文科数学 长春市2017年高三第二次调研考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.已知复数,则复数在复平面内对应的点在

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

D

解析

,

复数在复平面内对应的点为,在第四象限,

故选D.

考查方向

本题主要考查复数的几何意义和复数的除法运算.

解题思路

利用复数的除法运算进行化简,化为一般形式,可得复平面内对应的点的坐标.

易错点

注意运算中.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.是公差不为0的等差数列,满足,则该数列的前10项和

A

B

C

D

正确答案

C

解析

根据题意可得,,

化简可得,

,

故选C.

考查方向

本题主要考查了等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式的应用,考查了运算求解能力.

解题思路

根据,化简可得,再代入求和公式中可得结果.

易错点

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.双曲线的一条渐近线与圆相切,则此双曲线的离心率为

A2

B

C

D

正确答案

A

解析

双曲线的一条渐近线方程:

双曲线的渐近线方程与圆相切,

可得:,可得:,两边平方

,即,可得:,解得

故选A.

考查方向

本题主要考查了双曲线的简单性质,直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式等.考查了学生数形结合的思想的运用.

解题思路

先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线,进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a和b的关系,进而利用求得a和c的关系,则双曲线的离心率可求.

易错点

直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.若将函数的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则的最小正值是

A

B

C

D

正确答案

C

解析

把该函数的图象右移个单位,所得图象对应的函数解析式为:

又所得图象关于y轴对称,则,

∴当k=-1时,有最小正值是,

故选C.

考查方向

本题考查了三角函数的图象平移,考查了三角函数奇偶性的性质,是中档题.

解题思路

把函数式化积为,然后利用三角函数的图象平移得到.结合该函数为偶函数求得的最小正值.

易错点

三角函数图象的平移应遵循“左加右减”的原则.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知集合,集合,则集合真子集的个数为

A1

B2

C3

D4

正确答案

C

解析

因为集合,所以

所以的真子集为,{1},{3}共有3个;

故选C.

考查方向

本题考查了集合的交集的运算以及真子集个数的求法.

解题思路

首先求出,然后求其真子集.

易错点

如果一个集合元素有n个,那么它的真子集的个数是个.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.命题“”的否定形式是

A

B

C,

D

正确答案

D

解析

由于全称命题的否定为特称命题,

故“”的否定形式是“”,

故选D.

考查方向

本题主要考查了含有量词命题的否定形式.属于基础题.

解题思路

根据全称命题的否定是特称命题进行转化格式即可.

易错点

否定形式为:改量词,否结论.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为

A﹣10

B6

C14

D18

正确答案

B

解析

模拟程序的运行,可得:

S=20,i=1,

执行循环体,i=2,S=18;

不满足条件,执行循环体,i=4,S=14;

不满足条件,执行循环体,i=8,S=6;

满足条件,退出循环,输出S的值为6.

故选B.

考查方向

本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的i,S的值是解题的关键,属于基础题.

解题思路

模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的i,S的值,当i=8时满足条件,退出循环,输出S的值为6.

易错点

每年高考的必考内容虽然考题基本上难度不大,但随着新课标的普及,算法及程序框图的题型将会结合其他内容不断推陈出新.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.抛物线上一点的纵坐标为4,则点与抛物线焦点的距离为

A5

B4

C

D

正确答案

A

解析

依题意可知抛物线的准线方程为

∴点A到准线的距离为4+1=5,

根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离,

∴点A与抛物线焦点的距离为5,

故选A.

考查方向

本题主要考查了抛物线的定义的运用.考查了学生对抛物线基础知识的掌握.属基础题.

解题思路

先根据抛物线的方程求得准线的方程,进而利用点A的纵坐标求得点A到准线的距离,进而根据抛物线的定义求得答案.

