文科数学 南宁市2017年高三第二次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知集合,则等于(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

故选C.

考查方向

交集及其运算

解题思路

求出A中不等式的解集,即可得出A和B的交集.

易错点

求A中不等式的解集

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.复数的虚部为(  )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

∴复数的虚部为

故选A.

考查方向

复数代数形式的乘除运算

解题思路

根据复数代数形式的乘除运算把化为代数形式,即可得出的虚部.

易错点

复数的虚部为,而不是

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测,如图是根据抽样检测后零件的质量(单位:克)绘制的频率分布直方图,样本数据分8组,分别为[80,82),[82,84),[84,86),[86,88),[88,90),[90,92),[92,94),[94,96],则样本的中位数在(  )

A第3组

B第4组

C第5组

D第6组

正确答案

B

解析

由图可得,前第四组的频率为(0.0375+0.0625+0.075+0.1)×2=0.55,

则其频数为40×0.55=22,且第四组的频数为40×0.1×2=8,

因此中位数落在第4组.

故选B.

考查方向

频率分布直方图

解题思路

根据频率分布直方图求出前4组的频数为22,且第四组的频数8,即可得到答案.

易错点

求每组的频率时没有乘以组距2

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.已知角的终边过点,若,则实数a等于(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

∵角θ的终边过点,即

解得:

故选B.

考查方向

任意角的三角函数的定义;二倍角公式

解题思路

利用二倍角公式化简,再利用正弦函数的定义,建立方程,即可得出结论.

易错点

根据二倍角公式计算

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.已知抛物线的焦点为,点是抛物线上一点,圆轴相切且与线段相交于点,若,则等于(  )

A1

B2

C

D4

正确答案

B

解析

设M到准线的距离为,则

,∴

,即

故选B.

考查方向

抛物线的定义.

解题思路

设M到准线的距离为,则

利用可得,根据抛物线的定义求得,再把点代入抛物线方程,即可求得的值.

易错点

根据已知得出

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.已知非零向量满足,且的夹角的余弦值为,则等于(  )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

非零向量满足

即有

化为

的夹角的余弦值为

可得

化简可得

故选D.

考查方向

平面向量数量积的运算

解题思路

由向量的平方即为模的平方.可得,再由向量的夹角公式,化简即可得到所求值.

易错点

向量模的公式的运用

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(  )

A12

B15

C18

D21

正确答案

C

解析

由已知中的三视图可得:该几何体是一个长、宽、高分别为4,3,3的长方体,

切去一半得到的,其直观图如下所示:

其体积为:

故选C.

考查方向

三视图;棱柱、棱锥、棱台的体积

解题思路

由已知中的三视图可得:该几何体是一个长宽高分别为4,3,3的长方体,切去一半得到的,进而得到答案.

易错点

根据三视图得出几何体的直观图

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.已知函数的最小正周期为,则函数的图象(  )

A可由函数的图象向左平移个单位而得

B可由函数的图象向右平移个单位而得

C可由函数的图象向左平移个单位而得

D可由函数的图象向右平移个单位而得

正确答案

D

解析

函数的最小正周期为

,得

的图象可由函数的图象向右平移个单位而得.

故选D.

考查方向

函数的图象和性质;三角函数的图象变换

解题思路

根据函数的最小正周期为,求出的解析式,再利用三角函数的平移变换即可得出答案.

易错点

没有把变为,从而得出向右平移个单位.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.已知数列满足:,且,则等于(  )

A

B23

C12

D11

正确答案

D

解析

可得

∴数列是公比为2的等比数列,

,即

解得:

故选D.

考查方向

等比数列的通项公式

解题思路

数列满足满足,可得,利用等比数列的通项公式即可得出.

易错点

根据等比数列通项公式写出它的第4项与第2项满足的等式

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.执行如图的程序框图,若输入k的值为3,则输出S的值为(  )

A10

B15

C18

D21

正确答案

B

解析

由已知可得k=3,n=1,S=1,

模拟程序的运行:

满足条件S<kn,执行循环体,n=2,S=3;

满足条件S<kn,执行循环体,n=3,S=6;

满足条件S<kn,执行循环体,n=4,S=10;

满足条件S<kn,执行循环体,n=5,S=15;

此时,不满足条件S<kn=15,退出循环,输出S的值为15.

故选B.

考查方向

程序框图

解题思路

模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的n,S的值,当n=5,S=15时,不满足条件S<kn=15,退出循环,输出S的值为15,即可得解.

易错点

对赋值语句n=n+1两边n的理解

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.已知双曲线的左焦点为,M、N在双曲线C上,O是坐标原点,若四边形OFMN为平行四边形,且四边形OFMN的面积为,则双曲线C的离心率为(  )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

如图:

双曲线焦点在x轴上,

,由四边形OFMN为平行四边形,

∵四边形OFMN的面积为

,即

代入双曲线可得,整理得:

,由,解得:

故选D.

