等差数列的性质.

解题思路

,数列的前2000项和为.

易错点

等差数列的性质

1
题型:简答题
|
分值: 12分

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用前卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级;在75微克/立方米以上的空气质量为超标.为了解甲, 乙两座城市年的空气质量情况,从全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取20天的数据作为样本,监测值如以下茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).

19.从甲, 乙两城市共采集的40个数据样本中,从PM2.5日均值在范围内随机取2天数据,求取到2天的PM2.5均超标的概率;

20.以这20天的PM2.5日均值数据来估计一年的空气质量情况,则甲, 乙两城市一年(按365天计算)中分别约有多少天空气质量达到一级或二级.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

从甲, 乙两城市共采集的40个数据样本中,PM2.5日均值在内的共有6天,而PM2.5日均值为超标(大于75微克/立方米)的有3天.记PM2.5日均值超标的3天为,不超标的3天为,则从这6天中随机取2天,共有如下15种结果(不记顺序):

       ……………………2分[来源:Zxxk.Com]

其中,抽出2天的PM2.5均超标的情况有3种:.…4分

由古典概型知,抽到2天的PM2.5均超标的概率.  ……………………6分

考查方向

本题主要考查了等可能事件的概率.

解题思路

本题先列出其中,抽出2天的PM2.5均超标的情况有3种:.

易错点

等可能事件的列举.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

【答案】,  

解析

各抽取的20天样本数据中,甲城市有15天达到一级或二级;……………………7分

乙城市有16天达到一级或二级.         …………………………………………8分

由样本估计总体知,甲, 乙两城市一年(按365天计算)中空气质量达到一级或二级的天数分别约为:

,   .……………………12分

考查方向

本题主要考查了概率的应用.

解题思路

本题先算出甲城市有15天达到一级或二级, 乙城市有16天达到一级或二级.再求出

,  

易错点

概率的应用.

1
题型:简答题
|
分值: 10分

选修4-4:坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线的参数方程为为参数, 曲线的极坐标方程为.

27.求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程;

28.设直线与曲线C相交于两点, 当变化时, 求的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

消去,    ……………………1分

所以直线的普通方程为.       ……………………2分

, 得,            ……………………3分

代入上式, 得,

所以曲线C的直角坐标方程为.   …………………………………………5分

考查方向

本题主要考查了参数方程化成普通方程.

解题思路

先化为,得到,化为.

易错点

参数方程化成普通方程.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

4

解析

将直线l的参数方程代入, 得, ………………6分

AB两点对应的参数分别为,

,  ,    …………………………………………7分

所以 . ……9分

时, 的最小值为4.       …………………………………………10分

考查方向

本题主要考查了简单曲线的极坐标方程.

解题思路

将直线l的参数方程代入, 得,利用韦达定理,即可求的最小值为4.

易错点

简单曲线的极坐标方程.

1
题型:简答题
|
分值: 12分

设函数. 若曲线在点处的切线方程为为自然对数的底数).

25.求函数的单调区间;

26.若,试比较的大小,并予以证明.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

函数的单调递减区间是, 单调递增区间是

解析

函数的定义域为.

. ………………………………………………………………1分

依题意得,即          ……………………3分

所以.        ………………………………………………………………4分

所以.

时, ; 当时, .

所以函数的单调递减区间是, 单调递增区间是.………………6分

考查方向

本题主要考查了导数的性质与应用.

解题思路

求出函数,解出导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间.

易错点

导数的性质与应用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

时,(当且仅当时取等号)

解析

时,.

等价于

也等价于. ………………………………………7分

不妨设

),

.  …………………………………………………………8分

时,,所以函数上为增函数,

,         ……………………9分

时,(当且仅当时取等

号).

,则,             …………………………………………10分

(当且仅当时取等号),……………11分

综上所述,当时,(当且仅当时取等号).

………………………………………………………………12分[来源:学。科。

考查方向

本题主要考查了导数的应用,以及与不等式的结合.

解题思路

求出,得到即可.

易错点

不等式的成立条件.

1
题型:简答题
|
分值: 10分

选修4-5:不等式选讲

已知,不等式的解集是.

29.求的值;

30.若存在实数解,求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

|, 得,即.        ……………………1分

时,.  …………………………………………………………2分

因为不等式的解集是

所以  解得…………………………………………………………3分

时,.   …………………………………………………………4分

因为不等式的解集是

所以  无解.     …………………………………………………………5分

所以

考查方向

本题主要考查了绝对值不等式的解法.

解题思路

|, 得,即,分类讨论,得

易错点

绝对值不等式成立的条件.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为………………7分

所以要使存在实数解,只需.   ………………8分

解得.     ………………………………………………………9分

所以实数的取值范围是.  …………………………10分

考查方向

本题主要考查了绝对值不等式的构造及其解法.

解题思路

先求,求出.

易错点

绝对值不等式成立的条件.

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