易错点

圆锥曲线的定义要熟练的掌握并学会灵活应用.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.若满足约束条件,则的最小值是

A

B

C

D

正确答案

B

解析

设变量x、y满足约束条件,在坐标系中画出可行域三角形,

整理得到,要求的最小值即是求直线的纵截距的最大值,当平移直线经过点A(0,3)时,

最小,且最小值为:-3,则目标函数的最小值为-3.

故选B.

考查方向

借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想.线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定.

解题思路

先根据条件画出可行域,设z=x-y,再利用几何意义求最值,将最小值转化为y轴上的截距最大,只需求出直线z=x-y,过可行域内的点A(0,3)时的最小值,从而得到z最小值即可.

易错点

正确的作出约束条件所表示的可行域,注意平移直线求最大值或者最小值时,是找最大截距还是最小截距.由z的正负号所决定.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.某几何体的三视图如右图,若该几何体的所有顶点都在一个球面上,则该球面的表面积为源:]

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由三视图知,几何体是一个三棱柱,三棱柱的底面是边长为2的正三角形,侧棱长是2,三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径,,球的表面积,

故选B.

考查方向

本题考查了由三视图求三棱柱的外接球的表面积,利用棱柱的几何特征求外接球的半径是解题的关键.

解题思路

由三视图知,几何体是一个三棱柱,三棱柱的底面是边长为2的正三角形,侧棱长是2,根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径,求出半径即可求出球的表面积.

易错点

由三视图还原几何体的直观图是关键.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.在等腰直角中,边上且满足:

,则的值为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

,

∴A,B,D三点共线,

∴由题意建立如图所示坐标系,

设AC=BC=1,则C(0,0),A(1,0),B(0,1),

直线AB的方程为

直线CD的方程为

故联立解得,

,

,

,解得

故选A.

考查方向

本题考查了平面向量坐标运算的应用.

解题思路

易知A,B,D三点共线,从而建立坐标系,从而利用坐标运算求解即可.

易错点

在平面中A、B、C三点共线的充要条件是: (O为平面内任意一点),其中x+y=1.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.设函数是奇函数的导函数,,当时, ,则使得成立的的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

B

解析

,则的导数为:

∵当时总有成立,

即当时,

∴当时,函数为增函数,

又∵

∴函数为定义域上的偶函数,

时,函数是减函数,

又∵

时,由,得:,解得:

时,由,得:,解得:

成立的x的取值范围是:

故选B.

考查方向

本题考查了利用导数判断函数的单调性,并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题,是综合题目.

解题思路

构造函数g(x),利用g(x)的导数判断函数g(x)的单调性与奇偶性,求出不等式的解集即可.

易错点

本题的难点和易错点在于函数g(x)的构造.

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.已知||=2,||=2,的夹角为45°,且λ垂直,则实数λ=________.

正确答案

解析

由题意可得

再根据向量垂直,可得

求得,

故答案为

考查方向

本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量垂直的性质,属于中档题.

解题思路

由题意利用两个向量的数量积的定义求得,

再根据向量垂直的性质求得的值

易错点

两个向量垂直,数量积为0.

1
题型:填空题
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分值: 5分

16.设为数列的前项和,若,则

正确答案

解析

∴当时,,即;

时,,即,

故答案为.

考查方向

本题考查了等比数列的前n项公式、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

解题思路

,当时,可得.当时,,即.再利用等比数列的前n项公式即可得出.

易错点

要分清n是奇数和偶数.

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.设函数,则

正确答案

-1

解析

,

故答案为-1.

考查方向

本题主要考查分段函数的求值.考查了运算求解能力,属于基础题.

解题思路

根据定义域寻找对应的解析式,由内到外进行运算即可.

易错点

分清定义域所对应的解析式,否则导致计算错误.

1
题型:填空题
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分值: 5分

15.给出下列命题:

① 若函数满足,则函数的图象关于直线对称;

② 点关于直线的对称点为

③ 通过回归方程可以估计和观测变量的取值和变化趋势;

④ 正弦函数是奇函数,是正弦函数,所以是奇函数,上述推理错误的原因是大前提不正确.

其中真命题的序号是________.