考查方向

双曲线的简单几何性质

解题思路

,由四边形OFMN为平行四边形,可得,由四边形OFMN的面积为,可得,代入双曲线方程,由离心率公式,即可求得双曲线C的离心率.

易错点

由已知条件求得点M的坐标

1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.已知函数,设表示p,q二者中较大的一个.函数.若,且,使得成立,则m的最小值为(  )

A﹣5

B﹣4

C

D﹣3

正确答案

A

解析

由题意,

作函数的图象,如图所示,

时,方程两根分别为﹣5和﹣1,则m的最小值为﹣5.

故选A.

考查方向

函数的图象

解题思路

求出,作函数的图象,由图知,时,方程的两根分别为﹣5和﹣1,即可得出结论.

易错点

求出的解析式

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

14.在区间上任取一个实数,则曲线在点处切线的倾斜角为钝角的概率为  

正确答案

解析

,即

由几何概型,可得所求概率为

故答案为:

考查方向

几何概型;导数的几何意义

解题思路

利用曲线在点处切线的倾斜角为钝角,求出b的范围,以长度为测度,即可求出所求概率.

易错点

根据导数的几何意义求出b的范围

1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.在正方体中,,点在棱上,点在棱上,且平面平面,若,则三棱锥外接球的表面积为  

正确答案

解析

如图:

时,可得

,且

∴平面平面

∴三棱锥外接球的直径为

其表面积为

故答案为:

考查方向

球的体积和表面积.

解题思路

根据平面平面,得到,再求出三棱锥外接球直径,问题得以解决.

易错点

根据平面平面求得的长

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.如果实数x,y满足约束条件,则的最大值为  

正确答案

7

解析

由约束条件作出可行域如图,

联立,解得

化目标函数,由图可知,当直线过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为7.

故答案为:7.

考查方向

简单线性规划

解题思路

由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.

易错点

找最优解的坐标

1
题型:填空题
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分值: 5分

15.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细.在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其重量为,现将该金杖截成长度相等的10段,记第段的重量为,且,若,则=  

正确答案

6

解析

由题意知由细到粗每段的重量成等差数列,

记为,设公差为d

,解得

所以该金杖的总重量

因为,所以

,解得

故答案为:6.

考查方向

等差数列的通项公式及前n项和公式

解题思路

由题意知由细到粗每段的重量成等差数列,记为且设公差为d,由条件和等差数列的通项公式列出方程组,求出d值,由等差数列的前n项和公式求出该金杖的总重量M,代入已知的式子化简求出的值.

易错点

把已知问题转化为等差数列通项及前n项和问题

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

已知分别是椭圆的左、右焦点,点是椭圆上一点,且

23.求椭圆的方程;

24.设直线与椭圆相交于两点,若,其中为坐标原点,判断到直线的距离是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由椭圆的定义可知:

又∵

化简得:

解得,则

∴椭圆的标准方程为:

考查方向

椭圆的简单性质.

解题思路

根据椭圆的定义,求得,根据点到直线的距离公式,即可求得c的值,则求得a的值,再由,即可求得椭圆方程.

易错点

根据椭圆的定义及已知条件得出

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

点O到直线l的距离为定值

解析

由题意可知,直线l不过原点,设

①当直线lx轴,直线l的方程,m≠0,且

,可得

解得:

故直线l的方程为

∴原点O到直线l的距离

②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为

,消去y整理得:

,得

整理得:,即,①

则原点O到直线l的距离

,②

将①代入②,则

综上可知:点O到直线l的距离为定值

考查方向

本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,向量数量积的坐标运算,点到直线的距离公式.

解题思路

当直线lx轴,将直线代入椭圆方程,求得A和B点坐标,由向量数量积的坐标运算,即可求得m的值,求得O到直线l的距离;当直线AB的斜率存在时,设直线方程为,代入椭圆方程,由韦达定理及向量数量积的坐标运算,点到直线的距离公式,即可求得O到直线l的距离为定值.

易错点

没有考虑到直线lx轴的情况

1
题型:简答题
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分值: 12分

中,角所对的边分别为,且

17.求的值;

18.若角为锐角,,求的面积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

2

解析

化为:,因此

考查方向

余弦定理

解题思路

,利用余弦定理可得,化简即可得出.

易错点

根据余弦定理把转化为边

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵角C为锐角,

化为:

联立解得

考查方向

余弦定理及三角形面积公式

解题思路

由角C为锐角,,可得,利用余弦定理可得,与联立解得ba,即可得出.

易错点

根据余弦定理得出ab的关系式

1
题型:简答题
|
分值: 12分

某中学是走读中学,为了让学生更有效率利用下午放学后的时间,学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室,以便让学生在自习室自主学习、完成作业,同时每天派老师轮流值班.在本学期第二次月考后,高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数,得到如下2×2列联表:

下面的临界值表供参考:

(参考公式:,其中

19.能否在在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效;

20.从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中,按分层抽样随机抽取5个成绩,再从这5个成绩中随机抽取2个,求这2个成绩来自同一次月考的概率.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由2×2列联表,计算的观测值为:

对照临界值表,得出能在犯错误的概率不超过0.005的前提下,

认为设立自习室对提高学生成绩有效.

