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2.已知,其中为虚数单位,则等于( )
正确答案
解析
解析:由题意得,,即,所以,所以,故选B.
考查方向
解题思路
先根据复数的乘法运算把题干等式化简,利用复数的概念对比系数分别求出的值,从而解决问题.
易错点
本题易错在进行复数乘法运算时忽略了的要求.
5.已知函数,则“”是“函数在上为增函数”的( )
正确答案
解析
解析:,即在区间上恒成立,则,而,故选A.
考查方向
解题思路
先对函数求导,然后根据导数为单调函数的充要条件列出不等式,然后解不等式即可.
易错点
本题易错在求导错误.
6.运行如图所示框图的相应程序,若输入的值分别为和,则输出的值是( )
正确答案
解析
解析:,∴,∴,根据程度框图,.
考查方向
解题思路
先根据对数的运算法则比较出,的大小关系,然后根据程序框图中的判定条件,确定运算程序,直接代入数据计算即可.
易错点
本题易错在不能根据对数的运算规则判断出,的大小关系.
7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
正确答案
解析
解析:还原为如图所示的直观图,.
考查方向
解题思路
先根据三视图确定几何体的形状,然后根据对应的几何体体积公式代数数据计算即可.
易错点
本题易错在不能根据三视图确定几何体.
8.在中,角的对边分别是,若,则角等于( )
正确答案
解析
解析:因为,所以由正弦定理可得:,因为,可得:,
所以或.
考查方向
解题思路
直接利用正弦定理代入数据求出,然后根据的取值范围确定的大小.
易错点
本题易错在没有考虑角的取值范围
11.函数(其中为自然对数的底)的图象大致是( )
正确答案
解析
解析:当时,函数是,有且只有一个极大值点是,
所以选A.
考查方向
解题思路
先跟函数的解析式确定函数的奇偶性,然后研究函数在时的图象的情况,通过对函数求导,确定函数在处有极值点,根据四个选项即可得出结果.
易错点
本题易错在不能确定函数的极值点.
12.设满足约束条件,若目标函数,最大值为2,则的图象向右平移后的表达式为( )
正确答案
解析
解析:作出可行域与目标函数基准线,由线性规划知识,可得当直线过点时,取得最大值,即,解得;则的图象向右平移个单位后得到的解析式为.故答案为C.
考查方向
解题思路
先根据线性约束条件画出平面区域,然后通过直线平移确定最值,从而确定的值,再通过三角函数的平移变换确定函数解析式即可.
易错点
本题易错在根据线性规划的知识确定的值.
1.设集合,集合,则等于( )
正确答案
解析
解:,且,
所以.
考查方向
解题思路
先利用一元二次不等式的解法以及的限制条件把集合化简,然后根据补集的概念直接计算即可.
易错点
本题易错在不会解一元二次等式以及没有注意的条件.
3.在等差数列中,已知,则的值为( )
正确答案
解析
解析:∵,∴.
考查方向
解题思路
先根据等差数列的性质进行转化,然后根据与的关系整体代入数据计算即可.
易错点
本题易错在不能把要求的式子转化为条件中的式子.
4.设,则下列不等式成立的是( )
正确答案
解析
解析:由可设,代入选项验证可知成立.
考查方向
解题思路
根据选项,直接代入特殊值进行验证即可.
易错点
本题错在没有准确代入特殊值验证选项的正误.
9.已知函数,若,则实数的取值范围是( )
正确答案
解析
解析:由题意,得或,解得或,即实数的取值范围为,故选C.
考查方向
解题思路
根据分段函数的解析式,直接解对数不等式以及指数不等式,然后再取交集即可.
易错点
本题易错在没有结合的取值范围来解不等式.
10.如图,是双曲线与椭圆的公共焦点,点是在第一象限的公共点,若,则的离心率是( )
正确答案
解析
解析:由题意知,,∵,∴,∴,
∵,∴的离心率是.