正确答案

②③

解析

若函数满足,

是周期为2的周期函数,故①不正确;

②③正确;

对于④,正弦函数是奇函数,是正弦函数,所以是奇函数,上述推理错误的原因是小前提不正确.

故答案为②③.

考查方向

本题主要考查了命题的真假判断,涉及了函数的周期性,点关于直线的对称点,回归方程的作用,以及演绎推理的步骤.

解题思路

对每个命题进行判断,①中根据条件可得函数为周期函数,与对称性无关,②③正确,④中据三角函数的奇偶性,可判断出大前提正确,根据正弦函数的定义,可判断小前提错误.

易错点

简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 10分

已知函数的部分图象如图所示.

17.求函数的解析式;

18.在中,角的对边分别是,若,求的取值范围。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(1)由图象知A=1, ,

将点代入解析式得因为,所以

所以

考查方向

本题考查三角函数的化简求值,正弦定理的应用,三角函数的值域,考查计算能力.

解题思路

利用函数的图象,求出A,通过函数的周期求出ω,通过函数的图象经过,求出,即可解出函数的解析式;

易错点

三角函数的解析式中,求的值是难点,熟悉正余弦函数图象是关键.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

得:

所以

因为,所以

所以,

,所以

所以

考查方向

本题考查三角函数的化简求值,正弦定理的应用,三角函数的值域,考查计算能力.

解题思路

利用,结合正弦定理,求出cosB,利用函数的解析式求的表达式,通过A的范围求出函数的取值范围.

易错点

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知是公比不等于1的等比数列,为数列的前项和,且

19.求数列的通项公式;

20.设,若,求数列的前项和

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

an=3或

解析

(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,

时,符合条件,,an=3

时, 所以,解得 ----5分

综上:an=3或

考查方向

本题考查了等比数列与等差数列的应用,同时考查了对数运算的应用及裂项求和法的应用.

解题思路

设数列{an}的公比为q,根据公比进行求解,当时,根据,解出首项和公比,进而求出通项公式.

易错点

容易忽略对这种情况.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

证明:若an=3,则bn=0,与题意不符;

考查方向

本题考查了等比数列与等差数列的应用,同时考查了对数运算的应用及裂项求和法的应用.

解题思路

化简,从而可得,从而得证.

易错点

对于这种通项公式,求和一般用裂项法,要熟练掌握这种类型题的方法.

1
题型:简答题
|
分值: 12分

如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,分别为

的中点,平面底面,且.

24.求证:∥平面

25.求三棱锥的体积

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

证明:连接AC,

∵底面ABCD是边长为a的正方形,并且F是BD的中点,

∴F是AC的中点,

在△PAC中,F是AC的中点,E是PC的中点,

∴EF∥PA,

∵平面PAD,平面PAD,

∴EF∥平面PAD.

考查方向

本题考查直线与平面平行的证明,考查空间几何体BCDP的体积,解题时要合理地化空间问题为平面问题,属于中档题.

解题思路

利用线面平行的判定定理:连接AC,只需证明EF∥PA,利用中位线定理即可得证;

易错点

线面平行的判定要对线外,线内要进行说明.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵侧面PAD⊥底面ABCD,交线是AD,

在△PAD中,

∴△PAD是等腰直角三角形,

设AD的中点为G,连接PG,则,且

底面ABCD,

∴空间几何体BCDP的体积是:

考查方向

本题考查直线与平面平行的证明,考查空间几何体的体积,解题时要合理地化空间问题为平面问题,属于中档题.

解题思路

设AD的中点为G,连接PG,证明PG⊥底面ABCD,可求空间几何体BCDP的体积.