考查方向

独立性检验的应用

解题思路

由2×2列联表,计算,对照临界值表得出结论

易错点

参考公式中表示的含义

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

根据分层抽样原理可知,

从第一次月考数学优良成绩中抽取个,记为A、B、C;

从第二次月考数学优良成绩中抽取个,记为d、e;

则从这5个成绩中抽取2个,基本事件有:

AB、AC、Ad、Ae、BC、Bd、Be、Cd、Ce、de共10个,

其中抽取的2个成绩均来自同一次月考的基本事件有:

AB、AC、BC、de共4个,

故所求的概率为

考查方向

列举法计算基本事件数及事件发生的概率

解题思路

根据分层抽样比例求出所抽取的5个学生,利用列举法得出基本事件数,再计算对应的概率值.

易错点

用列举法得出所求的基本事件的个数

1
题型:简答题
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分值: 12分

如图,在四棱锥中,底面

21.若的中点,求证:EF平面

22.是棱的两个三等分点,求证:平面

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

如图,取BD的中点G,连接EG,FG,

∵F是AD的中点,

∵BD=2CE,∴BG=CE,

∵∠DBC=∠BCE,

∴E,G到直线BC的距离相等,则

∴平面EFG平面ABC,

∵EF平面EFG,

∴EF平面ABC;

考查方向

线面平行的判定

解题思路

取BD的中点G,连接EG,FG,证明平面EFG平面ABC,即可证明EF平面ABC.

易错点

根据已知条件作出正确的辅助线

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

如图:

∵BD⊥DE,∠DBC=∠BCE=60°,BD=2CE,

∴BC=3CE,

∵M、N是棱BC的两个三等分点,

∴MN=CE,BD=BN,

∵∠DBC=60°,

∴△BDN是正三角形,即∠BND=60°,

∵∠BCE=60°,∴CEND,

在△CEM中,CM=2CE,∠BCE=60°,

∴∠CEM=90°,

∴EM⊥CE,EM⊥ND,

∵AD⊥平面BCED,

∴AD⊥EM,

∵ADND=D,

∴EM⊥平面ADN.

考查方向

线面垂直的判定

解题思路

M、N是棱BC的两个三等分点,证明EM⊥ND,AD⊥EM,即可证明EM⊥平面ADN.

易错点

根据平面几何知识得出BC=3CE

1
题型:简答题
|
分值: 10分

请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]

已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,设直线的参数方程为为参数).

27.求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程;

28.设曲线与直线相交于两点,以为一条边作曲线的内接矩形,求该矩形的面积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

C:

解析

对于曲线C:由,得

对于l:由为参数),消去t可得

化为一般式可得

考查方向

参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.

解题思路

对于曲线C:由可得,坐标转化即可,对于l,消去t整理可得.

易错点

极坐标与直角坐标的转化公式

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由(1)可知C为圆,且圆心为,半径为2,

∴弦心距

∴弦长

∴以PQ为边的圆C的内接矩形面积

考查方向

直线和圆

解题思路

由(1)可知圆和半径,可得弦心距,进而可得弦长,可得面积.

易错点

运用点到直线的距离公式求

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知函数,且

25.讨论函数的单调性;

26.若,求证:函数有且只有一个零点.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

时,上单调递增;当时,在区间上单调递减,在上单调递增.

解析

时,,则上单调递增;

时,由,解得,由,解得

综上可得:当时,上单调递增;当时,在区间上单调递减,在上单调递增.

考查方向

利用导数研究函数的单调性

解题思路

求出原函数的导函数,然后分两种情况讨论原函数的单调性.

易错点

两种情况讨论的正负

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

由已知,,则

,则

上为增函数,

又由于,因此有唯一的零点1,

时,;当时,

上为减函数,在上为增函数,

的最小值为

∴函数有且只有一个零点.

考查方向

函数零点的判定定理

解题思路

代入函数解析式,求出导函数,设,利用导数可得上为增函数,结合,可得有唯一的零点1,从而得到时,时,,可得上为减函数,在上为增函数,结合的最小值为可知函数有且只有一个零点.

易错点

判定零点的方法

1
题型:简答题
|
分值: 10分

[选修4-5:不等式选讲]

设实数满足

29.若,求的取值范围;

30.若,求证:

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

根据题意,若,则,即

则由,可得

解可得

考查方向

绝对值不等式的解法

解题思路

根据题意,由,则,则,可得,解可得x的范围,即可得答案.

易错点

根据绝对值不等式的解法去掉绝对值符号

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

,即

又由,则

考查方向

不等式的证明

解题思路

根据题意,由基本不等式可得,即,用作差法分析可得,结合的范围,可得,即可得证.

易错点

根据均值不等式得出的范围

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