考查方向
解题思路
先根据双曲线定理确定的值,从而求出的值,再利用椭圆的定义求出和的值即可求出椭圆的离心率.
易错点
本题错在对椭圆与双曲线的定义理解不透.
16.设曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为,则的值为 .
正确答案
解析
解析:求导函数,可得,设过处的切线斜率为,则,所以切线方程为,令,
可得,∴,
∴.
考查方向
解题思路
先求出函数求导,然后求出切线方程,再令纵坐标为零,求出横坐标的表示式,最后利用对数的运算法则求出结果.
易错点
本题易错在切线方程没有求出来.
13.已知直线与直线平行,则 .
正确答案
4
解析
解:由直线与直线平行,可得,
∴.
考查方向
解题思路
先根据两直线平行求出的值,然后把两直线的系数转化相同,然后利用两平行直线距离公式代入数据直接计算即可.
易错点
本题易错在没有把两平行直线转化为系数相同.
14.设为所在平面内一点,,若,则 .
正确答案
解析
解:∵,
∴,
即,
∴,
.
考查方向
解题思路
根据题干所给等式以及平面向量的三角形法则把准确表示,然后对比系数确定的值,从而求出的值.
易错点
本题易错在对平面向量的减法运算中的三角形法则不熟.
15.已知,命题:对任意实数,不等式恒成立,若为真命题,则的取值范围是 .
正确答案
解析
解析:对任意,不等式恒成立,
∴,即,解得.
考查方向
解题思路
先根据二次函数的性质求出最值,然后直接解一元二次不等式即可.
易错点
本题易错在不能准确求出二次函数的最值.
已知椭圆,与轴的正半轴交于点,右焦点,为坐标原点,且.
23.求椭圆的离心率;
24.已知点,过点任意作直线与椭圆交于两点,设直线,的斜率为,若,试求椭圆的方程.
正确答案
解析
20.解:(1)在直角三角形中,
∵,
∴,
即.
考查方向
解题思路
先根据直角三角形中的正切值计算出的关系,再结合离心率公式以及三个量的基本公式即可求出离心率.
易错点
本题易错在计算正切值时错用基本量.
正确答案
解析
(2)由(1)知,则椭圆方程可化为,
设直线,
,
∴,.
∴,
即对于任意的恒成立,
则,进而求得,
所以椭圆的方程是.
考查方向
解题思路
先根据(1)的结论把椭圆中的转化用表示,然后联立方程化简得到一元二次方程,利用韦达定理求出两根和与两根积的表达式,然后代入题干等式化简即可求出的值,从而求出的值,即可求出椭圆的标准方程.
易错点
本题易错在联立直线与椭圆的方程时化简出错.
等差数列中,已知,且构成等比数列的前三项.
17.求数列的通项公式;
18.记,求数列的前项和.
正确答案
解析
解:设等差数列的公差为,则由已知得,即.
又,解得或(舍),
,.
又,∴,∴.
考查方向
解题思路
根据等差数列的基本性质求出的值,然后根据等比中项结合等差数列的基本量代入计算求出公差,再求出首项,直接代入通项公式即可解决问题.
易错点
本题易错在解一元二次方程时求解错误.
正确答案
解析
(2),
∴,
.
两式相减得,
.
考查方向
解题思路
先根据的通项进行分组,一组进行常数项求和,一组错位相减法求和,然后相加即可解决问题.
易错点
本题易错在计算错误.
已知函数的最小正周期是.
19.求函数在区间的单调递增区间;
20.求在上的最大值和最小值.
正确答案
和
解析
解: ,
,
最小正周期是,所以,从而,
令,解得,
所以函数的单调递增区间为和.
考查方向
解题思路
先根据倍角公式以及两角和差公式把函数解析式化简,然后利用周期性求出的值,再求出函数的单调区间即可.
易错点
本题易错在没有把函数解析式化简以及求错的值.