易错点

1
题型:简答题
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分值: 12分

某车间20名工人年龄数据如下表:

21.求这20名工人年龄的众数与平均数;

22.以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;

23.从年龄在24和26的工人中随机抽取2人,求这2人均是24岁的概率。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

众数是30;

解析

(Ⅰ) 由题意可知,这20名工人年龄的众数是30,

这20名工人年龄的平均数为

考查方向

本题考查了众数,极差,茎叶图,方差的基本定义,属于基础题

解题思路

根据众数和平均数的定义,即可得出;

易错点

熟记众数和平均数的概念.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

这20名工人年龄的茎叶图如图所示:

考查方向

本题考查了众数,极差,茎叶图,方差的基本定义,属于基础题

解题思路

根据画茎叶图的步骤,画图即可;

易错点

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

记年龄为24岁的三个人为A1A2A3;年龄为26岁的三个人为B1B2,B3则从这6人中随机抽取2人的所有可能为

{A1A2},{A1A3},{A2A3},{A1B1},{A1B2},

{A1B3},{A2B1},{A2B2},{A2B,3},{A3B1},

{A3B2},{A,3B3},{B1B2},{B1B3},{B2B3}共15种。

满足题意的有{A1A2},{A1A3},{A2A3}3种,

故所求的概率为P

考查方向

本题考查了众数,平均数,茎叶图,方差的基本定义,考查了古典概型的概率求解,属于基础题

解题思路

利用枚举法,将6人中随机抽取2人的所有可能的情况列举出来,再求概率.

易错点

古典概型中使用枚举时,要注意不重不漏.

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知椭圆离心率为,左、右焦点分别为, 左顶点为A,.

26.求椭圆的方程;

27.若直线经过与椭圆交于两点,求取值范围。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(Ⅰ) 设

      

考查方向

本题以向量为载体,考查椭圆的标准方程,考查向量的数量积,考查运算能力,解题时应注意分类讨论,同时正确用坐标表示向量,是中档题

解题思路

由椭圆的离心率得到a,c的关系,再由可得联立方程组可求出a,c的值,从而可得椭圆的方程.

易错点

注意椭圆中a,b,c三者的关系,和双曲线的区别.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

当直线l斜率存在时:设,直线l为:,代入

得: ,由题意

所以

所以

因为,所以,

当直线l斜率不存在时:

所以  .

综上:

解题思路

当直线l斜率不存在时,用坐标分别表示出,直接求得;直线斜率存在时,设直线MN的方程为,代入椭圆方程

1
题型:简答题
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分值: 12分

设函数,已知曲线 在点处的切线与直线垂直.

28. 求的值.

29.若函数,且在区间上是单调函数,求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

b=1

解析

(1)曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,所以f′(1)=2,

f′(x)=ln x+1,即ln 1+b+1=2,所以b=1.

考查方向

本题考查导数知识的运用,考查直线的垂直,考查学生的计算能力,属于基础题.

解题思路

求导函数,利用函数的图象在x=1处的切线与直线垂直,即可求b的值.

易错点

注意区别“在某点处”和“过某点处”的切线方程的求法.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(-∞,1]

解析

由(1)知 g(x)= = exln xaex

所以 g′(x)=(-a+ln x)ex     (x>0),

g(x)在(0,+∞)上为单调递减函数,则g′(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,

即-a+ln x≤0,所以a≥+ln x.

h(x)=+ln x(x>0),   则h′(x)=-+=

h′(x)>0,得x>1,h′(x)<0,得0<x<1,

故函数h(x)在(0,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,

则+ln x→∞,h(x)无最大值, g′(x)≤0在(0,+∞)上不恒成立,

g(x)在(0,+∞)不可能是单调减函数.

g(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,则g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,

即-a+ln x≥0,所以a≤+ln x,由前面推理知,h(x)=+ln x的最小值为1,

a≤1,故a的取值范围是(-∞,1].

考查方向

本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调性的判断,主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用,构造函数和不等式恒成立思想是解题的关键.

解题思路

根据g(x)在(0,+∞)上为单调递减函数和g(x)在(0,+∞)上为单调递增函数进行讨论,利用导数,可求出a的取值范围.

易错点

对于导数问题,学生往往急于求功,而忽略定义域.

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