正确答案
1、
解析
当时,
,
,
所以在上的最大值和最小值分别为1、.
考查方向
解题思路
先根据的取值范围求出的取值范围,然后结合三角函数的图象与性质即可求出函数的最值.
易错点
本题易错在把的取值范围误当的取值范围.
如图,为圆的直径,点在圆上,,矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直,且.
21.求证:;
22.设的中点为,求三棱锥的体积与多面体的体积之比的值.
正确答案
略
解析
证明:∵矩形所在的平面和平面互相垂直,且,∴,
又,所以,又为圆的直径,得,,∴.
考查方向
解题思路
先利用面面面垂直的性质定理得出,从而得出,再根据圆的性质确定,从而利用线面垂直的判定定理证明命题.
易错点
本题易错在缺乏对面面垂直的性质定理的应用意识.
正确答案
解析
(2)解:设的中点为,连接,则∴,
又∵,∴,
∴为平行四边形,,
又∵,
∴.
显然,四边形为等腰梯形,,因此为边长是1的正三角形.
三棱锥的体积;
多面体的体积可分成三棱锥与四棱锥的体积之和,
计算得两底间的距离.
所以,
,
所以,
∴.
考查方向
解题思路
先根据线面平行确定的形状,然后等体积性求出其中一个三棱锥的体积,然后利用分割法把多面体分割为一个三棱锥与四棱锥,代入数据求出多面体的体积,直接作比即可.
易错点
本题易错在不能准确求出两个三棱锥的体积.
已知.
25.求函数的单调区间;
26.若,满足的有四个,求的取值范围.
正确答案
在和上是增函数;在上是减函数.
解析
21.解:(1),
当时,,
所以在上是增函数,
当时,,
当时,;当时,;
所以在和上是增函数;在上是减函数.
考查方向
解题思路
先对函数取绝对值化简人,然后对函数求导,然后判断导数是否有实数根,再利用实数根的大小关系确定函数的单调性,从而解决问题.
易错点
本题易错没有考虑的取值范围
正确答案
解析
由(1)知,当时,函数取得极大值,
令,
则当时,方程有3解;
当或时,方程有1解;
当时,方程有2解.
因为的有四个,所以有四解,所以方程在上有一解,在上有一解.
记,
.
考查方向
解题思路
对方程进行整体换元,然后转化一元二次方程的根的分布问题,再结合根所在区间列出不等式,再解不等式即可.
易错点
本题易错在不能利用换元思想高次方程转化为低次方程来处理.
选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线,曲线的参数方程为:,(为参数),以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系.
27.求的极坐标方程;
28.射线与的异于原点的交点为,与的交点为,求.
正确答案
,
解析
解:将代入曲线的方程:,
可得曲线的极坐标方程为,
曲线的普通方程为,将代入,
得到的极坐标方程为.
考查方向
解题思路
根据极坐标方程以及直角坐标方程直接代入数据转化即可.
易错点
本题易错在记错转化公式.
正确答案
解析
解:射线的极坐标方程为,与曲线的交点的极径为.
射线与曲线的交点的极径满足,解得.
所以.
考查方向
解题思路
先求出与曲线的交点的极径为,然后求出曲线的交点的极径,然后作差即可.
易错点
本题易错在对极坐标概念以及极径的应用不熟练.
选修4-5:不等式选讲
已知函数.
29.若不等式的解集为,求实数的值;
30.若,使得,求实数的取值范围.
正确答案
解析
解:∵,∴,
∵的解集为,
∴,
∴.
考查方向
解题思路
直接解绝对值不等式,然后对比端点值即可.
易错点
本题错在不会解绝对值不等式.
正确答案
解析
解:∵,
∵,使得成立,
∴,即,解得,或,
∴实数的取值范围是.
考查方向
解题思路
先根据绝对值中的三角不等式求出函数的最小值,然后解一元二次不等式即可求出的取值范围.